การกำหนดความสามารถของเครื่องสถานะขั้นต่ำ (หรือแปลกใหม่) เครื่อง

ดูจุดสิ้นสุดของโพสต์นี้สำหรับการชี้แจงเกี่ยวกับคำจำกัดความของ min-heap ออโตมาตา

สามารถจินตนาการได้ว่าใช้โครงสร้างข้อมูลที่หลากหลายสำหรับจัดเก็บข้อมูลเพื่อใช้งานโดยเครื่องของรัฐ ตัวอย่างเช่นการกดออโตมาเก็บข้อมูลในสแต็กและเครื่องทัวริงใช้เทป เครื่องแสดงสถานะโดยใช้คิวและเครื่องที่ใช้สองชุดซ้อนกันหรือหลายเทปได้แสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับกำลังของเครื่องจักรทัวริง

ลองนึกภาพเครื่อง min-heap มันทำงานเหมือนกับหุ่นยนต์กดลงโดยมีข้อยกเว้นดังต่อไปนี้:

1. แทนที่จะดูสิ่งสุดท้ายที่คุณเพิ่มลงใน heap คุณจะได้ดูองค์ประกอบที่เล็กที่สุดเท่านั้น (ด้วยการสั่งซื้อที่กำหนดไว้ตามเครื่องต่อเครื่อง) ที่อยู่บนฮีป
2. แทนที่จะเอาสิ่งสุดท้ายที่คุณเพิ่มลงใน heap ออกคุณจะได้เพียงแค่ลบหนึ่งในองค์ประกอบที่เล็กที่สุด (ด้วยการเรียงลำดับที่กำหนดไว้ตามเครื่องต่อเครื่อง) ใน heap
3. แทนที่จะเพิ่มองค์ประกอบเข้าไปที่ด้านบนของ heap คุณสามารถเพิ่มองค์ประกอบเข้ากับ heap ได้เท่านั้นโดยตำแหน่งของมันจะถูกกำหนดตามองค์ประกอบอื่น ๆ ใน heap (โดยมีการเรียงลำดับที่กำหนดไว้ในแต่ละเครื่อง)

เครื่องนี้สามารถยอมรับภาษาปกติทั้งหมดเพียงแค่ไม่ใช้ฮีป นอกจากนี้ยังสามารถรับภาษาโดยการเพิ่ม's ไปกอง และลบ 'ออกจาก heap เมื่อมันอ่าน ' สามารถยอมรับภาษาที่ไม่มีบริบทอื่น ๆ ได้หลากหลาย อย่างไรก็ตามมันไม่สามารถยอมรับได้เช่น (ระบุโดยไม่มีการพิสูจน์) แก้ไข: หรือสามารถ ฉันไม่คิดว่าจะทำได้ แต่ฉันแปลกใจมาก่อนและฉันแน่ใจว่าฉันจะประหลาดใจเมื่อสมมติฐานของฉันทำให้ฉันเป็น ...$\displaystyle \{a^{n}b^{n} \in \{a, b\}^{*} \mid n \ge 0\}$$a$$a$$b$$\displaystyle \{w \in \{a, b\}^{*} \mid w = w^{R}\}$

มันสามารถรับภาษาตามบริบทหรือภาษาทัวริงที่สมบูรณ์ได้หรือไม่?

โดยทั่วไปแล้วงานวิจัยใดที่มีการดำเนินไปในทิศทางนี้? มีผลลัพธ์อะไรบ้างถ้ามี? ฉันยังสนใจในเครื่องรัฐแปลกใหม่อื่น ๆ อีกมากมายซึ่งอาจเป็นไปได้ว่าผู้ใช้โครงสร้างข้อมูลอื่น ๆ สำหรับการจัดเก็บหรือข้อ จำกัด ชนิดต่าง ๆ ในการเข้าถึง (เช่นวิธีการ LBAs ถูก จำกัด TM) การอ้างอิงได้รับการชื่นชม ฉันต้องขออภัยล่วงหน้าหากคำถามนี้แสดงถึงความไม่รู้

นิยามอย่างเป็นทางการ:

ฉันให้คำจำกัดความโดยละเอียดเพิ่มเติมของ min-heap ออโตมาที่นี่เพื่อชี้แจงการอภิปรายเพิ่มเติมในคำถามที่อ้างอิงเนื้อหานี้

เรากำหนดประเภท -1 nondeterministic min-heapเป็นหุ่นยนต์ 7-tupleโดยที่ ...

1. $Q$คือเซตของสถานะที่ไม่ จำกัด และว่างเปล่า;
2. $q_0 \in Q$เป็นสถานะเริ่มต้น;
3. $A \subseteq Q$คือชุดของการยอมรับสถานะ;
4. $\Sigma$เป็นตัวอักษรอินพุตที่ไม่ จำกัด และว่างเปล่า;
5. γ ∈ แกมมาW ( γ ) ∈ N W ( γ 1 ) = W ( γ 2$\Gamma$เป็นตัวอักษรอินพุตไม่ จำกัด ที่มีน้ำหนักของสัญลักษณ์ ,เป็นเช่นนั้น ;$\gamma \in \Gamma$$w(\gamma) \in \mathbb{N}$$w(\gamma_1) = w(\gamma_2) \iff \gamma_1 = \gamma_2$
6. $Z_0 \notin \Gamma$เป็นสัญลักษณ์พิเศษด้านล่างสุดของกอง
7. $\delta : Q \times (\Sigma \cup \{\epsilon\}) \times (\Gamma \cup \{Z_0\}) \rightarrow \mathcal{P}({Q \times \Gamma^*})$คือ ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลง

ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงการทำงานโดยสมมติว่ากองแรกที่ว่างเปล่าประกอบด้วยเพียงZ_0ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงอาจเพิ่มกองคอลเลกชันโดยพลการ (แน่นอน แต่อาจจะเป็นที่ว่างเปล่าหรือมีการซ้ำ) ขององค์ประกอบ\ อีกทางหนึ่งฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงอาจลบตัวอย่างขององค์ประกอบมีน้ำหนักต่ำสุดขององค์ประกอบทั้งหมดที่เหลืออยู่บนกอง (เช่นองค์ประกอบที่อยู่ด้านบนของกอง) ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพอาจใช้สัญลักษณ์อินสแตนซ์บนสุด (กล่าวคือมีน้ำหนักน้อยที่สุด) ในการกำหนดช่วงการเปลี่ยนภาพใด ๆγ 1 , แกมมา2 , . . , γ k ∈ แกมมาγ W ( γ $Z_0$$\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_k \in \Gamma$$\gamma$$w(\gamma)$

นอกจากนี้ให้กำหนดประเภทที่ 1 กำหนด min-heap หุ่นยนต์เพื่อเป็นรูปแบบที่ 1 nondeterministic min-heap อัตโนมัติซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้: สำหรับสตริงทั้งหมดเช่นนั้นและ ,1| x | = n σ ∈ Σ | δ n + 1 ( Q 0 , x σ Y , Z 0 ) | ≤ $x{\sigma}y \in \Sigma$$|x| = n$$\sigma \in \Sigma$$|\delta^{n+1}(q_0, x{\sigma}y, Z_0)| \leq 1$

กำหนดยังเป็นประเภทที่ 2 nondeterministic min-heap อัตโนมัติเหมือนกับชนิดที่ 1 nondeterministic min-heap เป็นหุ่นยนต์ยกเว้นการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้:

1. γ ∈ แกมมาW ( γ ) ∈ N W ( γ 1 ) = W ( γ 2 ) γ 1 = γ $\Gamma$เป็นตัวอักษรอินพุตไม่ จำกัด ที่มีน้ำหนักของสัญลักษณ์ ,เป็นเช่นนั้นไม่ได้แปลว่า ; กล่าวอีกนัยหนึ่งสัญลักษณ์กองแตกต่างกันสามารถมีน้ำหนักเท่ากัน$\gamma \in \Gamma$$w(\gamma) \in \mathbb{N}$$w(\gamma_1) = w(\gamma_2)$$\gamma_1 = \gamma_2$
2. เมื่ออินสแตนซ์ของสัญลักษณ์ฮีปที่แตกต่างกันที่มีน้ำหนักเท่ากันถูกเพิ่มลงในฮีปลำดับที่สัมพันธ์กันของพวกเขาจะถูกเก็บไว้ตามการเรียงลำดับเหมือนสแต็กล่าสุดเข้า - ออกก่อน (LIFO)

ขอบคุณราฟาเอลที่ชี้ให้เห็นคำจำกัดความที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นซึ่งรวบรวม (และขยาย) ภาษาที่ไม่ใช้บริบท

ผลลัพธ์บางรายการแสดงให้เห็นว่า:

1. Type-1 min-heap automata รู้จักชุดของภาษาซึ่งไม่ใช่เซ็ตย่อยหรือเซ็ตของภาษาที่ไม่มีบริบท [ 1 , 2 ]
2. Type-2 min-heap automata ตามนิยามของพวกมันจะจดจำชุดภาษาซึ่งเป็นชุดภาษาที่เหมาะสมของภาษาที่ไม่มีบริบทรวมถึงชุดภาษาที่เหมาะสมของภาษาที่ได้รับการยอมรับโดย type-1 min-heap automata
3. ภาษาที่ยอมรับโดยประเภท -1 นาที - กองอัตโนมัติดูเหมือนจะถูกปิดภายใต้สหภาพการเรียงต่อกันและดาว Kleene แต่ไม่อยู่ภายใต้การเสริม [ 1 ] แยกหรือความแตกต่าง;
4. ภาษาที่ยอมรับโดย min-heap ประเภท 1 nondeterministic ออโตมาตาดูเหมือนจะเป็นชุดภาษาที่เหมาะสมซึ่งเป็นที่ยอมรับโดยออปโตคอร์ min-heap ประเภทที่ 1

อาจมีผลลัพธ์อื่น ๆ ที่ฉันพลาดไป ผลลัพธ์เพิ่มเติมคือ (อาจ) ระหว่างทาง

คำถามติดตาม

1. ปิดภายใต้การกลับรายการ? - เปิด
2. ปิดภายใต้การเสริม? - ไม่!
3. nondeterminism เพิ่มพลังหรือไม่? - ใช่
4. คือสำหรับประเภทที่ 2? $HAL \subsetneq CSL$- เปิด
5. การเพิ่ม heaps เพิ่มพลังให้กับ type-1 หรือไม่? -สำหรับ (?)$HAL^1 \subsetneq HAL^2 = HAL^k$$k > 2$
6. การเพิ่มสแต็กเพิ่มพลังให้กับ type-1 หรือไม่? - เปิด

คุณสามารถรับรู้ภาษาที่ไม่ใช่บริบท (แต่ขึ้นอยู่กับบริบท) ซึ่งเป็นที่ยอมรับตามหลักการไม่ใช่บริบท (ด้วยเครื่องสถานะประเภทนี้ ปมคือการที่คุณเพิ่มราชสกุลการกองทุกตัวอักษรและในขณะที่การแยกตัวอักษรที่คุณเพิ่มราชสกุล 'ขนาดใหญ่' เพื่อกองเพื่อให้พวกเขาเท่านั้นที่จบลงที่ด้านล่างของกองเมื่อคุณได้แยกวิเคราะห์ทั้งหมดตัวละคร$\{ a^n b^n c^n\ |\ n \geq 1 \}$$a$$b$$b$

สัญลักษณ์กองมีและที่<bเรากินทุกสัญลักษณ์การป้อนข้อมูลและเพิ่มสัญลักษณ์กอง หากเราพบ aเราจะเปลี่ยนกลยุทธ์: สำหรับทุก ๆเราเจอในภายหลังเราจะลบออกจาก heap และเพิ่ม aลงใน heap เมื่อเราพบเราควรจะได้วิ่งออกมาจากที่จะเอาออกแล้วทุกในการป้อนข้อมูลที่เหลือเราเอาจากกอง ถ้า heap ว่างเปล่าในตอนท้ายสตริงจะเป็นภาษา เห็นได้ชัดว่าเราปฏิเสธถ้ามีอะไรผิดพลาด$a$$b$$a < b$$a$$a$$b$$b$$a$$b$$c$$a$$c$$b$

ปรับปรุง:

ภาษาไม่สามารถรับรู้ได้โดย min-heap ออโตมาตา สมมติว่าเรามีออโตเมติกขั้นต่ำที่สามารถจดจำได้ เราดูที่ 'สถานะ' หุ่นยนต์อยู่หลังจากอ่าน (ส่วนแรกของอินพุตดังนั้นจึงเป็นถัดไป) รัฐเดียวที่เรามีอยู่ที่เนื้อหาของกองและรัฐโดยเฉพาะอย่างยิ่งของหุ่นยนต์มันอยู่ใน. ซึ่งหมายความว่าหลังจากที่ตระหนักถึงนี้ความต้องการของ 'รัฐ' เพื่อเก็บข้อมูลมากพอที่จะตรงกับ R$EPAL = \{ ww^R | w \in \{a, b\}^* \}$$EPAL$$w$$w^R$$w$$w^R$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการที่จะทำเช่นนี้จะต้องมีเป็นไปได้ที่แตกต่างกันของรัฐ (ที่ ) เป็นมีคำที่เป็นไปประกอบด้วยและตัวอักษร ขณะที่มีเพียงจำนวน จำกัด ของรัฐและมีเพียงจำนวน จำกัด ของตัวละครกองนี้หมายถึงว่ามีบางคำที่กองมีจำนวนชี้แจงของตัวละครกองบางพูดx$2^n$$n = |w|$$2^n$$a$$b$$w$$x$

ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทของการกำหนดค่าอัตโนมัติแบบ min-heap จากนั้นขยายการพิสูจน์นี้เป็นแบบอัตโนมัติขนาดเล็กที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง deterministic ออโตมาตะที่รับรู้ภาษาบางอย่างจะไม่ทำให้ตัวเองอยู่ในวงวนไม่สิ้นสุดซึ่งเป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์

เราจะพิสูจน์ว่าฮีปสามารถมีได้ไม่เกินจำนวนโทเค็นฮีปที่เป็นเชิงเส้นในจำนวนอักขระที่อ่านจากอินพุต นี่จะออกกฎทันทีที่ปรากฏเป็นจำนวนครั้งของเลขชี้กำลังบนฮีปซึ่งทำให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ซึ่งไม่สามารถจดจำได้โดยอัตโนมัติด้วย min-heap$x$$EPAL$

เนื่องจากเรามีสถานะจำนวน จำกัด ในหุ่นยนต์ของเราเท่านั้นและเนื่องจากหุ่นยนต์ที่กำหนดได้จะไม่ทำให้ตัวเองเข้าสู่วงวนไม่สิ้นสุดเมื่ออ่านสัญญาณอินพุตมันจะเพิ่มอักขระฮีปจำนวนมากเข้ากับฮีป ในทำนองเดียวกันในการบริโภคบางสัญลักษณ์กองก็สามารถเพิ่มที่มากที่สุดจำนวนคงที่ของตัวละครกองที่มีขนาดใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัดและก็สามารถลดจำนวนของสัญลักษณ์บนสแต็ค (มิฉะนั้นเราจะได้รับวง จำกัด )$y$$y$$y$

การบริโภคสัญลักษณ์กองอาจดังนั้นจึงทำให้เกิดการ (มหาศาล) สะสมของสัญลักษณ์กองขนาดใหญ่ แต่เป็นมีเพียงจำนวนคงที่ของประเภทที่แตกต่างกันของสัญลักษณ์กองนี้เป็นเพียงจำนวนคงที่ไม่ขึ้นอยู่กับnนี่หมายความว่าจำนวนของสัญลักษณ์ฮีปคือค่าคงที่ (ใหญ่) มากที่สุดเท่าที่จำนวนของสัญลักษณ์อินพุตที่อ่านจนถึงตอนนี้ นี่เป็นการพิสูจน์สำหรับกรณีที่กำหนดขึ้นอย่างสมบูรณ์$n$

ในกรณีที่ไม่ได้รับการพิสูจน์หลักฐานมีความคล้ายคลึงกัน แต่ค่อนข้างยุ่งยาก: แทนที่จะเพิ่มจำนวนฮีพโทเค็นจำนวนมากให้กับฮีพเป็นจำนวนคงที่จะเพิ่มโทเค็นฮีปจำนวนมากให้กับฮีป แต่จุดสำคัญคือว่าจำนวนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับnโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราไม่สามารถกำหนดสัญลักษณ์ฮีปที่เหมาะสมบนฮีปได้หลังจากจดจำ (ขวาสำหรับการรับรู้ ) เรายังสามารถเลือกสัญลักษณ์ฮีปที่ตรงกับคำอื่น ๆ ของด้วย รู้จักจึงขัดแย้งว่าหุ่นยนต์นาทีกองตระหนักว่าEPAL$n$$w$$w^R$$w'$$w w'^R$$EPAL$

อัปเดต 3:ฉันจะทำการโต้แย้งครั้งสุดท้าย (เกี่ยวกับการตัดสินใจที่ไม่กำหนด) อย่างเข้มงวด จากอาร์กิวเมนต์ข้างต้นจะต้องมีชุดคำที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นนั้นสำหรับทุกหลังจากจดจำแล้วฮีปจะมีองค์ประกอบองค์ประกอบ ( โปรดทราบว่าเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับในขณะที่เรามีชุดคำไม่ จำกัด ) ในขณะที่เราไม่สามารถรับองค์ประกอบจำนวนมากใน heap ผ่านวิธีการที่กำหนดขึ้นได้เราจะต้องมีรูปแบบของการวนรอบที่เราไม่เลือกที่จะเพิ่มองค์ประกอบเพิ่มเติมลงใน heap (โดยไม่ต้องใช้อินพุต) และหลังจากนั้นเลือกที่จะออกจากสิ่งนี้ วนรอบและเราจะต้องวนรอบนี้ครั้ง$W \subseteq \{a,b\}^*$$w \in W$$w$$\omega(|w|)$$O(f(|w|))$$\omega(1)$

ใช้ชุดของลูปดังกล่าวทั้งหมดที่ใช้โดยWขณะที่มีเพียงรัฐขนาดของชุดนี้คือและชุดย่อยทั้งหมดยังเป็น(1) ตอนนี้ให้สังเกตว่าส่วน 'deterministic' ของเส้นทางการดำเนินการสามารถมีส่วนร่วมกับของโทเค็นเท่านั้นซึ่งหมายความว่าจำนวนคำที่แตกต่างกันจำนวนมากของคำที่แตกต่างกันจะต้องมีเส้นทางการดำเนินการ โทเค็นกับกอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีเดียวที่จะได้รับโทเค็นมากขึ้นคือการใช้ลูปที่เราระบุไว้ข้างต้น$W$$O(1)$$O(1)$$O(1)$$O(|w|)$

การรวมการสังเกตเหล่านี้หมายความว่าจะต้องมีคำสองคำที่แตกต่างกันใน ,และพูดซึ่งส่วนของ 'deterministic' ของเส้นทางการดำเนินการมีส่วนร่วมโทเค็นเดียวกันกับกองและแตกต่างโดยการบางส่วนของลูปข้างต้น จำนวนครั้งที่แตกต่างกัน แต่ใช้ลูปย่อยเดียวกัน (จำไว้ว่ามีเพียงของลูปเหล่านี้)$W$$w_1$$w_2$$O(1)$

ตอนนี้เราสามารถแสดงให้เห็นว่านั้นสามารถรับรู้ได้โดย min-heap automaton: เราทำตามเส้นทางการดำเนินการสำหรับดังที่กล่าวมา แต่เราสำรวจวนรอบจำนวนครั้งที่เส้นทางการดำเนินการของลัดเลาะไปตามนั้น สิ่งนี้เติม min-heap ด้วยโทเค็นซึ่งยอมรับว่าเป็นคำต่อท้ายดังนั้นการพิสูจน์ให้สมบูรณ์$w_1 w_2$$w_1$$w_2$$w_2$

อัปเดต 2:

มันเกิดขึ้นกับฉันว่าข้างต้นหมายความว่าเราสามารถจำลองหุ่นยนต์ min-heap ที่กำหนดขึ้นได้โดยใช้พื้นที่ลอการิทึมเท่านั้น: เราเก็บตัวนับสำหรับอักขระทุกประเภทใน min-heap ดังที่แสดงข้างต้นตัวนับนี้จะเป็นมากที่สุดและด้วยเหตุนี้สามารถจัดเก็บได้โดยใช้พื้นที่ (เนื่องจากมีจำนวนคงที่ของตัวนับเหล่านี้เท่านั้น) สิ่งนี้ทำให้เรา:$O(n)$$O(\log n)$

$\mathrm{DHAL} \subset \mathrm{L}$

$\mathrm{HAL} \subset \mathrm{NL}$

โดยที่เป็นชุดของภาษาที่รับรู้โดยหุ่นยนต์ min-heap ที่กำหนดได้$\mathrm{DHAL}$

นี่คือสิ่งที่เรา (เชื่อ) รู้:

• $\mathrm{HAL} \setminus \mathrm{CFL} \neq \emptyset$ (type-1, type-2)
• $\mathrm{CFL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$ (ประเภท -1)
• $\mathrm{CFL} \subseteq \mathrm{HAL}$ (ประเภท -2 ตามคำนิยาม)
• $\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$ (type-1, type-2)

ดูรายละเอียดและหมายเหตุอื่น ๆ ด้านล่าง

$\mathrm{HAL} \setminus \mathrm{CFL} \neq \emptyset$

ส่วนนี้ของคำตอบนั้นเกี่ยวข้องกับทั้ง type-1 และ type-2

หุ่นยนต์ min-heap (HA) ที่มีขอบเขต จำกัด ตัวอักษรฮีพสั่งทั้งหมดยอมรับ{}$L = \{ a^nb^nc^n \mid n \in \mathbb{N} \} \in \mathrm{CSL} \setminus \mathrm{CFL}$

ข้อสันนิษฐาน: คล้ายกับ PDA ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงของเราใช้สัญลักษณ์ฮีปส่วนใหญ่และเขียนสัญลักษณ์ฮีปจำนวนมากตามอำเภอใจ ฮีปแรกประกอบด้วยสัญลักษณ์ที่แตกต่างซึ่งใหญ่กว่าสัญลักษณ์ฮีปอื่นทั้งหมด$\$$

ให้หุ่นยนต์อัตโนมัติขนาดเล็ก$A = (Q,\Sigma_I, \Sigma_H, \rightarrow, q_0, Q_F)$

• $Q = \{q_0, q_1, q_2, q_f\}$ชุดของสถานะ
• $\Sigma_I = \{a,b,c\}$ตัวอักษรอินพุต
• $\Sigma_H = {a,b,\$}$อักษรกองกับการสั่งซื้อ $$a \lt b \lt \$$
• $Q_F = \{q_f\}$
• $\rightarrow\ \subseteq (Q \times \Sigma_I \times \Sigma_H) \times (Q \times \Sigma_H^*)$ด้วย
  • $(q_0,a,\sigma) \rightarrow (q_0, a\sigma)$สำหรับ$\sigma \in \Sigma_H$
  • $(q_0,b,a) \rightarrow (q_1,b)$
  • $(q_1,b,a) \rightarrow (q_1,b)$
  • $(q_1,c,b) \rightarrow (q_2,\varepsilon)$
  • $(q_2,c,b) \rightarrow (q_2, \varepsilon)$
  • $(q_2,c,\$) \rightarrow (q_f, \varepsilon)$

ออโตเขียนหนึ่งการกองทุกในการป้อนข้อมูล เมื่อเกิดขึ้นมันกินเป็นจำนวนมากเป็นมีการเขียนกองสำหรับการพบทุกขนี้ไม่นับไม่รบกวนเพราะกองอำนวยความสะดวกช่วยให้ด้านบน แต่หลังจากที่ทุกถูกนำมาจากกองที่มีได้รับการยอมรับ หลังจากพบมากที่สุดเท่าที่ (และจากนั้นเป็น )ยอมรับด้วย heap เปล่าและสถานะสุดท้าย$a$$a$$b$$b$$a$$b$$b$$a$$a$$c$$c$$b$$a$$A$

ดังนั้นL$\cal{L}(A) = L$

$\mathrm{CFL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$

ส่วนหนึ่งของคำตอบนี้เกี่ยวข้องกับการพิมพ์ 1 เท่านั้น

พิจารณาชุดของ palindromes แม้แต่และถือว่ามี HA กับL$\mathrm{EPAL} = \{ww^R \mid w \in \{a,b\}\}$$A$$\cal{L}(A) = L$

การคาดเดา: เราพบด้วยและเช่นนั้นอยู่ในสถานะเดียวกันและมีเนื้อหาฮีปเดียวกันหลังจากอ่านและตามลำดับ เนื่องจากยอมรับทั้งและดังนั้นจึงยอมรับ (และ ) ซึ่งขัดแย้งกับEPAL}$w_1, w_2 \in \{a,b\}^*$$w_1 \neq w_2$$|w_1| = |w_2|$$A$$w_1$$w_2$$A$$w_1w_1^R$$w_2w_2^R$$w_1w_2^R \notin \mathrm{EPAL}$$w_2w_1^R$$\cal{L}(A) = \mathrm{EPAL}$

$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL} \neq \emptyset$

ส่วนนี้ของคำตอบนั้นเกี่ยวข้องกับทั้ง type-1 และ type-2

เราใช้เหตุผลเดียวกันกับ (สำหรับประเภท -1) เพื่อแสดงให้เห็นว่าภาษาที่ไวต่อบริบทไม่ได้อยู่ใน{}$\mathrm{EPAL}$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$\mathrm{HAL}$

$\mathrm{HAL} \overset{?}{\subseteq} \mathrm{CSL}$

สิ่งนี้ยังคงเปิดอยู่สำหรับทั้ง type-1 และ type-2

Factoids เพิ่มเติม

ดูเหมือนว่า HA จะตั้งฉากกับส่วนย่อยของภาษาที่มีบริบทอ่อนโยนซึ่งยอมรับโดยEmbedded Pushdown Automata : ในขณะที่ HA สามารถจำลองจำนวนกองซ้อนที่มีขอบเขตได้พวกเขาไม่สามารถจำลองจำนวนมากตามอำเภอใจ (เช่น EPA สามารถ) อย่างไรก็ตาม HA สามารถเข้าถึงสัญลักษณ์ด้านบนของสแต็คในขณะนี้ไม่ได้อยู่ด้านบน (EPA ใดที่ไม่สามารถทำได้)