การแบ่งเค้กสองมิติอย่างยุติธรรม

ฉันสนใจวิธีการในการแบ่งที่ดินอย่างยุติธรรม (เช่นการแบ่งความอิจฉาหรือการแบ่งสัดส่วนอย่างน้อย)

ตรงกันข้ามกับปัญหาการแบ่งเค้กที่ศึกษามาอย่างดีการแบ่งที่ดินเป็นสองมิติกล่าวคือความชอบของผู้ใช้อาจแตกต่างกันทั้งในแนวนอนและแนวตั้ง ดังนั้นจึงไม่สามารถ จำกัด อัลกอริทึมให้ตัดแบบขนาน

การอ้างอิงที่เดียวที่ฉันพบเพื่อให้ห่างไกลเป็นคาร์ทิคเยอร์และไมเคิล Huhns 2007 พวกเขากล่าวว่า "เรายังไม่พบวิธีแก้ปัญหาที่สร้างสรรค์ (อัลกอริทึม) ใด ๆ ต่อปัญหาการแบ่งที่ดินโดยทั่วไปเอกสารทั้งหมดได้เสนอวิธีแก้ปัญหาที่มีอยู่สำหรับปัญหาที่มีคุณสมบัติ"

พวกเขาพิสูจน์ว่าเป็นอัลกอริทึม O (n ^ 2) สำหรับการแบ่งที่ดินตามสัดส่วนโดยมีข้อ จำกัด บางอย่าง (เช่นตัวแทนเอเจนต์แต่ละคนจะต้องทำเครื่องหมายพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากด้วยยูทิลิตี้ 1 / n และถ้าสี่เหลี่ยมไม่ทับซ้อนกันมากเกินไป รับประกันว่าตัวแทนแต่ละคนจะได้รับหนึ่งในสี่เหลี่ยมของมัน)

คุณรู้จักการอ้างอิงที่ใหม่กว่าเกี่ยวกับปัญหานี้หรือไม่? ฉันสนใจเป็นพิเศษเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่ใช้งานได้จริงและพวกมันอาจเป็นค่าประมาณ

ผู้เขียนกล่าวถึงคุณมีกระดาษอื่นในหัวข้อ

คุณจะพอใจกับแบบจำลองที่สมมติว่าคุณสมบัติของพื้นผิวที่ได้รับการจัดสรรสามารถสรุปได้ด้วยชุดพารามิเตอร์หนึ่งมิติขนาดใหญ่ที่ จำกัด แต่ จำกัด (เช่นความยาวความลึกความลึกจุดเหนือสุดจุดตะวันออกสุด ... จริง ๆ มากเท่าที่คุณต้องการ แต่ จำกัด )?

หากสิ่งนี้เป็นที่น่าพอใจสำหรับคุณและคุณตกลงกับผู้คนที่มีความพึงพอใจเหนือพื้นผิวตามที่อธิบายโดยค่าของพารามิเตอร์เหล่านี้คุณอาจพบข้อมูลเชิงลึกที่เป็นประโยชน์ในทฤษฎีการจัดสรรยุติธรรมของการรวมกลุ่มของสินค้าหลายอย่าง แนะนำที่ดี (และฟรี) เป็น"ยุติธรรมกฎการจัดสรร" โดยวิลเลียมทอมสัน

แน่นอนว่าเมื่อมิติแสดงถึงพารามิเตอร์ที่อธิบายรูปร่างที่จะจัดสรรคุณมีแนวโน้มที่จะมีการตั้งค่าที่ผิดปกติซึ่งยากต่อการทำงานและไม่เหมาะสมกับผลลัพธ์ที่มีอยู่ อาจจะคุ้มค่าที่จะลอง ...

ฉันคิดว่าคุณสามารถแก้ไขปัญหาได้ด้วยการลดมิติของปัญหา ตัวอย่างเช่นคุณสามารถแบ่งที่ดินออกเป็นพื้นที่ไม่ต่อเนื่อง (ด้วยตนเองหรือใช้อัลกอริทึมที่เหมาะสม) จากนั้นคุณสามารถใช้ขั้นตอนวิธีการที่ไม่ต่อเนื่องมิติอย่างใดอย่างหนึ่งเช่นวิธีการเสนอราคาปิดผนึกที่อธิบายไว้ในhttp://www.colorado.edu/education/DMP/fair_division.html

ฉันไม่พบคำตอบที่เหมาะสมเพื่อให้ฉันได้เขียนหนึ่งตัวเอง มันเป็นส่วนแรกของปริญญาเอกของฉัน วิทยานิพนธ์. ยังมีคำถามเปิดจำนวนมากในฟิลด์นี้