สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ adjacency

10

ขณะนี้ฉันกำลังทำงานเพื่อทำความเข้าใจการใช้งานCheegerและความไม่เท่าเทียมของ Cheeger และการใช้งานสำหรับการแบ่งสเปกตรัมการดำเนินการการขยายตัว ฯลฯ แต่ฉันยังคงพยายามที่จะเริ่มต้นสัญชาตญาณเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะที่สองของเมทริกซ์ adjacency
โดยทั่วไปในทฤษฎีกราฟแนวคิดส่วนใหญ่ที่เราเจอนั้นค่อนข้างง่ายที่จะเข้าใจ แต่ในกรณีนี้ฉันไม่สามารถคิดได้ว่ากราฟชนิดใดที่จะมีค่าลักษณะเฉพาะที่สองต่ำมากหรือสูงมาก
ฉันได้อ่านคำถามที่คล้ายกันถามที่นี่และมีในเครือข่าย SE แต่พวกเขามักจะอ้างถึงค่าลักษณะเฉพาะในสาขาที่แตกต่างกัน ( การวิเคราะห์หลายตัวแปร , เมทริกซ์ระยะทาง Euclidian , เมทริกซ์สหสัมพันธ์ ... )
แต่ไม่มีอะไรเกี่ยวกับการแบ่งสเปกตรัมและทฤษฎีกราฟ

ใครสามารถลองและแบ่งปันสัญชาตญาณ / ประสบการณ์ของเขาของค่าลักษณะเฉพาะที่สองนี้ในกรณีของกราฟและเมทริกซ์ adjacency?

graph-theory adjacency-matrix

— m.raynal
แหล่งที่มา

คุณคุ้นเคยกับการเชื่อมต่อระหว่างสเปกตรัมของเมทริกซ์ adjacency และการลู่เข้าแบบสุ่มบนกราฟหรือไม่?

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus ไม่เลยแม้จะเป็นคนที่คุ้นเคยกับการเดินสุ่มและคุ้นเคยกับสเปกตรัมของ adjacency matrix ดังนั้นฉันจึงสนใจในมุมมองของคุณอย่างแน่นอน :)

— 28419

6

ค่าลักษณะเฉพาะที่สอง (เป็นขนาด) จะควบคุมอัตราการลู่เข้าของการเดินแบบสุ่มบนกราฟ นี่คือคำอธิบายในเอกสารประกอบการบรรยายหลายอย่างเช่นบันทึกการบรรยายของ Luca Trevisan พูดประมาณระยะทาง L2 เพื่อความสม่ำเสมอหลังจากขั้นตอนสามารถกระโดดจาก T $t$ $\lambda_2^t$

สถานที่ที่สองแสดงให้เห็น eigenvalue ขึ้นเป็นอีกปัญหาก๊กปลูก จุดเริ่มต้นคือการสังเกตว่ากราฟสุ่มมีขนาดของกลุ่มแต่อัลกอริทึมโลภพบเฉพาะกลุ่มของขนาดและไม่รู้จักอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพดีกว่า (อัลกอริทึมโลภเพียงแค่เลือกโหนดแบบสุ่มทิ้งส่วนที่ไม่ใช่เพื่อนบ้านทั้งหมดและทำซ้ำ) $G(n,1/2)$ $2\log_2 n$ $\log_2 n$

นี้แสดงให้เห็นการปลูกก๊กขนาดใหญ่ด้านบนของ1/2) คำถามคือ: กลุ่มคริสควรมีขนาดเท่าใดเพื่อให้เราสามารถค้นหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ หากเราปลูกกลุ่มหนึ่งขนาดจากนั้นเราสามารถระบุจุดยอดของกลุ่มโดยระดับของพวกเขา แต่วิธีนี้ใช้ได้กับกลุ่มขนาดเท่านั้น เราสามารถปรับปรุงสิ่งนี้โดยใช้เทคนิคสเปกตรัม: ถ้าเราปลูกกลุ่มขนาดจากนั้นeigenvector ที่สองเข้ารหัสกลุ่มดังที่Alon, Krivelevich และ Sudakovแสดงในกระดาษคลาสสิก $G(n,1/2)$ $C\sqrt{n\log n}$ $\Omega(\sqrt{n\log n})$ $C\sqrt{n}$

โดยทั่วไป eigenvector สองสามตัวแรกมีประโยชน์สำหรับการแบ่งกราฟออกเป็นกลุ่มจำนวนน้อย ดูตัวอย่างบทที่ 3 ของบันทึกการบรรยายของ Luca Trevisanซึ่งอธิบายถึงความไม่เท่าเทียมกันของ Cheeger ที่สูงกว่า

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

5

(ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: คำตอบนี้เกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะของกราฟโดยทั่วไปไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะที่สองโดยเฉพาะฉันหวังว่ามันจะมีประโยชน์อย่างไรก็ตาม)

วิธีคิดที่น่าสนใจเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะของกราฟ $G = (V, E)$ คือการหาปริภูมิเวกเตอร์ $\mathbb{R}^n$ ที่ไหน $n = |V|$ และระบุแต่ละเวกเตอร์ด้วยฟังก์ชัน $f\colon V \to \mathbb{R}$ (เช่นการติดฉลากจุดสุดยอด) eigenvector ของ adjacency matrix หลังจากนั้นเป็นองค์ประกอบของ $f \in \mathbb{R}^n$ เช่นนั้น $\lambda \in \mathbb{R}$ (เช่นค่าลักษณะเฉพาะ) ด้วย $A f = \lambda f$ , $A$ เป็นเมทริกซ์คำคุณศัพท์ของ $G$ . สังเกตได้ว่า $A f$ เป็นเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับแผนที่ซึ่งส่งทุกจุดยอด $v \in V$ ถึง $\sum_{u \in N(v)} f(u)$ , $N(v)$ เป็นชุดของเพื่อนบ้าน (กล่าวคือจุดยอดที่อยู่ติดกับ) $u$ . ดังนั้นในการตั้งค่านี้คุณสมบัติ eigenvector ของ $f$ สอดคล้องกับคุณสมบัติที่รวมค่าฟังก์ชัน (ใต้ $f$ ) ของเพื่อนบ้านของจุดสุดยอดให้ผลลัพธ์เดียวกันกับการคูณค่าฟังก์ชันของจุดยอดกับค่าคงที่ $\lambda$ .

— dkaeae
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากฉันไม่เคย 'เห็น' ว่า eigenvector คูณด้วย \ lambda มีค่าของผลรวมของค่าฟังก์ชันของเพื่อนบ้าน (แม้ว่ามันจะมาจากคำนิยาม)

— m.raynal

1

ฉันไม่ใช่ :) ฉันพบโดยบังเอิญในหลักสูตรในค่าลักษณะเฉพาะของกราฟ

— dkaeae

5

ฉันคิดว่าสำหรับสิ่งต่าง ๆ มันมีประสิทธิผลมากกว่าที่จะดูที่ Laplacian ของกราฟ $G$ ซึ่งสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเมทริกซ์ adjacency ที่นี่คุณสามารถใช้เพื่อเชื่อมโยงค่าลักษณะที่สองกับคุณสมบัติ "local vs global" ของกราฟ

เพื่อความง่ายเราสมมุติว่า $G$ คือ $d$ -regular จากนั้น Laplacian ปกติของ $G$ คือ $L= I - \frac1d A$ ที่ไหน $I$ คือ $n\times n$ ตัวตนและ $A$ คือเมทริกซ์ adjacency สิ่งที่ดีเกี่ยวกับ Laplacian คือการเขียนเวกเตอร์เป็นฟังก์ชั่น $f: V\to \mathbb{R}$ ชอบ @dkaeae และใช้งาน $\langle \cdot, \cdot \rangle$ สำหรับผลิตภัณฑ์ภายในปกติเรามีนิพจน์ที่ดีมากสำหรับรูปกำลังสองที่ได้รับจาก $L$ :

⟨ f, L f ⟩ = \frac{1}{d} \sum_{(u, v) \in E} (f (u) - f (v))^{2} .

$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$

ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ $A$ คือ $d$ และสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดของ $L$ , ซึ่งเป็น $0$ ; eigenvalue ที่ใหญ่เป็นอันดับสอง $\lambda_2$ ของ $A$ สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดที่สองของ $L$ , ซึ่งเป็น $1 - \frac{\lambda_2}{d}$ . โดยหลักการขั้นต่ำสุดเรามี

1 - \frac{λ_{2}}{d} = min {\frac{⟨ f, L f ⟩}{⟨ f, f ⟩} : \sum_{v \in V} f (v) = 0, f \neq 0} .

$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$

โปรดสังเกตว่าจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราเลื่อนด้วยค่าคงที่เดียวกันสำหรับจุดยอดทุกจุด ดังนั้นคุณสามารถนิยามใด ๆฟังก์ชัน "กึ่งกลาง"โดยและเขียน $\langle f, Lf\rangle$ $f$ $f:V \to \mathbb{R}$ $f_0$ $f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$

1 - \frac{λ_{2}}{d} = min {\frac{⟨ f, L f ⟩}{⟨ f_{0}, f_{0} ⟩} : f not constant} .

$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$

ขณะนี้การคำนวณเล็กน้อยแสดงว่าและแทนที่ด้านบนและหารเศษและส่วนด้วยเรามี $\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$ $\frac{n}{2}$

1 - \frac{λ_{2}}{d} = min {\frac{\frac{2}{n d} \sum_{(u, v) \in E} (f (u) - f (v))^{2}}{\frac{2}{n^{2}} \sum_{{u, v} \in (\binom{V}{2})} (f (u) - f (v))^{2}} : f not constant} .

$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$

สิ่งที่หมายถึงนี้ก็คือว่าถ้าเราวางจุดสุดยอดทุกของบนเส้นจริงที่จุดแล้วระยะทางเฉลี่ยระหว่างสองจุดสุ่มอิสระในกราฟ (หาร) เป็นอย่างมากระยะทางเฉลี่ยระหว่างจุดสิ้นสุดของขอบสุ่มในกราฟ (ตัวเศษ) ดังนั้นในแง่นี้ช่องว่างของสเปกตรัมขนาดใหญ่หมายความว่าสิ่งที่เกิดขึ้นบนขอบสุ่มของ (พฤติกรรมในท้องถิ่น) เป็นตัวทำนายที่ดีสำหรับสิ่งที่เกิดขึ้นในจุดยอดคู่ที่ไม่เกี่ยวข้องกันแบบสุ่ม (พฤติกรรมทั่วโลก) $u$ $G$ $f(u)$ $\frac{d}{d - \lambda_2}$ $G$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา