ได้รับกราฟคอร์ดัสิ่งที่เป็นความซับซ้อนของการคำนวณการลดก๊กกราฟ ?

กราฟเป็นเสียงประสานถ้ามันไม่ได้เกิดวงจรความยาวหรือมากกว่า ต้นไม้ก๊กของเป็นต้นไม้ที่จุดของต้นไม้ที่มีชมรมสูงสุดของGขอบในสอดคล้องกับตัวคั่นที่น้อยที่สุด จำนวนของกลุ่มต้นไม้ที่แตกต่างกันสามารถเป็นเลขชี้กำลังในจำนวนจุดยอดในกราฟคอร์ด$G$$4$$T$$G$$G$$T$

ลดกราฟก๊ก เป็นสหภาพของต้นไม้ก๊กทั้งหมดของGนั่นคือมันมีจุดยอดเดียวกันและขอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ความซับซ้อนของการคำนวณสำหรับกำหนดคืออะไร?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

ฉันคิดว่าฉันเคยเห็นงานนำเสนอที่อ้างว่าสามารถคำนวณในเวลาโดยไม่มีข้อพิสูจน์ นี้จะหมายความว่ามันเป็นเรื่องง่ายเหมือนการคำนวณต้นไม้ก๊กของGมีการอ้างอิงที่ยืนยันสิ่งนี้หรือให้อัลกอริทึมที่ช้ากว่าสำหรับการคำนวณมันหรือไม่?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

ความซับซ้อนคือ O (nm) ... จาก G คำนวณ cliques สูงสุดและทำให้จุดยอดในกราฟ H (เริ่มแรกโดยไม่มีขอบ) ... จากนั้นคำนวณตัวคั่นที่น้อยที่สุดและเรียงตามขนาด ... เลือกตัวคั่นที่ใหญ่ที่สุด S และทำสอง cliques C, C 'ที่อยู่ติดกันใน H (เชื่อมต่อพวกเขาด้วยขอบกับฉลาก S) ถ้า C, C' ทั้งสองมี S และอยู่ในส่วนประกอบที่เชื่อมต่อที่แตกต่างกันของ H (เริ่มแรกนี้แน่นอนเสมอจริง แต่อาจ ไม่ใช่ในภายหลัง) ... จากนั้นเลือกตัวแยกที่ใหญ่ที่สุดถัดไปและทำเช่นเดียวกัน ... ทำซ้ำจนกว่าตัวคั่นทั้งหมดจะถูกประมวลผล ... กราฟผลลัพธ์ H คือกราฟเส้นลดลงของ G ... การคำนวณ cliques สูงสุดและตัวคั่นน้อยที่สุดใช้ O (n + m) ... มี O (n) cliques และ O (n) separators ... ส่วนที่เหลือของการก่อสร้างคือ O (nm) เนื่องจากการประมวลผลแต่ละตัวคั่นสามารถใช้ O (m) เวลา ... .. .สิ่งนี้ไม่สามารถปรับปรุงได้ต่ำกว่า O (n ^ 2) เว้นแต่ว่าคุณจะสามารถแก้ปัญหาต่อไปนี้: เนื่องจากกราฟ G ค้นหาสองจุดยอด u, v เช่นนั้น N (u) มี N (v) ... ไม่รู้จักหลัง O (n + m) ทางออก ... ... ดังนั้นจึงไม่น่าเป็นไปได้ที่ O (n + m) อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณกราฟกลุ่มลดลงเป็นไปได้ ...

ดูหมวดที่ 5 ใน M. Habib, J. Stacho: อัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับกราฟของกราฟ chordal, ใน: อัลกอริทึม - ESA 2009, หมายเหตุการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ 5757/2009, pp 290-300 ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )