คำถามติดแท็ก computability

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมปัญหา Haltingจึงมักถูกใช้เพื่อยกเลิกความเป็นไปได้ในการพิจารณาว่าโปรแกรมหยุดทำงานหรือไม่ วิกิพีเดีย [บทความ] [1] อธิบายอย่างถูกต้องว่าเครื่องกำหนดค่าที่มีหน่วยความจำ จำกัด จะหยุดหรือทำซ้ำสถานะก่อนหน้า คุณสามารถใช้อัลกอริทึมที่ตรวจพบว่ามีการเชื่อมโยงรายการลูปเพื่อใช้ฟังก์ชัน Halting กับความซับซ้อนของพื้นที่ของ O (1) สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าการพิสูจน์ปัญหา Halting นั้นไม่ได้เป็นอะไรมากไปกว่า "ความขัดแย้ง" ที่อ้างถึงตัวเอง (อย่างน้อยก็เป็นวัฏจักร) ที่ขัดแย้งกันในลักษณะเดียวกับความขัดแย้งของคนโกหก ข้อสรุปเพียงอย่างเดียวก็คือฟังก์ชั่นหยุดทำงานนั้นไวต่อคำถามที่มีรูปร่างผิดปกติ ดังนั้นหากไม่รวมโปรแกรมที่ขัดแย้งกันฟังก์ชัน Halting จะถูกตัดสินได้ เหตุใดเราจึงถือเป็นหลักฐานของสิ่งตรงกันข้าม 4 ปีต่อมา : เมื่อฉันเขียนสิ่งนี้ฉันเพิ่งดูวิดีโอนี้ โปรแกรมเมอร์ได้รับโปรแกรมบางโปรแกรมต้องกำหนดว่ารายการใดจะถูกยกเลิกและวิดีโอจะอธิบายว่าทำไมจึงเป็นไปไม่ได้ ฉันรู้สึกท้อแท้เพราะฉันรู้ว่ามีโปรแกรมตามอำเภอใจบางอย่างมีความเป็นไปได้ที่ตัวเอกจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าพวกเขาจะยุติ แนวคิดของความมีอยู่ทั่วไปได้หายไปอย่างใด เป็นความแตกต่างระหว่างการพูดว่า "บางโปรแกรมไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจะยุติ" และ "ไม่มีโปรแกรมที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจะยุติ" อัลกอริทึมหลายอย่างเป็นทางการแสดงให้เห็นถึงการทำเช่นนั้น ความล้มเหลวในการสร้างความแตกต่างนี้จากการอ้างอิงทุกครั้งที่พบในบรรทัดคือวิธีที่ฉันมาที่ชื่อของคำถามนี้ ด้วยเหตุนี้ฉันขอขอบคุณคำตอบจริงๆ ที่นิยามฟังก์ชันการหยุดชั่วคราวเป็น ternary แทนที่จะเป็นบูลีน

149 computability  halting-problem 

เราได้รับแบบฝึกหัดต่อไปนี้ ปล่อย ฉ( n ) = { 100n เกิดขึ้นในการแทนทศนิยมของ πอื่นf(n)={10n occurs in the decimal representation of π0else\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases} พิสูจน์ว่าคำนวณได้ฉff เป็นไปได้อย่างไร? เท่าที่ผมรู้ว่าเราไม่ทราบว่าสภาพอากาศมีลำดับของตัวเลขทุก (หรือ) และขั้นตอนวิธีการได้อย่างแน่นอนไม่ได้ตัดสินใจว่าลำดับบางอย่างจะไม่เกิดขึ้น ดังนั้นฉันคิดว่าfไม่สามารถคำนวณได้เพราะปัญหาพื้นฐานเป็นแบบกึ่งตัดสินใจได้เท่านั้นππ\pifff

130 computability  undecidability 

ฉันมักจะคิดราง ๆ ว่าคำตอบของคำถามข้างต้นนั้นยืนยันตามบรรทัดต่อไปนี้ ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödelและ undecidability ของปัญหาการหยุดชะงักทั้งสองเป็นผลเชิงลบเกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจและสร้างขึ้นโดยการโต้แย้งในแนวทแยง (และในปี 1930) ดังนั้นพวกเขาจะต้องมีสองวิธีในการดูเรื่องเดียวกัน และฉันคิดว่าทัวริงใช้เครื่องทัวริงสากลเพื่อแสดงว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถแก้ไขได้ (ดูคณิตศาสตร์นี้คำถามSE .) แต่ตอนนี้ที่ (สอนหลักสูตรในการคำนวณ) ฉันมองเข้าไปในเรื่องเหล่านี้ฉันค่อนข้างสับสนกับสิ่งที่ฉันพบ ดังนั้นฉันต้องการความช่วยเหลือในการยืดความคิดของฉันออกไป ฉันรู้ว่าในอีกด้านหนึ่งการโต้แย้งในแนวทแยงของGödelนั้นลึกซึ้งมาก: มันต้องใช้งานจำนวนมากเพื่อสร้างคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่สามารถตีความได้ว่าพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับความสามารถในการเป็นของตัวเอง ในทางกลับกันการพิสูจน์ความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักที่ฉันพบที่นี่นั้นง่ายมากและไม่ได้กล่าวถึงเครื่องจักรทัวริงอย่างชัดเจนแม้แต่การมีอยู่ของเครื่องจักรทัวริงสากล คำถามเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงสากลคือไม่ว่าจะมีความสำคัญใด ๆ ที่ตัวอักษรของเครื่องจักรทัวริงสากลเป็นเช่นเดียวกับเครื่องจักรทัวริงที่เลียนแบบ ฉันคิดว่ามันเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อสร้างการโต้แย้งในแนวทแยงที่เหมาะสม (มีเครื่องจำลองตัวเอง) แต่ฉันไม่พบความสนใจใด ๆ กับคำถามนี้ในคอลเลกชันที่ทำให้สับสนของคำอธิบายของเครื่องจักรสากลที่ฉันพบในอินเทอร์เน็ต หากไม่ใช่สำหรับปัญหาการหยุดชะงักทัวริงของเครื่องจักรสากลมีประโยชน์ในการโต้แย้งแนวทแยงหรือไม่? ในที่สุดฉันก็สับสนโดยส่วนต่อไปนี้ของบทความ WP เดียวกันซึ่งบอกว่ารูปแบบที่อ่อนแอของความไม่สมบูรณ์ของGödelดังต่อไปนี้จากปัญหาการหยุดชะงัก: "axiomatisation axiomatisation ที่สมบูรณ์สอดคล้องและเสียงของคำสั่งทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติเป็นสิ่งที่ไม่สามารถทำได้" ที่ "เสียง" ควรจะอ่อนตัวลง ฉันรู้ว่าทฤษฎีนั้นมีความสอดคล้องกันหากเราไม่สามารถได้มาซึ่งความขัดแย้งและทฤษฎีที่สมบูรณ์เกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติดูเหมือนจะหมายความว่าข้อความจริงทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติสามารถได้มาในนั้น ฉันรู้ว่าGödelกล่าวว่าทฤษฎีดังกล่าวไม่มีอยู่จริง แต่ฉันล้มเหลวที่จะเห็นว่าสัตว์ในสมมุติฐานนั้นอาจจะฟังดูไม่เป็นเช่นกล่าวได้รับมาซึ่งเป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ: การปฏิเสธของคำสั่งดังกล่าวจะเป็นจริง และโดยสมบูรณ์แล้วก็สืบเนื่องซึ่งจะขัดแย้งกับความมั่นคง ฉันขอขอบคุณการชี้แจงใด ๆ ในประเด็นเหล่านี้

75 computability  logic  halting-problem  incompleteness 

เรารู้ว่าปัญหาการหยุดชะงัก (ในเครื่องทัวริง) นั้นไม่สามารถระบุได้สำหรับเครื่องทัวริง มีการวิจัยว่าจิตใจมนุษย์สามารถจัดการกับปัญหานี้ได้ดีเพียงใดโดยได้รับความช่วยเหลือจากเครื่องทัวริงหรือคอมพิวเตอร์วัตถุประสงค์ทั่วไป หมายเหตุ : เห็นได้ชัดว่าในความหมายที่เข้มงวดที่สุดคุณสามารถปฏิเสธได้เสมอเพราะมีเครื่องจักรทัวริงขนาดใหญ่มากจนไม่สามารถอ่านได้ในช่วงชีวิตของมนุษย์เพียงคนเดียว แต่นี่เป็นข้อ จำกัด ที่ไร้สาระซึ่งไม่ได้นำไปสู่คำถามที่แท้จริง ดังนั้นในการสร้างสิ่งต่าง ๆ เราต้องสมมติว่ามนุษย์มีช่วงชีวิตโดยพลการ ดังนั้นเราจึงสามารถถามได้: เนื่องจาก Turing Machine T แสดงในรูปแบบที่เหมาะสมใด ๆ มนุษย์ H ที่มีอายุยืนโดยพลการและบัฟเฟอร์จำนวนหนึ่ง (เช่นกระดาษ + ปากกา) โดยพลการ H สามารถตัดสินใจได้ว่า T หยุดคำที่ว่างเปล่าหรือไม่ ข้อสรุป: หากคำตอบคือใช่จะไม่ตัดสินด้วยหรือไม่หากคอมพิวเตอร์เครื่องใดมีโอกาสผ่านการทดสอบทัวริง

60 computability  turing-machines  halting-problem  human-computing 

มีชุดภาษาการเขียนโปรแกรมที่สร้างขึ้นในภาษาการเขียนโปรแกรมเพื่อให้ถือว่าเป็นทัวริงสมบูรณ์หรือไม่ จากสิ่งที่ฉันสามารถบอกได้จากวิกิพีเดียภาษาต้องสนับสนุนการเรียกซ้ำหรือดูเหมือนว่าจะต้องสามารถทำงานได้โดยไม่หยุด ทั้งหมดนี้มีไว้เพื่อมันหรือไม่?

55 computability  programming-languages  turing-machines  turing-completeness 

การจับคู่รูปแบบที่มีลำดับสูงเป็นปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ นั่นหมายความว่าไม่มีอัลกอริธึมที่ให้สมการa => bที่ไหนaและbเป็นคำเปิดบนแคลคูลัสแลมบ์ดาเพียงพิมพ์พบการทดแทนSเช่นนั้นaS => bSซึ่ง=>ย่อมาจาก "มีรูปแบบปกติ Bn เดียวกัน" แต่มนุษย์สามารถแก้ไขปัญหานั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่นให้ปัญหาต่อไปนี้: a = (λt . t (F (λ f x . (f (f (f x))))) (F (λ f x . (f (f x))))) b = (λ t . t (λ f x . (f (f (f (f (f (f x))))))) …

44 computability 

ฉันรู้ว่ามีทัวริงอยู่ถ้าฟังก์ชั่นคำนวณได้ จากนั้นวิธีแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นนั้นไม่สามารถคำนวณได้หรือไม่มีทัวริงใด ๆ มีอะไรที่เหมือนกับบทปั๊มน้ำ?

43 computability  proof-techniques  undecidability  reference-question 

ฉันพบปัญหาแปลก ๆ เมื่อเขียนล่ามที่ (ควร) hooks ไปยังโปรแกรม / ฟังก์ชั่นภายนอก: ฟังก์ชั่นใน 'C' และ 'C ++' ไม่สามารถขอฟังก์ชั่นแปรผันได้เช่นฉันไม่สามารถสร้างฟังก์ชั่นที่เรียกว่า 'printf' ด้วยอาร์กิวเมนต์เดียวกันที่แน่นอนที่ได้รับและแทนที่จะต้องเรียกใช้เวอร์ชันอื่นที่ใช้วัตถุแปรปรวน นี่เป็นปัญหาอย่างมากเนื่องจากฉันต้องการสร้างวัตถุที่มีตะขอที่ไม่ระบุชื่อ ดังนั้นฉันคิดว่านี่แปลกตั้งแต่Forth , JavaScriptและบางทีภาษาอื่น ๆ สามารถทำได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องหันไปใช้ภาษาแอสเซมบลี / รหัสเครื่อง เนื่องจากภาษาอื่นสามารถทำสิ่งนี้ได้อย่างง่ายดายนั่นหมายความว่าระดับของปัญหาที่แต่ละภาษาโปรแกรมสามารถแก้ไขได้แตกต่างกันไปตามภาษาแม้ว่าภาษาเหล่านี้จะทัวริงสมบูรณ์หรือไม่

42 computability  programming-languages  turing-completeness 

ฉันได้รับการเห็นทั่วกองมากเกินเช่นที่นี่ , ที่นี่ , ที่นี่ , ที่นี่ , ที่นี่และอื่น ๆ บางอย่างที่ฉันไม่สนใจที่จะพูดถึงว่า "โปรแกรมใด ๆ ที่ใช้เรียกซ้ำสามารถแปลงเป็นโปรแกรมที่ใช้เพียงซ้ำ" มีแม้แต่กระทู้ upvoted สูงพร้อมคำตอบ upvoted อย่างมากที่กล่าวว่าใช่เป็นไป ตอนนี้ฉันไม่ได้พูดว่าพวกเขาผิด เป็นเพียงคำตอบที่ตอบโต้ความรู้น้อยของฉันและความเข้าใจเกี่ยวกับการคำนวณ ฉันเชื่อว่าทุกฟังก์ชั่นวนซ้ำสามารถแสดงเป็นการเรียกซ้ำได้และวิกิพีเดียมีคำแถลงถึงผลกระทบดังกล่าว อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าการสนทนานั้นเป็นจริง สำหรับหนึ่งฉันสงสัยว่าฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำไม่สามารถแสดงซ้ำ ฉันยังสงสัยว่าการปฏิบัติการหลายมิติสามารถแสดงออกซ้ำ ๆ ได้ ในคำตอบของเขา(ซึ่งฉันไม่เข้าใจโดยวิธี) กับคำถามของฉัน@YuvalFIlmus กล่าวว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะแปลงลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ให้เป็นลำดับของการเพิ่ม หากคำตอบของ YF นั้นถูกต้องแน่นอน (ฉันเดาว่ามันเป็น แต่เหตุผลของเขาอยู่เหนือหัวฉัน) นี่ก็ไม่ได้หมายความว่าไม่ใช่การเรียกซ้ำทุกครั้งที่สามารถเปลี่ยนเป็นการทำซ้ำได้? เพราะถ้าเป็นไปได้ที่จะแปลงการเรียกซ้ำทั้งหมดเป็นการวนซ้ำฉันจะสามารถแสดงการดำเนินการทั้งหมดเป็นลำดับของการเพิ่ม คำถามของฉันคือ: การเรียกซ้ำทุกครั้งสามารถเปลี่ยนเป็นการทำซ้ำได้หรือไม่และทำไม โปรดให้คำตอบกับนักเรียนมัธยมปลายที่สดใสหรือปริญญาตรีปีแรกจะเข้าใจ ขอขอบคุณ. ป.ล. ฉันไม่ทราบว่าการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมคืออะไร (ฉันรู้เกี่ยวกับฟังก์ชัน Ackermann และนั่นไม่ใช่การเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม แต่ยังคงคำนวณได้ ALL …

41 computability  recursion  iteration 

ในคำตอบนี้มีการกล่าวถึง ภาษาปกติสามารถรับรู้โดยหุ่นยนต์ จำกัด ภาษาบริบทฟรีต้องมีกองและบริบทภาษามีความละเอียดอ่อนต้องใช้สองกอง (ซึ่งเทียบเท่ากับบอกว่ามันต้องใช้เครื่องทัวริงเต็ม) ฉันต้องการทราบเกี่ยวกับความจริงของส่วนหนาด้านบน อันที่จริงมันเป็นจริงหรือไม่? อะไรคือวิธีที่ดีในการตอบคำถามนี้?

41 computability  turing-machines  automata  pushdown-automata 

ในทฤษฎีการคำนวณและความซับซ้อน (และสาขาอื่น ๆ ) การลดลงนั้นแพร่หลาย แสดงให้เห็นว่าปัญหาที่หนึ่ง: มีหลายชนิดหลักการยังคงเหมือนเดิมมี แต่อย่างน้อยเป็นหนักเป็นบางส่วนปัญหาอื่น ๆโดยกรณีการทำแผนที่จากกับคนที่แก้ปัญหาที่เทียบเท่าในL_1โดยพื้นฐานแล้วเราแสดงให้เห็นว่านักแก้ปัญหาสำหรับสามารถแก้ปัญหาหากเราอนุญาตให้ใช้ฟังก์ชั่นการลดเป็นตัวประมวลผลล่วงหน้าL 2 L 2 L 1 L 1 L 2L1L1L_1L2L2L_2L2L2L_2L1L1L_1L1L1L_1L2L2L_2 ฉันทำการแบ่งส่วนลดของฉันในช่วงหลายปีที่ผ่านมาและมีบางสิ่งที่ขัดขวางฉันอยู่เสมอ ในขณะที่การลดใหม่ทุกครั้งต้องใช้การสร้างที่สร้างสรรค์ (มากกว่าหรือน้อยกว่า) งานนั้นสามารถรู้สึกซ้ำได้ มีกลุ่มวิธีการบัญญัติหรือไม่? เทคนิครูปแบบและกลวิธีใดที่หนึ่งสามารถใช้เป็นประจำเพื่อสร้างฟังก์ชั่นลดขนาด นี้ควรจะกลายเป็นคำถามที่อ้างอิง ดังนั้นโปรดระมัดระวังในการให้คำตอบทั่วไปนำเสนอคำตอบที่แสดงตัวอย่างอย่างน้อยหนึ่งตัวอย่าง แต่อย่างไรก็ตามยังครอบคลุมหลาย ๆ สถานการณ์ ขอบคุณ!

40 complexity-theory  computability  reductions  proof-techniques  reference-question 

ฉันพยายามอธิบายให้คนที่ C เข้าใจว่าทัวริงสมบูรณ์และรู้ว่าจริง ๆ แล้วฉันไม่รู้ว่ามันเป็นเทคนิคทัวริงสมบูรณ์หรือไม่ (C เช่นเดียวกับในความหมายที่เป็นนามธรรมไม่เหมือนกับการใช้งานจริง) คำตอบ "ชัดเจน" (คร่าวๆ: มันสามารถระบุจำนวนหน่วยความจำโดยพลการเพื่อให้สามารถเลียนแบบเครื่องแรมดังนั้นจึงเป็นทัวริงสมบูรณ์) ไม่ถูกต้องจริงเท่าที่ฉันสามารถบอกได้แม้ว่ามาตรฐาน C อนุญาต สำหรับ size_t ที่จะมีขนาดใหญ่โดยพลการนั้นจะต้องได้รับการแก้ไขในบางความยาวและไม่ว่าจะมีการแก้ไขความยาวเท่าใดที่มันยังคง จำกัด (กล่าวอีกนัยหนึ่งถึงแม้ว่าคุณจะได้รับเครื่องทัวริงหยุดโดยพลการเลือกขนาด size_t ซึ่งมันจะทำงาน "ถูกต้อง" แต่ก็ไม่มีทางเลือกขนาด size_t ซึ่งเครื่องทัวริงทัวริงทั้งหมดจะทำงานอย่างถูกต้อง) ดังนั้น: C99 ทัวริงเสร็จสมบูรณ์?

39 computability  turing-completeness  c 

มีเครื่องจักรเชิงทฤษฎีใดบ้างที่เกินขีดความสามารถของทัวริงในบางพื้นที่หรือไม่?

39 computability  turing-machines  hypercomputation 

สรุป:ตามทฤษฎีบทของไรซ์ทุกอย่างเป็นไปไม่ได้ แต่ถึงกระนั้นฉันก็ทำสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตลอดเวลา! แน่นอนทฤษฎีบทของไรซ์ไม่เพียงแค่พูดว่า "ทุกอย่างเป็นไปไม่ได้" มันบอกอะไรบางอย่างที่ค่อนข้างเฉพาะเจาะจง: "คุณสมบัติของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ทุกโปรแกรมไม่สามารถคำนวณได้" (ถ้าคุณต้องการที่จะแยกเส้นผมคุณสมบัติ "ไม่สำคัญ" ทุกอย่างนั่นคือคุณสมบัติที่โปรแกรมทั้งหมดมีหรือไม่มีโปรแกรมที่มีการคำนวณได้เล็กน้อย แต่คุณสมบัติอื่น ๆ นั้นไม่สามารถคำนวณได้) นั่นคือสิ่งที่ทฤษฎีบทพูดหรือดูเหมือนจะพูด และน่าจะมีคนฉลาดจำนวนมากได้ตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีนี้อย่างรอบคอบ แต่ดูเหมือนว่าจะท้าทายตรรกะอย่างสมบูรณ์! มีคุณสมบัติมากมายของโปรแกรมที่ไม่สำคัญในการคำนวณ !! ตัวอย่างเช่น: โปรแกรมดำเนินการกี่ขั้นตอนก่อนหยุดพัก ในการตัดสินใจว่าจำนวนนี้มี จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุดเป็นปัญหาการหยุดชะงักอย่างแม่นยำซึ่งไม่สามารถคำนวณได้ ที่จะตัดสินใจว่าตัวเลขนี้เป็นมากหรือน้อยกว่าบาง จำกัดเป็นที่น่ารำคาญ! เพียงเรียกใช้โปรแกรมนานถึงnขั้นตอนและดูว่าหยุดทำงานหรือไม่ ง่าย!nnnnnn โปรแกรมใช้หน่วยความจำมากกว่าหรือน้อยกว่าหน่วยในขั้นตอนการเอ็มครั้งแรกหรือไม่ คำนวณได้เล็กน้อยnnnม.mm ข้อความของโปรแกรมพูดถึงตัวแปรที่ชื่อหรือไม่? การวิเคราะห์ข้อความเล็กน้อยจะเปิดเผยคำตอบkkk โปรแกรมเรียกใช้คำสั่งหรือไม่ สแกนข้อความของโปรแกรมอีกครั้งเพื่อค้นหาชื่อคำสั่งนั้นσσ\sigma ฉันสามารถเห็นความอุดมสมบูรณ์ของคุณสมบัติที่ทำดูไม่ใช่คำนวณเช่นกัน; เช่นการเติมเต็มจำนวนของโปรแกรมทำงานเป็นจำนวนเท่าใด? เกือบจะเหมือนกันกับการถามว่ามีกี่ขั้นตอนในการทำงานของโปรแกรมซึ่งเป็นปัญหาการหยุดชะงัก แต่ดูเหมือนว่ามีคุณสมบัติโปรแกรมจำนวนมากซึ่งง่ายต่อการคำนวณ ทฤษฎีบทของไรซ์ยังยืนยันว่าไม่มีใครสามารถคำนวณได้ สิ่งที่ฉันหายไปที่นี่?

37 terminology  computability  undecidability  rice-theorem 

ฉันรู้ว่าไอดริสมีประเภทตาม แต่ไม่สมบูรณ์ สิ่งใดที่ไม่สามารถทำได้โดยการยกเลิกความสมบูรณ์ของทัวริงและสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการมีประเภทตาม ฉันเดาว่านี่เป็นคำถามที่เฉพาะเจาะจง แต่ฉันไม่ทราบจำนวนมากเกี่ยวกับประเภทพึ่งพาและระบบประเภทที่เกี่ยวข้อง

35 computability  programming-languages  type-theory  dependent-types