อัลกอริทึม

สมมติว่าเราจะได้รับเลขที่แตกต่างกันเช่นว่าสำหรับบางคงและสำหรับทุกฉัน$n$$a_1, a_2, \dots, a_n$$0 \le a_i \le kn$$k \gt 0$$i$

เรามีความสนใจในการหาข้อหาทุกคู่ที่เป็นไปได้สรุปa_j ( อนุญาตให้ )$S_{ij} = a_i + a_j$$i = j$

อัลกอริทึมหนึ่งคือการสร้างพหุนามของระดับและคำนวณสแควร์โดยใช้วิธีการแปลงฟูริเยร์และอ่านพลังกับพวกมัน สัมประสิทธิ์ในพหุนามผลลัพธ์ นี่เป็นอัลกอริทึมเวลา$P(x) = \sum_{j=1}^{n} x^{a_j}$$\le kn$$O(n \log n)$

ฉันมีสองคำถาม:

• มีอัลกอริทึมซึ่งไม่ได้ใช้ FFT หรือไม่?$O(n \log n)$

• รู้จักอัลกอริทึมที่ดีกว่า (เช่น ) หรือไม่ (อนุญาต FFT)$o(n \log n)$

ดูเหมือนว่าปัญหานี้จะเท่ากับจำนวนเต็ม / พหุนามกำลังสอง:

1. เป็นที่รู้จักกันว่าการคูณพหุนามเทียบเท่ากับการคูณจำนวนเต็ม

2.เห็นได้ชัดว่าคุณลดปัญหาดังกล่าวเป็นพหุนาม / จำนวนเต็มกำลังสองแล้ว ดังนั้นปัญหานี้ยากที่สุดเท่าที่จะเป็นกำลังสอง

ตอนนี้ฉันจะลดจำนวนเต็มกำลังสองของปัญหานี้:

สมมติว่าคุณมีอัลกอริทึม:

$$F(\mathbf{\vec a})\rightarrow P^2(x),\\ \text{where } P(x)=\sum_{a_i \in \mathbf{\vec a}} x^{a_i}$$

อัลกอริทึมนี้เป็นหลักอัลกอริทึมที่คุณร้องขอในคำถามของคุณ ดังนั้นถ้าฉันมีอัลกอริทึมเวทมนต์ที่สามารถทำสิ่งนี้ได้ฉันสามารถสร้างฟังก์ชันที่จะยกกำลังสองจำนวนเต็มy ( โอ้ใช่ฉันรัก mathjax: P ):${\rm S{\small QUARE}}\left(y\right)$$y$

$$\begin{array}{rlr}\hline &\mathbf{\text{Algorithm 1}} \text{ Squaring}&\hspace{2em}&\\ \hline {\tiny 1.:}&\mathbf {\text{procedure }} {\rm S{\small QUARE}}\left(y\right):\\ {\tiny 2.:}&\hspace{2em}\mathbf {\vec a} \leftarrow () &&\triangleright~\mathbf {\vec a}\text{ starts as empty polynomial sequence}\\ {\tiny 3.:}&\hspace{2em}i \leftarrow 0\\ {\tiny 4.:}&\hspace{2em}\mathbf{while}~y\ne0~\mathbf{do} &&\triangleright~\text{break }y\text{ down into a polynomial of base }2\\ {\tiny 5.:}&\hspace{4em}\mathbf{if}~y~\&~1~\mathbf{then} &&\triangleright~\text{if lsb of }y\text{ is set}\\ {\tiny 6.:}&\hspace{6em}\mathbf{\vec a} \leftarrow \mathbf{\vec a}i &&\triangleright~\text{append }i\text{ to }\mathbf{\vec a}~\text{(appending }x^i\text{)}\\ {\tiny 7.:}&\hspace{4em}\mathbf{end~if}\\ {\tiny 8.:}&\hspace{4em}i \leftarrow i + 1\\ {\tiny 9.:}&\hspace{4em}y \leftarrow y \gg 1 &&\triangleright~\text{shift }y\text{ right by one}\\ {\tiny 10.:}&\hspace{2em}\mathbf{end~while}\\ {\tiny 11.:}&\hspace{2em}P^2(x) \leftarrow F\left(\mathbf{\vec a}\right) &&\triangleright~\text{obtain the squared polynomial via } F\left(\mathbf{\vec a}\right)\\ {\tiny 12.:}&\hspace{2em}\mathbf{return}~P^2(2) &&\triangleright~\text{simply sum up the polynomial}\\ {\tiny 13.:}&\mathbf {\text{end procedure}}\\ \hline &\end{array}$$

Python ( ทดสอบด้วยแผ่นจดบันทึก ):

#/cs//q/11418/2755

def F(a):
    n = len(a)
    for i in range(n):
        assert a[i] >= 0

    # (r) => coefficient
    # coefficient \cdot x^{r}
    S = {}
    for ai in a:
        for aj in a:
            r = ai + aj

            if r not in S:
                S[r] = 0

            S[r] += 1

    return list(S.items())

def SQUARE(x):
    x = int(x)

    a = []
    i = 0
    while x != 0:
        if x & 1 == 1:
            a += [i]
        x >>= 1
        i += 1

    print 'a:',a
    P2 = F(a)

    print 'P^2:',P2

    s = 0
    for e,c in P2:
        s += (1 << e)*c
    return s

3. ดังนั้นการ squaring นั้นยากที่สุดเท่ากับปัญหานี้

4. ดังนั้นการ squaring จำนวนเต็มจึงเท่ากับปัญหานี้ (พวกเขาแต่ละคนมีความแข็งแกร่งเท่ากันเนื่องจาก ( 2 , 3 , 1 ))

$\mathcal O(n\log n)$$\mathcal O(n \log n \log \log n)$$\mathcal O\left(n \log n\,2^{\mathcal O(\log^* n)}\right)$$\Omega\left(n \log n\right)$

$\mathcal O\left(n\log n\right)$

5.ทีนี้ปัญหาของคุณไม่ใช่การคูณแน่นอนมันกำลังสอง ดังนั้นการ squaring ง่ายขึ้น? มันเป็นปัญหาแบบเปิด (ไม่ใช่ตอนนี้) : การรู้กำลังสองไม่ได้มีอัลกอริธึมเร็วกว่าการคูณ หากคุณสามารถหาอัลกอริทึมที่ดีกว่าสำหรับปัญหาของคุณได้มากกว่าการใช้การคูณ แล้วนี่อาจเป็นความก้าวหน้า

$\mathcal O(n\log n)$$\mathcal O(n\log n)$$\mathcal O(n \log n)$$\mathcal O(n\log n)$ ในฐานะที่เป็นอัลกอริธึมการคูณที่ดีที่สุดจะเข้าใกล้ความซับซ้อนนั้นเท่านั้น