ครึ่งหนึ่ง CLIQUE - ปัญหาที่สมบูรณ์ของ NP

ผมขอเริ่มต้นจากการสังเกตปัญหานี้เป็นปัญหาบ้านกรุณาให้คำแนะนำเท่านั้นและข้อสังเกตที่เกี่ยวข้องไม่ตรงคำตอบโปรด จากที่กล่าวมานี่เป็นปัญหาที่ฉันดู:

ให้ HALF-CLIQUE = { | เป็นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางมีกราฟย่อยสมบูรณ์ที่มีอย่างน้อยโหนดโดยที่ n คือจำนวนโหนดใน } แสดงว่า HALF-CLIQUE นั้นสมบูรณ์ NPG n / 2 $\langle G \rangle$$G$$n/2$$G$

นอกจากนี้ฉันรู้ดังต่อไปนี้:

• ในแง่ของปัญหานี้กลุ่มถูกกำหนดให้เป็นกราฟย่อยที่ไม่ได้บอกทิศทางของกราฟอินพุตซึ่งทุกโหนดจะเชื่อมต่อกันด้วยขอบ -cliqueเป็นก๊กที่มีโหนด$k$$k$
• จากหนังสือของเรา Michael Sipser's " รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณ " หน้า 268 ว่าปัญหา CLIQUE = { | เป็นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วย -clique} อยู่ใน NPG $\langle G,k\rangle$$G$$k$
• นอกจากนี้ตามแหล่งเดียวกัน (บน pg 283) บันทึกว่า CLIQUE อยู่ใน NP-Complpete (ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดใน NP)

ฉันคิดว่าฉันมีเคอร์เนลของคำตอบที่นี่ แต่ฉันสามารถใช้บ่งชี้ของสิ่งผิดปกติกับมันหรือจุดอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องบางอย่างที่อาจจะเกี่ยวข้องกับคำตอบ นี่เป็นความคิดทั่วไปที่ฉันมี

ตกลงฉันต้องการทราบครั้งแรกที่ใบรับรองก็จะครึ่ง QLIQUE ของ 2 ตอนนี้ดูเหมือนว่าสิ่งที่ฉันต้องทำคือการสร้างตัวตรวจสอบที่เป็นการลดเวลาพหุนามจาก CLIQUE (ซึ่งเรารู้ว่าเป็น NP-Complete) ถึง HALF-CLIQUE ความคิดของฉันคือสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้โดยการสร้างเครื่องทัวริงซึ่งใช้งานเครื่องตรวจสอบเครื่องทัวริงในหนังสือสำหรับ CLIQUE พร้อมกับข้อ จำกัด เพิ่มเติมสำหรับ HALF-CLIQUE$\text{size} \geq n/2$

ฟังดูถูกต้องสำหรับฉัน แต่ฉันยังไม่เชื่อใจตัวเองในเรื่องนี้ ฉันอยากจะเตือนทุกคนว่านี่เป็นปัญหาของการบ้านดังนั้นโปรดพยายามหลีกเลี่ยงการตอบคำถาม คำแนะนำใด ๆ ที่ขาดไปนี้จะยินดีมากที่สุด!

ตัดสินโดยคำอธิบายและความคิดเห็นของคุณคุณอาจได้รับการช่วยเหลือที่ดีที่สุดโดยคำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับวิธีการลดการใช้เพื่อพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบของ NP:

ปัญหาคือ NP-complete ถ้ามันอยู่ใน NP และมันเป็น NP-hard ซึ่งหมายความว่าการพิสูจน์ความสมบูรณ์ของ NP มีสองส่วน: การพิสูจน์ว่าปัญหาอยู่ใน NP และการพิสูจน์ว่าเป็น NP-hard

ในส่วนแรกคุณต้องแสดงให้เห็นว่าอินสแตนซ์ YES สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามโดยใช้ใบรับรองที่เหมาะสม อีกวิธีหนึ่งคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดไว้ แต่มักจะไม่ทำเช่นนี้เนื่องจากความผิดพลาดเกิดขึ้นได้ง่าย

ในกรณีของคุณสิ่งนี้ลงมาเพื่อพิสูจน์ว่าสำหรับกราฟทุกอันที่มี -clique คุณสามารถหาหลักฐานได้ว่ามีกลุ่มดังกล่าวแน่นอนเช่นนั้นซึ่งมีอาวุธพร้อมหลักฐานดังกล่าวคุณสามารถตรวจสอบเวลาพหุนามที่ มีกลุ่มดังกล่าวแน่นอน$n/2$

สำหรับส่วนที่สองคุณต้องแสดงให้เห็นว่าปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-hard นี่คือเกือบทุกกรณีที่แสดงโดยการพิสูจน์ว่าปัญหาของคุณอย่างน้อยที่สุดเท่ากับปัญหา NP-hard อื่น ๆ ถ้า HALF-CLIQUE นั้นยากเท่ากับ CLIQUE ก็จะต้องเป็น NP-hard ด้วย

คุณทำเช่นนี้โดยการพิสูจน์ลดลงจากก๊ก, TOครึ่งก๊ก คุณ 'ลด' ปัญหาทำให้ง่ายขึ้น คุณพูดว่า "การแก้ปัญหา CLIQUE นั้นยาก แต่ฉันได้พิสูจน์แล้วว่าคุณเพียงแค่ต้องแก้ปัญหาครึ่งส่วนเพื่อแก้ปัญหา CLIQUE" (หลายคนแม้แต่ผู้เชี่ยวชาญบางครั้งก็พูดแบบนี้ผิดไป :))

มีการลดประเภทต่าง ๆ : การลดที่ใช้กันมากที่สุดคือการที่คุณจับคู่อินสแตนซ์ของในกรณีนี้ CLIQUE กับอินสแตนซ์ของ HALF-CLIQUE ที่มีขนาดใหญ่ที่สุดคือพหุนามในเวลาพหุนาม ซึ่งหมายความว่าหากเราสามารถแก้ปัญหาครึ่งส่วนได้เราก็สามารถแก้ปัญหาเฉพาะด้วยการผูกมัดอัลกอริทึมและการลดลง

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องแสดงให้เห็นว่าเราสามารถแก้ปัญหา CLIQUE ได้หากเราสามารถแก้ปัญหาครึ่งวงกลมได้ เราทำสิ่งนี้โดยแสดงว่าสำหรับทุกอินสแตนซ์สำหรับ CLIQUE เราสามารถออกแบบอินสแตนซ์ของ HALF-CLIQUE เพื่อให้อินสแตนซ์ของ CLIQUE เป็นอินสแตนซ์ 'ใช่' iff อินสแตนซ์ของ HALF-CLIQUE เป็นอินสแตนซ์ 'ใช่'

$G=(V, E)$$H=(V', E')$$G$$k$$H$$n/2$

$\ge$

$G$$k$$H$$H$$G$$k$

สปอยเลอร์ด้านล่างมีคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีดำเนินการลดนี้:

$H$$G$

คุณสามารถลดปัญหาปกจากจุดสุดยอด หากกราฟเสริมของกราฟที่กำหนดมีจุดยอดปกคลุมน้อยกว่า n / 2 โหนดกราฟนี้จะมีกลุ่มมากกว่า n / 2 โหนดนั่นคือมันจะเป็นครึ่งหนึ่ง เพียงระบุว่าเป็นการยากที่จะแก้ไขปัญหา Vertex Cover ดังนั้นจึงเป็นเช่นนี้