มีการแจ้งเตือนหลายรายการเช่นหรือเป็นต้น ฉันสงสัยว่าถ้ามีความแตกต่างของความเป็นจริงเช่นหรือหรือถ้าสิ่งเหล่านั้นไม่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์$O$$O(n)$$O(n^2)$$O(2n^2)$$O(\log n^2)$

หรือเป็นสิ่งที่ถูกต้องที่จะบอกว่าเป็นไปได้ที่จะปรับปรุงเป็น ? ฉันยังไม่สามารถและไม่จำเป็นต้องรู้ว่ารันไทม์ยังและฉันไม่จำเป็นต้องปรับปรุงอะไร แต่ฉันต้องรู้ว่านี่เป็นวิธีที่คุณอธิบายฟังก์ชั่นของคุณในความเป็นจริงหรือไม่$O(5n^2)$$O(3n^2)$

ฉันสงสัยว่าถ้ามีความแตกต่างของความเป็นจริงเช่นหรือหรือหากสิ่งนั้นไม่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์$O(2n^2)$$O(\log (n^2))$

ใช่หรือเป็นรูปแบบที่ถูกต้อง$O(2n^2)$$O(\log (n^2))$

อย่างไรก็ตามคุณจะเห็นพวกเขาน้อยมากหากคุณเห็นพวกเขาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในผลลัพธ์สุดท้าย เหตุผลก็คือว่าเป็น2) ในทำนองเดียวกันเป็นn) นั่นอาจจะแปลกใจสำหรับผู้เริ่มต้น อย่างไรก็ตามความเท่ากันเหล่านั้นมีเหตุผลมากขึ้นหรือน้อยกว่าที่ทำให้คำอธิบาย -Big ถูกนำมาใช้เพื่อซ่อนปัจจัยคงที่แบบทวีคูณซึ่งมักจะยากที่จะตรึงลงและไม่มีนัยสำคัญ$O(2n^2)$ $O(n^2)$$O(\log (n^2))$ $O(\log n)$$O$

มันจะเป็นสิ่งที่ถูกต้องที่จะบอกว่ามันเป็นไปได้ในการปรับปรุงกับ ?$O(5n^2)$$O(3n^2)$

มันไม่ได้เป็นการปรับปรุงเลยหากความซับซ้อนของเวลาของอัลกอริทึมเปลี่ยนจากเป็นหรือจากเป็น , เพราะเป็นในขณะที่เป็น2) ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่ไม่ถูกต้องที่จะบอกว่าเวลาที่ซับซ้อนจะดีขึ้นจากเพื่อ2) มันถูกต้องที่จะบอกว่าเวลาที่ซับซ้อนของอัลกอริทึมได้รับการปรับปรุงจากเป็นแน่นอน$O(5n^2)$$O(3n^2)$$\Omega(5n^2)$$\Omega(3n^2)$$O(5n^2)$$O(3n^2)$$\Omega(5n^2)$$\Omega(3n^2)$$O(5n^2)$$O(3n^2)$$5n^2$$3n^2$

การออกกำลังกาย 1.แสดงให้เห็นว่า2)$O(5n^2)=O(3n^2)=O(n^2)$

การออกกำลังกาย 2.แสดงให้เห็นว่า2))$O(\log n)=O(\log (n^2))$

การออกกำลังกาย 3.แสดงให้เห็นว่า2)$\Omega(n^2+n)=\Omega(n^2)$

คุณมีอิสระที่จะไม่ใช้สัญลักษณ์นี้ได้ตลอดเลย นั่นคือคุณสามารถกำหนดฟังก์ชั่น$f(n)$อย่างแม่นยำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้แล้วพยายามปรับปรุงสิ่งนั้น ตัวอย่างเช่นคุณอาจมีอัลกอริทึมการเรียงลำดับที่ทำ$f(n)$ การเปรียบเทียบดังนั้นคุณสามารถลองใช้อัลกอริทึมการเรียงลำดับอื่นที่ทำได้ $g(n)$เปรียบเทียบ แน่นอนฟังก์ชั่นทุกชนิด$f(n)$ มีอยู่ (ในทางทฤษฎี) และยังสามารถเกิดขึ้นได้ (ในทางปฏิบัติ)

แทนที่จะรักษาสัญกรณ์บิ๊กโอ้เป็นความมหัศจรรย์ลึกลับที่คุณจะต้องปรึกษาพ่อมดที่จะถามว่าคุณสามารถทำสิ่งที่คุณควรจะดูที่ความหมายของมัน เคารพคำจำกัดความแล้วทำสิ่งที่คุณต้องการเพื่อให้งานของคุณสำเร็จ

แม้ว่าคำตอบที่ได้รับการยอมรับนั้นค่อนข้างดี แต่ก็ยังไม่ได้สัมผัสกับเหตุผลที่แท้จริงว่าทำไม $O(n) = O(2n)$.

สัญลักษณ์ Big-O อธิบายความสามารถในการขยาย

ที่แกนกลางของ Big-O Notation ไม่ใช่คำอธิบายว่าขั้นตอนวิธีใช้เวลานานแค่ไหน หรือเป็นคำอธิบายถึงจำนวนขั้นตอนบรรทัดของโค้ดหรือการเปรียบเทียบอัลกอริทึม มันมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อใช้เพื่ออธิบายวิธีอัลกอริทึมที่ปรับตามจำนวนอินพุต

ใช้การค้นหาแบบไบนารีเช่น รับรายการที่เรียงลำดับแล้วคุณจะหาค่าที่อยู่ภายในได้อย่างไร คุณเริ่มตรงกลางได้ เนื่องจากรายการจะถูกเรียงลำดับค่ากลางจะบอกคุณครึ่งหนึ่งของรายการค่าเป้าหมายของคุณอยู่ดังนั้นรายการที่คุณต้องค้นหาจึงแยกครึ่ง สิ่งนี้สามารถนำไปใช้ซ้ำแล้วไปที่ตรงกลางของรายการใหม่และอื่น ๆ จนกระทั่งขนาดรายการเป็น 1 และคุณได้พบค่าของคุณ (หรือไม่มีอยู่ในรายการ) การเพิ่มขนาดรายการเป็นสองเท่าเพิ่มขั้นตอนพิเศษหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมซึ่งเป็นความสัมพันธ์แบบลอการิทึม ดังนั้นอัลกอริทึมนี้คือ$O(\log n)$. ลอการิทึมนั้นเป็นฐาน 2 แต่ไม่สำคัญ - หลักของความสัมพันธ์คือการคูณรายการด้วยค่าคงที่เพียงเพิ่มค่าคงที่ให้กับเวลาเท่านั้น

ตัดกันการค้นหามาตรฐานผ่านรายการที่ไม่เรียงลำดับ - วิธีเดียวที่จะค้นหาค่าในกรณีนี้คือการตรวจสอบแต่ละรายการ สถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด (ซึ่งเป็นสิ่งที่ Big-O บอกเป็นพิเศษ) คือคุณค่าของคุณอยู่ท้ายที่สุดซึ่งหมายถึงรายการขนาด$n$คุณต้องตรวจสอบ $n$ค่า การเพิ่มขนาดรายการเป็นสองเท่าของจำนวนครั้งที่คุณต้องตรวจสอบซึ่งเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น$O(n)$. แต่แม้ว่าคุณจะต้องดำเนินการสองอย่างสำหรับแต่ละค่า แต่การประมวลผลบางอย่างยังคงมีความสัมพันธ์เชิงเส้น$O(2n)$ เพียงแค่ไม่มีประโยชน์ในฐานะเป็น descriptor เนื่องจากมันจะอธิบายความยืดหยุ่นที่แน่นอนเช่นเดียวกับ $O(n)$.

ฉันขอขอบคุณที่คำตอบเหล่านี้ส่วนใหญ่บอกให้คุณมาสรุปด้วยตัวคุณเองโดยอ่านคำจำกัดความของ Big-O แต่ความเข้าใจที่หยั่งรู้นี้ทำให้ฉันใช้เวลาสักครู่หนึ่งในการก้มศีรษะไปรอบ ๆ และฉันก็วางมันไว้กับคุณเท่าที่จะทำได้

คุณสามารถเขียน $O(f)$สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ$f$และทำให้รู้สึกที่สมบูรณ์แบบ ตามคำจำกัดความ$g(n)=O(f(n))$ หากมีบางอย่างคงที่ $c$ ดังนั้น $g(n)\leq c\,f(n)$ สำหรับทั้งหมดมีขนาดใหญ่พอ $n$. ไม่มีสิ่งใดในคำจำกัดความที่กล่าวว่า$f$ ต้องเป็นฟังก์ชัน "ดี" บางประเภท

แต่ดังที่คำตอบอื่น ๆ ชี้ให้เห็น $g(n)=O(f(n))$ และ $g(n)=O(2f(n))$ อธิบายถึงสถานการณ์เดียวกันทั้งหมด: ถ้า $g(n)\leq c\,f(n)$ สำหรับทั้งหมดมีขนาดใหญ่พอ $n$แล้วเราก็มี $g(n)\leq \tfrac{c}{2}2f(n)$ดังนั้น $g(n)=O(2f(n))$ยังรับค่าคงที่ด้วย $c/2$)

ในฐานะที่เป็นปัญหาด้านอย่าเขียน "$\log n^2$"เพราะมันไม่ชัดเจน 100% ความหมายคุณสามารถบอกได้ว่ามันหมายถึงชัดเจน $\log(n^2)$ แต่เกือบทุกคนจะเขียนว่าเป็น $2\log n$ดังนั้นจึงเป็นที่สงสัยในความคิดของผู้อ่าน

นอกจากนี้โปรดทราบว่าใหญ่ -$O$สัญกรณ์มีอะไรจะทำอย่างไรกับเวลาการทำงานต่อ se มันเป็นเพียงสัญลักษณ์สำหรับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นเหล่านี้มักจะใช้ในการวัดรันไทม์ของอัลกอริทึม แต่นั่นเป็นเพียงแอปพลิเคชั่นเดียวเช่นเดียวกับการวัดความสูงของผู้คน

ดูคำจำกัดความของ O (f (n)) และคุณเห็นว่าเช่น O (2n ^ 2) และ O (n ^ 2) เหมือนกันทุกประการ การเปลี่ยนอัลกอริทึมจากการทำงาน 5n ^ 2 เป็น 3n ^ 2 เป็นการปรับปรุง 40 เปอร์เซ็นต์ การเปลี่ยนจาก O (5n ^ 2) เป็น O (3n ^ 2) ไม่ใช่การเปลี่ยนแปลง แต่อย่างใด

อ่านคำนิยามของ O (f (n)) อีกครั้ง

มันอาจจะเป็นประโยชน์ที่จะเข้าใจว่า Big-O อธิบายชุดของฟังก์ชั่น นั่นคือ$O(f(n)) = \lbrace g(n) | \exists n,c>0: \forall m > n: c\times g(m) \le f(m)\rbrace$

การใช้งานของ $=$ โชคร้ายและใช้งานอยู่ $\in$จะทำให้ความสัมพันธ์นั้นชัดเจนยิ่งขึ้น แต่สัญลักษณ์สัญกรณ์ที่ตั้งไว้นั้นค่อนข้างยากที่จะพิมพ์ดังนั้นตอนนี้เราติดอยู่กับการประชุมปัจจุบัน

นี่แสดงให้เห็นว่า $O(n) = O(2n)$ หรือปัจจัยคงที่นั้นไม่สำคัญเมื่อกำหนดบิ๊กโอ