Asymptotics ของจำนวนคำในภาษาปกติของความยาวที่กำหนด

สำหรับภาษาปกติ$L$ให้$c_n(L)$เป็นจำนวนคำใน$L$ความยาวn$n$ใช้จอร์แดนรูปแบบที่ยอมรับ (นำไปใช้กับเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง unannotated ของ DFA บางอย่างสำหรับ$L$ ) หนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าใหญ่พอ$n$ ,

$$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$$ ที่มี ชื่อพหุนามแบบซับซ้อนและ$P_i$$\lambda_i$"ค่าลักษณะเฉพาะ" ที่ซับซ้อน (สำหรับขนาดเล็กเราอาจมีข้อกำหนดเพิ่มเติมของแบบฟอร์มโดยที่คือถ้าและอย่างอื่นสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับบล็อกของจอร์แดนที่มีขนาดอย่างน้อยมีค่าลักษณะเฉพาะ )$n$$C_k[n=k]$$[n=k]$$1$$n=k$$0$$k+1$$0$

การแสดงนี้ดูเหมือนจะบ่งบอกว่าถ้าเป็นอนันต์แล้ว asymptotically,สำหรับบาง 0 อย่างไรก็ตามนี่เป็นความเท็จอย่างชัดแจ้ง: สำหรับภาษามากกว่าของทุกคำที่มีความยาวเท่ากันแต่ . นี้แสดงให้เห็นว่าบางและสำหรับทั้งหมดทั้งสำหรับขนาดใหญ่พอหรือA} นี่คือการพิสูจน์ในFlajolet & Sedgewick$L$$c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$$C,\lambda>0$$L$$\{0,1\}$$c_{2n}(L) = 2^{2n}$$c_{2n+1}(L) = 0$$d$$a \in \{0,\ldots,d-1\}$$c_{dm+a}(L) = 0$$m$$c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (ทฤษฎีบท V.3) ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ข้อพิสูจน์ของ Berstel

การพิสูจน์จาก Flajolet และ Sedgewick นั้นค่อนข้างเทคนิค ในทางเทคนิคแล้วในความเป็นจริงพวกเขาแค่วาดมัน ฉันพยายามพิสูจน์เบื้องต้นเพิ่มเติมโดยใช้ทฤษฎี Perron-Frobenius เราสามารถพิจารณากราฟการเปลี่ยนแปลงของ DFA ว่าเป็นกราฟิค ถ้า digraph ดั้งเดิมแล้วผลลัพธ์จะตามมาโดยตรงจากทฤษฎีบท Perron-Frobenius หาก digraph นั้นไม่สามารถลดลงได้ แต่ไม่น่าไว้ใจกับ indexดังนั้นให้พิจารณา " th power" ของ DFA (แต่ละช่วงการเปลี่ยนภาพสอดคล้องกับสัญลักษณ์ ) เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน กรณีที่ยากคือเมื่อ digraph ลดลง เราสามารถลดขนาดของเส้นทางของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันอย่างรุนแรงจากนั้นเราจะได้ผลลัพธ์โดยการประมาณผลรวมของรูปแบบ ∑ m 1 +$r$$r$$r$ (แต่ละสอดคล้องกับผลรวมดังกล่าวเพื่อให้วิธีการเฉพาะของการยอมรับคำที่จะผ่านองค์ประกอบที่แตกต่างกันในทางหนึ่ง.) รวมนี้ในที่สุดก็สามารถประมาณการโดย pinpointing ระยะที่ใหญ่ที่สุดซึ่งสอดคล้องกับม.ฉันแอลฟาเข้าสู่ระบบλฉัน สำหรับค่าเฉพาะซึ่งจะถูกทำซ้ำทุกRครั้งที่เราได้รับปัจจัยเสริมของΘ(ม. R - 1 )

$$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$$ $m_i \propto \log \lambda_i$$r$$\Theta(m^{r-1})$

การพิสูจน์มีขอบคร่าว ๆ : ในกรณีที่ลดได้เราจะต้องผ่านจากพจน์เชิงถึงC λ m iถึงผลรวมดังกล่าวข้างต้นแล้วเราต้องประเมินผลรวม$C \lambda_i^m$

การพิสูจน์โดย Flajolet และ Sedgewick นั้นอาจจะง่ายกว่า แต่ก็น้อยกว่า จุดเริ่มต้นของมันคือฟังก์ชันสร้างเหตุผลของและเกี่ยวข้องกับการเหนี่ยวนำจำนวนขั้วแม่เหล็ก (!) แนวคิดพื้นฐานคือว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของโมดูลัสสูงสุดเป็นรากของความสามัคคี (ถ้าปรับให้เป็นมาตรฐานโดยโมดูลัส) เนื่องจากทฤษฎีบทของ Berstel (ง่ายปานกลาง) การเลือกdที่เหมาะสมและดูคำที่มีความยาวd m + aค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจะกลายเป็นของจริง เมื่อพิจารณาถึงการขยายตัวของเศษส่วนบางส่วนเราจะได้รับว่าถ้าค่าลักษณะเฉพาะของโมดูลัสสูงสุด "มีชีวิต" มันจะกำหนด asymptotics ซึ่งเป็นรูปแบบC n $c_n(L)$$d$$dm+a$ n มิฉะนั้นเราจะพบฟังก์ชั่นการสร้างแบบมีเหตุผลใหม่ซึ่งสอดคล้องกับความยาวของคำนี้ (โดยใช้ผลิตภัณฑ์ Hadamard) และทำซ้ำการโต้แย้ง ปริมาณที่กล่าวมาลดลงเรื่อย ๆ และในที่สุดเราก็พบว่าซีมโทติคที่ต้องการ dอาจต้องเติบโตในกระบวนการเพื่อสะท้อนทุกสิ่งที่เกิดขึ้นในขั้นตอนการอุปนัย$Cn^k\lambda^n$$d$

มีหลักฐานง่าย ๆ และเบื้องต้นสำหรับคุณสมบัติเชิงซีมของหรือไม่?$c_n(L)$

อาร์กิวเมนต์ที่คุณสเก็ตช์ดูเหมือนจะสอดคล้องกับวิธีการของ Richard Stanley ในการถ่ายโอนเมทริกซ์ในEnumerative Combinatorics เล่มที่ 1 (ลิงค์: pp 573; print: pp 500)

เขาเริ่มต้นด้วยฟังก์ชั่นการสร้างและแกะมันโดยพิจารณาจากกราฟและปัจจัยที่อนุญาตและต้องห้าม จากนั้นเขาก็ย่อท้อให้เป็นอิสระ monoids ซึ่งเขาใช้เงินก้อนที่คุณให้มาเพื่อพิสูจน์:

4.7.11 โจทย์ Let เป็นส่วนย่อยของ*ที่ได้อย่างอิสระสร้างB จากนั้นB ∗ ( λ ) = ( I - B ( λ ) ) - $B$$A^*$$B$$B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

หลังจากทำงานผ่านแอพพลิเคชั่นบางตัวเขาก็ปิดหัวข้อด้วยการพูดคุยเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ Hadamard เกี่ยวกับโพลีโมโนตามแนวนอน - นูน