พิสูจน์ความสมบูรณ์แบบ NP ของการตัดสินใจความพึงพอใจของสูตรบูลีนโมโนโทน

ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหานี้และฉันกำลังดิ้นรนจริงๆ

สูตรเดียวบูลเป็นสูตรในตรรกะประพจน์ที่ทุกตัวอักษรที่มีในเชิงบวก ตัวอย่างเช่น,

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

เป็นฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียว ในทางกลับกันบางอย่างเช่น

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

ไม่ใช่ฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียว

ฉันจะพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบของ NP สำหรับปัญหานี้ได้อย่างไร:

ตรวจสอบว่าฟังก์ชันบูลีนแบบโมโนโทนเป็นที่น่าพอใจหรือไม่หากตั้งค่าตัวแปรหรือน้อยกว่าเป็น ? $k$ $1$

เห็นได้ชัดว่าตัวแปรทั้งหมดสามารถตั้งค่าให้เป็นค่าบวกและนั่นเป็นเรื่องเล็กน้อยดังนั้นจึงมีข้อ จำกัด ของตัวแปรตั้งในเชิงบวก $k$

ฉันลองลดจาก SAT ไปเป็นสูตรบูลีนโมโนโทน สิ่งหนึ่งที่ฉันได้ลองคือการแทนที่ตัวแปรดัมมี่สำหรับตัวอักษรเชิงลบทุกตัว ตัวอย่างเช่นฉันลองแทนที่ด้วยจากนั้นฉันพยายามบังคับให้และเป็นค่าที่ต่างกัน ฉันยังไม่สามารถทำให้เรื่องนี้ทำงานได้ $\neg x_1$ $z_1$ $x_1$ $z_1$

complexity-theory np-complete satisfiability

— แน็ต
แหล่งที่มา

ยินดีต้อนรับ! โปรดใช้ความระมัดระวังกับภาษาและการจัดรูปแบบ

— ราฟาเอล

คำตอบ:

ปัญหา "หลัก" ของปัญหาที่คุณกำลังดูบางครั้งเรียกว่า Weighted Satisfiability (WSAT โดยเฉพาะอย่างยิ่งในความซับซ้อนของพารามิเตอร์) หรือ Min-Ones (ซึ่งโดยปกติจะเป็นรุ่นที่ปรับให้เหมาะสม แต่ใกล้พอ) ปัญหาเหล่านี้มีข้อ จำกัด"ที่ตัวแปรสูงสุดที่ตั้งค่าเป็นจริง" เป็นคุณสมบัติการกำหนด $k$

ข้อ จำกัด ของสูตรโมโนโทนที่จริงแล้วเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงความแข็งสำหรับคุณเพียงแค่ต้องแก้ไขปัญหาความพึงพอใจนอกเวลาสักครู่ แทนที่จะพยายามแก้ไขอินสแตนซ์ SAT เราแทนที่จะเริ่มด้วย Dominating Set (DS)

ดูว่าคุณจะได้รับจากที่นั่น มีมากขึ้นในสปอยเลอร์แยกเป็นชิ้น ๆ แต่หลีกเลี่ยงถ้าคุณทำได้ ฉันจะไม่แสดงความเป็นสมาชิกใน NP คุณไม่ควรมีปัญหา

จากตัวอย่างของ DS (เช่นเราต้องการชุดของขนาดที่มากที่สุดสำหรับ ) เราสามารถสร้างอินสแตนซ์ของ WSAT โดยที่สูตรเป็นสูตรโมโนโทนเดียว CNF: $(G, k)$ $k$ $G$ $(\phi,k)$ $\phi$

การก่อสร้างขั้นพื้นฐาน:

สำหรับแต่ละเรามีตัวแปรสำหรับแต่ละเรามีประโยคU' $v\in V(G)$ $v' \in \text{var}(\phi)$ $v \in V(G)$ $c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

ภาพร่างหลักฐาน:

แต่ละจุดสุดยอดอย่างใดอย่างหนึ่งจะต้องมีอยู่ในชุดครอบครองหรือมีเพื่อนบ้านที่เป็นดังนั้นหากเราสามารถหาจุดที่กำหนดรูปแบบที่โดดเด่นเป็นที่สอดคล้องตัวแปรสามารถตั้งค่าให้เป็นจริงในและประโยคแต่ละคนจะต้องมีอย่าง อย่างน้อยหนึ่งคน ในทำนองเดียวกันหากมีการมอบหมายน้ำหนักที่น่าพอใจตัวแปรที่แท้จริงจะสอดคล้องกับจุดยอดที่เราวางไว้ในเซตที่มีอำนาจเหนือ - ทุกประโยคต้องมีอย่างน้อยหนึ่งตัวดังนั้นแต่ละจึงถูกครอบงำ $k$ $k$ $\phi$ $k$ $c_{v}$ $v$

— ลุคมาติสัน
แหล่งที่มา

ว้าวสิ่งนี้ทำให้รู้สึกมากขึ้นขอบคุณ! ฉันคิดว่าฉันติดอยู่ในความพยายามที่จะลด SAT ลงไปเป็นสูตรบูลีนโมโนโทน

— นัท

ฉันยังเห็นด้วยว่าเราสามารถลดจุดสุดยอดปิดลงไปเป็นสูตรบูลีนโมโนโทน

— nat

@nat แน่นอนการไปจากจุดสุดยอดก็ดีเช่นกันเพราะมันให้สูตรใน 2CNF ซึ่งน่าสนใจเพราะ 2-SAT อยู่ใน P แต่ monotone WSAT ที่มี 2CNF เป็นสูตร NP-complete โดยบังเอิญคุณสามารถรับผลลัพธ์ antimonotone (ซึ่งตัวแปรทุกตัวถูกทำให้เป็นโมฆะ แต่คุณต้องการตัวแปรจริงอย่างน้อย ) จากชุด Clique / Independent หากคุณกระตือรือร้นเป็นพิเศษคุณอาจต้องการดู Parameterized Complexity ซึ่งปัญหาความพึงพอใจเหล่านี้มีบทบาทสำคัญ

k

$k$

— ลุคแมททีสัน

ฉันคิดว่าวิธีการเดียวกันนี้ใช้ได้กับการครอบคลุมจุดยอด

— Haskell Fun

@ HaskellFun ฉันคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วย ปก Vertex เหมือนกับ Monotone Min-W2SAT

— rus9384

มีการลดลงอย่างง่ายจาก SAT แนะนำตัวแปรใหม่เพื่อเป็นตัวแทนของx_i รับสูตรเราสร้างสูตรใหม่โดยแทนที่แต่ละเหตุการณ์ของด้วยและเพิ่มส่วนสำหรับแต่ละตัวแปร เราตั้งค่าให้เป็นจำนวนตัวแปรดั้งเดิม สูตรใหม่เป็นเสียงเดียวและเป็นที่พอใจกับตัวแปร k ส่วนใหญ่ที่ตั้งค่าเป็นจริงถ้าหากเป็นที่น่าพอใจ (นี่เป็นเพราะ disjoint clausesทำให้เกิดการตอบสนองที่น่าพอใจสำหรับ $z_i$ $\neg x_i$ $\phi$ $\phi'$ $\neg x_i$ $z_i$ $x_i \vee z_i$ $k$ $\phi'$ $\phi$ $k$ $x_i \vee z_i$ $\phi'$ ต้องมีตัวแปรอย่างน้อยเป็น True แต่แล้ววิธีเดียวที่จะมีอย่างมากที่สุดคือการได้ว่าหนึ่งในพวกเขาตั้งค่าเป็นจริงสำหรับแต่ละคู่ {x_i, z_i}.) $k$ $k$

— david
แหล่งที่มา