การหาดาว 5 แฉกในเวลาพหุนาม

ฉันต้องการพิสูจน์ว่านี่เป็นส่วนหนึ่งของการบ้านสำหรับหลักสูตรที่ฉันเรียนอยู่ ฉันกำลังมองหาความช่วยเหลือในการดำเนินการต่อไม่ใช่คำตอบ

นี่คือคำถามที่สงสัย:

ดาว 5 แฉกในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางเป็น 5 กลุ่ม แสดงให้เห็นว่า 5 แฉก-STAR $\in P$ที่ 5 แฉก-STAR = $\{ <G>$ $: G$มี 5 แฉกดาวเป็น subgraph }$\}$

ในกรณีที่เป็นก๊กก๊ก = $\{(G, k) : G$เป็นกราฟไม่มีทิศทาง$G$กับ$k$ -clique }$\}$

ตอนนี้ปัญหาของฉันคือสิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นการแก้ปัญหา CLIQUE การพิจารณาว่ากราฟมีกลุ่มที่มีข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่ต้องพิจารณาว่า CLIQUE ก่อตัวเป็นดาว 5 แฉกหรือไม่ นี้น่าจะเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางเรขาคณิตบางบนพื้นฐานความรู้ของดาว 5 แฉก อย่างไรก็ตามในทฤษฎีการคำนวณของ Michael Sipser's , pg 268 มีหลักฐานแสดงว่า CLIQUE อยู่ใน$NP$และในหน้า 270 บันทึกว่า

เราได้นำเสนอตัวอย่างของภาษาเช่น HAMPATH และก๊ก, ที่เป็นสมาชิกของ NP แต่ที่ไม่เป็นที่รู้จักที่จะอยู่ในP$P$[เน้นเพิ่ม]

หากก๊กไม่ได้อยู่ใน$P$ทำไมห้าแฉกดาวจะอยู่ใน$P$ ? มีบางอย่างที่ฉันไม่เห็นใช่ไหม โปรดจำไว้ว่านี่เป็นปัญหาการบ้านและคำตอบโดยตรงจะไม่ได้รับการชื่นชม ขอบคุณ!

หากเป็นกราฟจะมีชุดย่อยVขนาด5 จำนวนเท่าใด$G=(V,E)$$V$$5$

หากมี 5 กลุ่มย่อยหนึ่งในเซตย่อยนี้คือกลุ่ม

สปอยเลอร์ด้านล่าง:

มีชุดย่อยที่เป็นไปได้ในการตรวจสอบนั่นคือมากที่สุด| V| 5ตัวเลือกซึ่งเป็นพหุนามในอินพุต นี่ไม่ใช่กรณีสำหรับkโดยพลการตั้งแต่| V| kอาจเป็นเลขชี้กำลังในอินพุตและนี่คือสาเหตุที่CLIQUE∉P(ยกเว้น P = NP, agghh.)${|V| \choose 5}$$|V|^5$$k$$|V|^k$$\text{CLIQUE} \notin P$