สำหรับทุกฟังก์ชั่นที่คำนวณได้มีปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ดีที่สุดในเวลาหรือไม่?

19

สำหรับฟังก์ชั่นคำนวณทุกไม่มีอยู่ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ที่ดีที่สุดในเวลาหรือมีฟังก์ชันคำนวณดังกล่าวว่าปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในทุกสามารถ ยังสามารถแก้ไขได้ในเวลา ? $f$ $\Theta(f(n))$ $f$ $O(f(n))$ $o(f(n))$

คำถามนี้โผล่เข้ามาในหัวของฉันเมื่อวานนี้ ฉันกำลังคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้มาสักพักแล้ว แต่ไม่สามารถเข้าใจได้ ฉันไม่รู้จริงๆว่าฉันจะเป็น google อย่างไรฉันจึงถามที่นี่ นี่คือสิ่งที่ฉันเกิดขึ้น:

ความคิดแรกของฉันคือคำตอบคือใช่: สำหรับทุกฟังก์ชันที่คำนวณได้ปัญหา "เอาต์พุตจุด" (หรือสร้างสตริงที่มีจุดหรืออะไรก็ตาม) ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนในเวลา ดังนั้นเราจะต้องแสดงให้เห็นว่าจะสามารถแก้ไขได้ในเวลา ไม่มีปัญหาใช้รหัสเทียมต่อไปนี้: $f$ $f(n)$ $f(n)$ $o(f(n))$ $O(f(n))$

x = f(n)
for i from 1 to x:
    output(".")

เห็นได้ชัดว่าอัลกอริทึมแก้ปัญหาที่ระบุ เห็นได้ชัดว่าเป็นไทเทอร์ดังนั้นจึงแก้ปัญหาได้ นั่นเป็นเรื่องง่ายใช่มั้ย ยกเว้นว่าไม่ใช่เพราะคุณต้องพิจารณาค่าใช้จ่ายของบรรทัดแรก รันไทม์ขั้นตอนวิธีการดังกล่าวข้างต้นเป็นเพียงในถ้ามีเวลาที่จำเป็นในการคำนวณอยู่ใน(n)) เห็นได้ชัดว่าไม่เป็นความจริงสำหรับการทำงานทั้งหมด1 $\Theta(f(n))$ $\Theta(f(n))$ $f(n)$ $O(f(n))$

ดังนั้นวิธีนี้ไม่ได้รับฉันทุกที่ ฉันจะขอบคุณสำหรับทุกคนที่ชี้ให้ฉันในทิศทางที่ถูกต้องเพื่อคิดออกอย่างถูกต้อง

¹พิจารณาเช่นฟังก์ชั่น{มิฉะนั้น}} เห็นได้ชัดว่าแต่มีขั้นตอนวิธีการไม่มีที่คำนวณในเวลา $p(n) = \cases{1 & \text{if $n$ is prime} \\ 2 & \text{otherwise}}$ $O(p(n)) = O(1)$ $p$ $O(1)$

complexity-theory

— sepp2k
แหล่งที่มา

1

ฉันไม่คิดว่าข้อความทั้งสองของคุณในย่อหน้าแรกของคุณนั้นเป็นสิ่งจำเป็นของกันและกัน: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณมีเช่นว่ามีปัญหาบางอย่างที่สามารถแก้ไขได้ในไม่ใช่ในหรือในเวลาหรือไม่

f

$f$

O (f (n))

$O(f(n))$

o (f (n))

$o(f(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Alex สิบ Brink

@Alex นั่นเป็นจุดที่ดีฉันไม่ได้พิจารณาเรื่องนั้น

— sepp2k

13

โดยทฤษฎีบท Gap (ใช้สูตรจากที่นี่ค้นหา 'ช่องว่าง') สำหรับฟังก์ชันที่คำนวณไม่ได้ใด ๆมีบางส่วนเพิ่มขึ้น (ในความเป็นจริงขนาดใหญ่โดยพลการ) ฟังก์ชันเช่นนั้น ) $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $DTIME(f(n)) = DTIME(g(f(n))$

นี้จะตอบคำถามของคุณที่มีอยู่เช่น (หลายอย่างมากมายในความเป็นจริง): สำหรับทุกฟังก์ชันคำนวณดังกล่าวว่ามีอยู่ฟังก์ชั่นบางอย่างเพิ่มขึ้นดังกล่าวว่าทุกปัญหาแก้ไขได้ในเวลายังสามารถแก้ไขได้ในเวลาเวลาโปรดทราบว่า $f$ $g$ $g = o(n)$ $f$ $O(f(n))$ $O(g(f(n)) = o(f(n))$ $f$ ไม่จำเป็นต้องใช้เวลาในการสร้าง - สำหรับกรณีที่สามารถกำหนดเวลาได้ดูคำตอบโดย @RanG

ในสูตรของ Wikipedia (ซึ่งกำหนดให้ ) จากนั้นกลายเป็นตัวอย่างของคุณและต้องเป็น (ดังนั้นคุณจึงไปอีกทางหนึ่ง - 'แก้ปัญหาได้ในนอกจากนี้ยังมีการแก้ไขใน 'เป็นส่วนที่น่าสนใจ) $g(x) \geq x$ $g \circ f$ $f$ $\omega(n)$ $O(g(f(n))$ $O(g(n))$

บทความ Wikipedia ไม่ทราบว่ากำลังเพิ่มขึ้นและในความเป็นจริงอาจมีขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ ( เป็นต้น) บทความที่พิสูจน์ทฤษฎีบทช่องว่างไม่เอ่ยถึงและพิสูจน์นี้ (ดูที่นี่เช่น) $f$ $f(n) \geq g(n)$

— อเล็กซ์สิบบริงค์
แหล่งที่มา

สามารถ

เป็น

? มันไม่จำเป็นว่า

? คำสั่งของคุณยังคงถูกต้อง แต่หลักฐานไปในทางอื่นใช่มั้ย

g

$g$

o (n)

$o(n)$

g (x) \geq x

$g(x)\ge x$

— Ran G.

@RanG อัปเดตเพื่อให้หลักฐานสำหรับสูตรทั้งสอง (ฉันใช้สูตรในกระดาษ) :)

— อเล็กซ์สิบบริงค์

"สำหรับทุกฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ g เช่น g = o (n) มีฟังก์ชั่น f บางอย่างที่ปัญหาทั้งหมดที่แก้ไขได้ใน O (f (n)) เวลายังสามารถแก้ไขได้ใน O (g (f (n)) = o ( เวลา f (n) เวลา "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า fs ทั้งหมดที่มีอยู่สำหรับ g นั้นอยู่ใน O (1) แล้ว O (g (f (n)) ยังคงเป็น O (1) และไม่ใช่ o (1)

— sepp2k

@ sepp2k: การจับที่ดีนี่เป็นปัญหาตามสูตร ฉันอัพเดตคำตอบแล้ว

— Alex สิบ Brink

12

สำหรับฟังก์ชั่นคำนวณทุกไม่มีอยู่ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ที่ดีที่สุดในเวลาหรือมีฟังก์ชันคำนวณดังกล่าวว่าปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในทุกนอกจากนี้ยังสามารถ แก้ไขได้ในเวลา ? $f$ $\Theta(f(n))$ $f$ $O(f(n))$ $o(f(n))$

ถ้าเป็นฟังก์ชันที่สร้างขึ้นตามเวลาได้ทฤษฎีลำดับเวลาบอกว่ามีปัญหาที่ต้องใช้เวลาและไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยเวลา $f$ $O(f(n))$ )โดยเฉพาะ $o\left (\frac{f(n)}{\log(f(n))}\right )$

DTIME (o (\frac{f (n)}{\log (f (n))})) ⊊ DTIME (f (n))

$\text{DTIME}\left ( o\left (\frac{f(n)}{\log(f(n))}\right) \right ) \subsetneq \text{DTIME} \left ( f(n) \right)$

สิ่งนี้พิจารณาเฉพาะปัญหาการตัดสินใจและไม่คำนึงถึงเวลาที่ใช้ในการสร้างผลลัพธ์

— รันจี
แหล่งที่มา

ฉันคิดถูกหรือไม่ถ้าเราพิจารณาฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้คำตอบสำหรับคำถามของฉันคือ "ไม่" หรือเกี่ยวข้อง: หากฟังก์ชั่น

ไม่สามารถกำหนดเวลาได้และทำให้ไม่มีเครื่องทัวริงที่หยุดหลังจากขั้นตอน

นั่นหมายความว่ายังไม่มีเครื่องทัวริงที่หยุดหลังจากขั้นตอน

? เพราะจากนั้นมันก็จะทำตามอย่างไม่สำคัญว่าคำตอบสำหรับคำถามของฉันคืออะไร

f

$f$

f (n)

$f(n)$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— sepp2k

มันขึ้นอยู่กับ. สมมติว่า

ไม่ใช่เวลาที่สร้างได้ แต่สามารถล้อมรอบด้วยฟังก์ชันอื่น

ซึ่งเป็นเวลาที่สร้างขึ้นได้

และยังคงมีปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ด้วยเวลา

แต่ไม่น้อยไปกว่านั้น

f

$f$

g

$g$

f = Θ (g)

$f=\Theta(g)$

O (f)

$O(f)$

— Ran G.

และการใช้หลาย TM เทปคุณสามารถปรับปรุงผลลัพธ์จาก

เพื่อ

)

o (\frac{f (n)}{\lg f (n)})

$o(\frac{f(n)}{\lg f(n)})$

o (f (n))

$o(f(n))$

— Kaveh

3

ฉันจะพยายามให้กรอบบางอย่างโดยหวังว่าจะได้รับความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

เมื่อคุณไปถึงสิ่งพื้นฐานนี้มีข้อผิดพลาดที่ไม่คาดคิดอยู่ทั่วไป ตัวอย่างเช่น: การ "แก้ปัญหา" คืออะไร บ่อยครั้งในวิทยาการคอมพิวเตอร์เราพิจารณาเฉพาะตัวแปร "การตัดสินใจ" ซึ่งเราได้รับอินพุตและต้องการเฉพาะเอาต์พุตจริงหรือเท็จเท่านั้น คุณกำลังมุ่งเน้นไปที่ปัญหา "ฟังก์ชั่น"

หากคุณพิจารณาสัญกรณ์ O (f (n)) ว่าพยายามจับภาพว่าจำเป็นต้องใช้ "งาน" มากแค่ไหนในการแก้ปัญหาการใช้การตัดสินใจแทนฟังก์ชั่น (ซึ่งจำเป็นต้องใช้เอาต์พุต) ดูเหมือนจะดีกว่า .

ฉันไม่คิดว่านี่จะตอบคำถามของคุณ แต่คุณอาจสนใจในสิ่งนี้: http://en.wikipedia.org/wiki/Time_hierarchy_theorem

นอกจากนี้ระวังเกี่ยวกับทฤษฎีบทการเร่งความเร็วด้วย

— agorenst
แหล่งที่มา