หลักฐานที่ขัดแย้งกันสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของ P และ NP?

ฉันพยายามยืนยันว่า N ไม่เท่ากับ NP โดยใช้ทฤษฎีลำดับชั้น นี่คือข้อโต้แย้งของฉัน แต่เมื่อฉันแสดงให้ครูของเราและหลังหักเขาบอกว่านี่เป็นปัญหาที่ฉันไม่สามารถหาเหตุผลที่น่าสนใจที่จะยอมรับ

เราเริ่มต้นปิดโดยสมมติว่า $P=NP$ Pจากนั้นก็จะมีอัตราผลตอบแทนที่ $\mathit{SAT} \in P$ ที่ตัวเองแล้วตามที่ $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ )ขณะที่ยืนเรามีความสามารถที่จะทำลดทุกภาษาใน $NP$ เพื่อ $\mathit{SAT}$ Tดังนั้น $NP \subseteq TIME(n^k)$ )ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาระบุว่าควรมีภาษา $A \in TIME(n^{k+1})$ ที่ไม่ได้อยู่ใน $TIME(n^k)$ )นี่จะทำให้เราสรุปได้ว่า $A$ อยู่ใน $P$ แต่ไม่ใช่ $NP$ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานแรกของเรา ดังนั้นเรามาสรุปว่า $P \neq NP$ P

มีบางอย่างผิดปกติกับหลักฐานของฉัน?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— inverted_index
แหล่งที่มา

กรุณาเขียนสิ่งที่ต้องการแทน $\mathit{SAT}$ $SAT$ ดังที่ Leslie Lamport เขียนไว้ในหนังสือ LaTeX ฉบับดั้งเดิมของเขาหนังสือเล่มนี้ย่อมาจาก S times A

— Oliphaunt - คืนสถานะโมนิก้า

ยังดีกว่าใช้แพคเกจและก็เขียนcomplexity \SAT(ฉันเดาว่ามันไม่พร้อมใช้งานในสแต็กนี้)

— Oliphaunt - คืนสถานะโมนิก้า

@Oliphaunt ทำไมไม่แนะนำให้แก้ไขเมื่อคุณสามารถปรับปรุงการโพสต์ แม้ว่าฉันต้องบอกว่าที่นี่ความแตกต่าง (ถ้ามี) นั้นลึกซึ้งกว่าที่ฉันคาดไว้มาก

— จิ้งจกไม่ต่อเนื่อง

@Delretelizard ฉันมักจะทำ แต่มันเป็น "งานมากเกินไป" คราวนี้ (ฉัน / มือถือบน) การเข้าสู่ $ และ \ ทั้งหมดนั้นเป็นงานที่พิถีพิถัน ฉันเลือกที่จะให้การศึกษาแทน (การตัดสินใจนี้อาจไม่สมเหตุสมผลเลย)

— Oliphaunt - คืนสถานะโมนิก้า

คำตอบ:

จากนั้นก็ให้ผลลัพธ์ว่า $SAT \in P$ ซึ่งตัวมันเองนั้นตามมาจาก $SAT \in TIME(n^k)$ )

แน่ใจ

ขณะที่ยืนเรามีความสามารถที่จะทำลดทุกภาษาใน $NP$ เพื่อ $SAT$ Tดังนั้น $NP \subseteq TIME(n^k)$ )

ไม่การลดเวลาพหุนามไม่ฟรี เราสามารถพูดได้ว่าใช้เวลา $O(n^{r(L)})$ ในการลดภาษา $L$ ถึง $SAT$ โดยที่ $r(L)$ เป็นเลขชี้กำลังในการลดเวลาของพหุนามที่ใช้ นี่คือที่อาร์กิวเมนต์ของคุณแตกสลาย ไม่มีแน่นอนคือ $k$ เช่นว่าทุก $L \in NP$ เรามี $r(L) < k$ kอย่างน้อยที่สุดสิ่งนี้ไม่ได้ติดตามจาก $P = NP$ และจะเป็นคำสั่งที่แข็งแกร่งมากขึ้น

และข้อความที่แข็งแกร่งขึ้นนี้ขัดแย้งกับทฤษฎีลำดับชั้นของเวลาซึ่งบอกเราว่า $P$ ไม่สามารถยุบเข้าไปใน $TIME(n^k)$ นับเป็น $NP$ ทั้งหมดได้

— orlp
แหล่งที่มา

ไม่ใช่เพียงเวลาสำหรับการลดเท่านั้น คุณสามารถลดปัญหาให้ใหญ่ขึ้นได้ ถ้าฉันสามารถแก้ไข X ใน O (n ^ 5) และฉันสามารถลดปัญหาใน Y ใน O (n ^ 6) เป็นอินสแตนซ์ขนาด O (n ^ 3) ของ X แล้วฉันต้องการ O (n ^ 15) เบ็ดเสร็จ.

— gnasher729

ข้อโต้แย้งนี้นำไปใช้กับปัญหาที่สมบูรณ์แบบของ PTIME เช่น HORNSAT ซึ่งสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้น (แต่ไม่ใช่ปัญหาทั้งหมดใน P คือเวลาเชิงเส้น)

— cody

สมมติว่า $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ ]โดยรุ่น nondeterministic ของทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาสำหรับการใด ๆ $r$ มีปัญหา $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ ที่ไม่อยู่ใน $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ ]นี่เป็นผลลัพธ์ที่ไม่มีเงื่อนไขที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อสันนิษฐานใด ๆ เช่น $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

เลือกใด ๆ $r>k$ kสมมติว่าเรามีการลดลงที่กำหนดจาก $X_r$ เพื่อ $\mathrm{3SAT}$ ที่วิ่งในเวลา $n^t$ Tมันผลิต $\mathrm{3SAT}$ ตัวอย่างของขนาดที่มากที่สุด $n^t$ ซึ่งสามารถแก้ไขได้ในเวลาที่มากที่สุด $(n^t)^k=n^{tk}$ kจากการเลือก $X_r$ เราต้องมี $tk>r-1$ ดังนั้น $t>(r+1)/k$ kฟังก์ชั่นนี้เติบโตได้โดยไม่ต้องผูกพันกับ R $r$

ซึ่งหมายความว่ามีขอบเขตไม่ว่านานแค่ไหนก็สามารถใช้เพื่อลดพล $\mathrm{NP}$ ปัญหา $\mathrm{3SAT}$ Tแม้ว่า $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ แต่ก็ยังไม่มีข้อ จำกัด ว่าจะใช้เวลานานแค่ไหนในการลด ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งแม้ว่า $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ สำหรับ $k'$ บางคน เราไม่สามารถสรุปได้ว่า $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ $k''>k'$

— David Richerby
แหล่งที่มา