ความซับซ้อนของเวลาของอัลกอริทึม: มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะระบุฐานของลอการิทึมหรือไม่?

เนื่องจากมีเพียงค่าคงที่ระหว่างฐานของลอการิทึมมันไม่ใช่แค่การเขียนเมื่อเทียบกับหรืออะไรก็ตาม ฐานอาจจะเป็นอย่างไร$f(n) = \Omega(\log{n})$$\Omega(\log_2{n})$

มันขึ้นอยู่กับลอการิทึม ถ้ามันเป็นเพียงแค่ปัจจัยก็ไม่ได้สร้างความแตกต่างเพราะ big-O หรืออนุญาตให้คุณคูณด้วยค่าคงที่ใด ๆ$\theta$

หากคุณใช้ฐานนั้นสำคัญ ในฐานที่ 2 คุณจะมีเพียงในฐาน 10 มันเกี่ยวกับ0.3010)$O(2^{\log n})$$O(n)$$O(n^{0.3010})$

เพราะสัญกรณ์ asymptotic เป็นลบเลือนของปัจจัยคงที่และสองลอการิทึมแตกต่างกันโดยปัจจัยคงที่ฐานทำให้ไม่แตกต่าง: $\log_a n = \Theta(\log_b n)$สำหรับทุก, B > 1 ดังนั้นไม่จำเป็นต้องระบุฐานของลอการิทึมเมื่อใช้สัญกรณ์ asymptotic$a,b > 1$

ในฐานะที่เป็น$\log_xy = \frac{1}{\log_y{x}}$และ$\log_x{y} = \frac{\log_z{y}}{\log_z{x}}$เพื่อ $\frac{\log_a{n}}{\log_b{n}} = \frac{\log_n{b}}{\log_n{a}} = \log_a{b}$ข ในฐานะที่$\log_a{b}$เป็นค่าคงที่บวก (สำหรับทุก,B>1) เพื่อเข้าสู่ระบบn=Θ(บันทึกขn)$a,b > 1$$\log_a{n} = \Theta(\log_b{n})$

ในกรณีส่วนใหญ่การวางฐานของลอการิทึมนั้นปลอดภัยเนื่องจากเป็นคำตอบอื่น ๆ ที่ชี้ให้เห็นสูตรการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานสำหรับลอการิทึมหมายความว่าลอการิทึมทั้งหมดเป็นค่าคงที่ทวีคูณซึ่งกันและกัน

มีบางกรณีที่สิ่งนี้ไม่ปลอดภัย ตัวอย่างเช่น @ gnasher729 ได้ชี้ให้เห็นว่าหากคุณมีลอการิทึมในเลขชี้กำลังแล้วฐานลอการิทึมนั้นสำคัญมาก

ฉันต้องการชี้ให้เห็นอีกกรณีหนึ่งที่ฐานของลอการิทึมมีความสำคัญและเป็นกรณีที่ฐานของลอการิทึมขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ระบุว่าเป็นอินพุตของปัญหาโดยตรง ยกตัวอย่างเช่นอัลกอริธึมการเรียงลำดับ radix ทำงานโดยการเขียนตัวเลขในฐาน$b$บางส่วนการสลายการป้อนหมายเลขลงในหลักฐาน$b$จากนั้นใช้การเรียงลำดับการนับเพื่อเรียงลำดับตัวเลขเหล่านั้นทีละหนึ่งหลัก งานที่ทำต่อรอบแล้ว$\Theta(n + b)$และมีประมาณ$\log_b U$รอบ (ที่$U$เป็นจำนวนเต็มอินพุตสูงสุด) เพื่อให้รันไทม์รวมเป็น$O((n + b) \log_b U)$ ) สำหรับจำนวนเต็มคงที่ใด ๆ$b$จะทำให้$O(n \log U)$ง่ายขึ้น อย่างไรก็ตามจะเกิดอะไรขึ้นถ้า$b$ไม่คงที่ เทคนิคฉลาดคือการเลือก$b = n$ซึ่งในกรณีที่ช่วยลดความยุ่งยากในการรันไทม์$O(n + \log_n U)$ ) ตั้งแต่$\log_n U$ =$\frac{\log U}{\log n}$ , การแสดงออกโดยรวมลดความซับซ้อนของ$O(\frac{n \log U}{\log n})$ ) ขอให้สังเกตว่าในกรณีนี้ฐานของลอการิทึมนั้นสำคัญมากเพราะมันไม่คงที่เมื่อเทียบกับขนาดอินพุต มีอัลกอริธึมอื่น ๆ ที่มี runtimes ที่คล้ายคลึงกัน (การวิเคราะห์แบบเก่าของชุด disjoint-Forest ได้จบลงด้วยคำของ$\log_{m/2 + 2}$อื่นเช่น) ซึ่งในกรณีที่การทิ้งฐานบันทึกจะรบกวนการวิเคราะห์รันไทม์

อีกกรณีหนึ่งที่เรื่องฐานการบันทึกเป็นเรื่องหนึ่งซึ่งมีพารามิเตอร์ที่ปรับได้จากภายนอกบางส่วนสำหรับอัลกอริทึมที่ควบคุมฐานลอการิทึม ตัวอย่างที่ดีของที่นี่คือ B-ต้นไม้ซึ่งจะต้องมีบางภายนอกพารามิเตอร์ข$b$ความสูงของต้นไม้ B ของลำดับ$b$คือ$\Theta(\log_b n)$โดยที่ฐานของลอการิทึมมีความสำคัญใน$b$นั้นไม่คงที่

เพื่อสรุปในกรณีที่คุณมีลอการิทึมที่มีฐานคงที่คุณสามารถโดยปกติ (ขึ้นอยู่กับข้อยกเว้นเช่นสิ่งที่ @ gnasher729 ชี้ไปที่) วางฐานของลอการิทึม แต่เมื่อฐานของลอการิทึมขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์บางตัวของอัลกอริทึมก็มักจะไม่ปลอดภัยที่จะทำเช่นนั้น