สีต้นไม้ไบนารีให้เป็นต้นไม้สีแดงดำ

คำถามสัมภาษณ์ที่พบบ่อยคือการให้อัลกอริทึมเพื่อตรวจสอบว่าต้นไม้ไบนารีที่กำหนดมีความสูงสมดุล (นิยามของต้นไม้ AVL)

ฉันสงสัยว่าถ้าเราสามารถทำอะไรที่คล้ายกับต้นไม้สีแดงดำ

ได้รับไบนารีต้นไม้ที่ไม่มีการสุ่มสี (พร้อม NULL nodes) มีอัลกอริทึม "เร็ว" ซึ่งสามารถกำหนดได้ว่าเราสามารถทำสี (และค้นหาการระบายสี) โหนดแดง / ดำเพื่อให้พวกเขาตอบสนองคุณสมบัติทั้งหมดของต้นไม้สีแดง - ดำ (คำจำกัดความในคำถามนี้)?

ความคิดเริ่มแรกคือเราสามารถเอาโหนด NULL ออกและลองตรวจสอบซ้ำ ๆ ว่าต้นไม้ที่เกิดขึ้นนั้นสามารถเป็นต้นไม้สีแดงดำได้หรือไม่ แต่ดูเหมือนจะไม่ไปไหนเลย

ฉันทำเว็บ (สั้น ๆ ) เพื่อค้นหาเอกสาร แต่ดูเหมือนจะไม่พบสิ่งใดที่ดูเหมือนจะจัดการกับปัญหานี้

เป็นไปได้ว่าฉันขาดอะไรง่ายๆ

— Aryabhata
แหล่งที่มา

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าต้นไม้สามารถiffสีแดงดำสำหรับแต่ละโหนดเส้นทางที่ยาวที่สุดจากมันไปยังโหนด NULL ไม่เกินสองเท่ากว่าที่สั้นที่สุด เร็วพอหรือไม่

— Karolis Juodelė

คำตอบ:

หากสำหรับแต่ละโหนดของต้นไม้เส้นทางที่ยาวที่สุดจากโหนดนั้นไปยังโหนดใบจะไม่ยาวกว่าโหนดที่สั้นที่สุดสองเท่ากว่าต้นไม้ที่มีสีแดงดำ

นี่คืออัลกอริทึมที่ใช้หาสีของโหนดใด ๆ n

if n is root,
    n.color = black
    n.black-quota = height n / 2, rounded up.

else if n.parent is red,
    n.color = black
    n.black-quota = n.parent.black-quota.

else (n.parent is black)
    if n.min-height < n.parent.black-quota, then
        error "shortest path was too short"
    else if n.min-height = n.parent.black-quota then
        n.color = black
    else (n.min-height > n.parent.black-quota)
        n.color = red
    either way,
        n.black-quota = n.parent.black-quota - 1

ที่นี่n.black-quotaเป็นจำนวนโหนดสีดำที่คุณคาดว่าจะเห็นไปใบจากโหนดnและn.min-heightเป็นระยะทางถึงใบที่ใกล้ที่สุด

เพื่อความกระชับของโน้ตให้ , และ = $b(n) =$ n.black-quota $h(n) =$ n.height $m(n) =$ n.min-height

ทฤษฎีบท: Fix ต้นไม้ไบนารีTถ้าสำหรับทุกโหนด , และสำหรับโหนด , $T$ $n \in T$ $h(n) \leq 2m(n)$ $r = \text{root}(T)$ จากนั้นมีสีแดง - ดำที่มีจุดสีดำทุกจุดตั้งแต่รูทถึงลีฟ $b(r) \in [\frac{1}{2}h(r), m(r)]$ $T$ $b(r)$

พิสูจน์:การเหนี่ยวนำกว่า ) $b(n)$

ตรวจสอบว่าทั้งสี่ต้นของความสูงหนึ่งหรือสองตอบสนองความทฤษฎีบทที่มี 1 $b(n) = 1$

ตามคำจำกัดความของต้นไม้สีแดงดำรากเป็นสีดำ ให้เป็นโหนดกับบิดามารดาสีดำดังกล่าวว่า $n$ $p$ ]จากนั้น,และ1 $b(p) \in [\frac{1}{2}h(p), m(p)]$ $b(n) = b(p) -1$ $h(n) = h(p)-1$ $h(n) \geq m(n) \geq m(p)-1$

Assume the theorem holds for all trees with root $r$ , $b(r) < b(q)$ .

If $b(n) = m(n)$ , then $n$ can be red-black colored by the inductive assumption.

If $b(p) = \frac{1}{2}h(p)$ then $b(n) = \lceil \frac{1}{2}h(n) \rceil - 1$ $n$ $c$ $n$ $h(c) = h(p)-2$ and $b(c) = b(p)-1 = \frac{1}{2}h(p)-1 = \frac{1}{2}h(c)$ $c$

$b(n) \in (\frac{1}{2}h(r), m(r))$ , then both $n$ and a child of $n$ satisfy the inductive assumption. Therefore $n$ could have any color.

— Karolis Juodelė
แหล่งที่มา

@Aryabhata, any traversal is fine, as long as the parent is seen before its children. I don't have a formal proof written, but I have an idea of how it would look. I'll try writing something up when I can.

— Karolis Juodelė

@Aryabhata, i added a proof. Sorry I took so long.

— Karolis Juodelė

@Aryabhata, the idea is that if

b (p)

$b(p)$ of some node

p

$p$ is withing certain bounds, a child or grandchild

c

$c$ of

p

$p$ can have

b (c)

$b(c)$ within those same bounds. Having

b (n)

$b(n)$ in those bounds may correspond to

n

$n$ being black. Most of the proof is about bounding

h

$h$ and

m

$m$ of a child or grandchild, given

h

$h$ and

m

$m$ of the parent or grandparent. Your tree is certainly colorable.

b (r o o t) = 8

$b(root) = 8$ , left child is black and right child is red, the path of length 16 is

b r b r b r \dots

$brbrbr\dots$ , the path of length 8 is

b b b b b b b b

$bbbbbbbb$ , paths of 9 and 12 can have multiple valid colorings.

— Karolis Juodelė

There's a question about this answer.

— David Richerby

I believe Karolis' answer is correct (and a pretty nice characterization of red-black trees, giving an $O(n)$ time algorithm), just wanted to add another possible answer.

One approach is to use dynamic programming.

Given a tree, for each node $n$ , you construct two sets: $S_R(n)$ and $S_B(n)$ which contains the possible black-heights for the subtree rooted at $n$ . $S_R(n)$ contains the black-heights assuming $n$ is coloured Red, and $S_B(n)$ assuming $n$ is coloured black.

Now given the sets for $n.Left$ and $n.Right$ (i.e direct children of $n$ ), we can compute the corresponding sets for $n$ , by taking appropriate intersections and unions (and incrementing as needed).

I believe this comes out be an $O(n \log n)$ time algorithm.

— Aryabhata
แหล่งที่มา