หนึ่งสามารถแสดงความแข็ง NP โดยการทัวริงการลดลงได้หรือไม่?

ในกระดาษความซับซ้อนของปัญหา FrobeniusโดยRamírez-Alfonsínปัญหาได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์โดยใช้การลดลงของทัวริง เป็นไปได้ไหม ว่าอย่างไร ฉันคิดว่ามันเป็นไปได้โดยพหุนามเวลาลดลงหลายคน มีการอ้างอิงเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่?

มีสองแนวคิดที่แตกต่างกันของความแข็งของ NP แม้กระทั่งความสมบูรณ์ของ NP? แต่แล้วฉันก็สับสนเพราะจากมุมมองที่ใช้งานได้จริงถ้าฉันต้องการแสดงให้เห็นว่าปัญหาของฉันคือปัญหาที่ยากฉันจะใช้อะไร

พวกเขาเริ่มต้นคำอธิบายดังนี้:

การลดลงของทัวริงเวลาพหุนามจากปัญหา$P_1$ ไปยังอีกปัญหา$P_2$ เป็นอัลกอริทึมซึ่งจะช่วยแก้ $P_1$ โดยใช้ย่อยสมมุติ 'สำหรับการแก้ $P_2$ เช่นว่าถ้า A' เป็นอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับ $P_2$ แล้ว จะเป็นอัลกอริทึมสำหรับเวลาพหุนาม $P_1$ 1 เราบอกว่า $P_1$ สามารถทัวริงลดลง $P_2$ 2

ปัญหา เรียกว่า (ทัวริง) NP-hard หากมีปัญหาการตัดสินใจที่สมบูรณ์แบบP 2 เช่นที่ P 2 สามารถลดทัวริงเป็น P 1ได้$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$

จากนั้นพวกเขาใช้การลดทัวริงจากปัญหา NP-complete เพื่อแสดงความสมบูรณ์ NP ของปัญหาอื่น ๆ

มีอย่างน้อยสองแนวคิดที่แตกต่างกันของความแข็งของ NP ความคิดตามปกติซึ่งใช้ลดคาร์พกล่าวว่าภาษาคือ NP-ยากถ้าภาษาในทุก NP-Karp ลดL หากเราเปลี่ยนการลด Karp เป็นการลด Cook เราจะได้รับแนวคิดใหม่ ภาษาทุกภาษาที่เป็น Karp-NP-hard ก็เช่นกัน Cook-NP-hard แต่การสนทนาอาจเป็นเท็จ สมมติว่า NP จะแตกต่างจาก coNP และใช้เวลาที่คุณชื่นชอบ NP-สมบูรณ์ภาษาL จากนั้นส่วนประกอบของLคือ Cook-NP-hard แต่ไม่ใช่ Karp-NP-hard$L$$L$$L$$L$

เหตุผลที่คือ Cook-NP-hard มีดังต่อไปนี้: ใช้ภาษาMใด ๆใน NP ตั้งแต่Lคือ NP-ยากที่มีฟังก์ชั่น polytime ฉเช่นว่าx ∈ M IFF F ( x ) ∈ L IFF F ( x ) ∉ ¯ L การลด Cook จากMถึง¯ Lใช้xคำนวณf ( x )ตรวจสอบว่าf ( x ) ∈ $\overline{L}$$M$$L$$f$$x \in M$$f(x) \in L$$f(x) \notin \overline{L}$$M$$\overline{L}$$x$$f(x)$$f(x) \in \overline{L}$และเอาท์พุทสนทนา

เหตุผลที่ไม่ได้เป็น NP-hard (สมมติว่า NP แตกต่างจาก coNP) มีดังต่อไปนี้ สมมติว่า¯ Lเป็น NP-hard แล้วสำหรับทุกภาษาMใน coNP, มีการลดลง polytime ฉเช่นว่าx ∈ ¯ M IFF F ( x ) ∈ ¯ Lหรือในคำอื่น ๆx ∈ M IFF F ( x ) ∈ L เนื่องจากLอยู่ใน NP นี่แสดงว่าMอยู่ใน NP ดังนั้น coNP $\overline{L}$$\overline{L}$$M$$f$$x \in \overline{M}$$f(x) \in \overline{L}$$x \in M$$f(x) \in L$$L$$M$$\subseteq$ NP นี่ก็หมายความว่า NP ทันที$\subseteq$ coNP และดังนั้น NP = coNP

หากบางส่วนคุก NP-ยากภาษาอยู่ใน P แล้ว P = NP: สำหรับภาษาใดMใน NP ใช้ลดคุกLเพื่อให้ขั้นตอนวิธีการ polytime สำหรับM ดังนั้นในแง่นี้ภาษาที่สมบูรณ์แบบของ Cook-NP ก็เป็น "ยากที่สุดใน NP" เช่นกัน ในทางกลับกันมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคุก NP-ยาก = คุก coNP แข็ง: การลดปรุงอาหารสำหรับLสามารถแปลงไปสู่การลดปรุงอาหารสำหรับ¯ L ดังนั้นเราจึงสูญเสียความแม่นยำโดยใช้การลด Cook$L$$M$$L$$M$$L$$\overline{L}$

อาจมีข้อบกพร่องอื่น ๆ ในการใช้การลด Cook แต่ฉันจะปล่อยให้ผู้ตอบแบบอื่น

ไม่เป็นไร. การลดพหุนามพหุนามเป็นการลดคุก (เช่นเดียวกับใน Cook-Levin theorem) และการลดปัญหา NP-complete ให้กับปัญหาใหม่จะทำให้ความแข็งของ NP ลดลง ที่จริงแล้วการลด Karp เป็นเพียงการ จำกัด การลดทัวริงอยู่แล้ว

พวกเขาต่างกันตรงไหน (เกี่ยวกับคำถามนี้) อยู่ในการแสดงความเป็นสมาชิก การลด Karp จากปัญหาไปสู่ปัญหาใน NP แสดงให้เห็นว่าครั้งแรกที่อยู่ใน NP การลด Cook ในทิศทางเดียวกันไม่ได้