แสดงการดำเนินการเชิงตรรกะบูลีนในการโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มศูนย์ (ILP)

ฉันมีโปรแกรม linear จำนวนเต็ม (ILP) ซึ่งมีตัวแปรบางตัว$x_i$ที่มีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าบูลีน $x_i$ 's มีข้อ จำกัด ที่จะเป็นจำนวนเต็มและจะถือ 0 หรือ 1 ( )$0 \le x_i \le 1$

ฉันต้องการแสดงการดำเนินการบูลีนกับตัวแปร 0/1 ที่มีค่าเหล่านี้โดยใช้ข้อ จำกัด เชิงเส้น ฉันจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการตั้งค่า (บูลีน AND), (บูลีน OR) และ (บูลีน NOT) ฉันใช้การตีความที่ชัดเจนของ 0/1 เป็นค่าบูลีน: 0 = false, 1 = true ฉันจะเขียนข้อ จำกัด ของ ILP ได้อย่างไรเพื่อให้แน่ใจว่านั้นเกี่ยวข้องกับตามที่ต้องการ?$y_1 = x_1 \land x_2$$y_2 = x_1 \lor x_2$$y_3 = \neg x_1$$y_i$$x_i$

(สิ่งนี้อาจถูกมองว่าเป็นการขอลดจาก CircuitSAT ถึง ILP หรือขอวิธีแสดง SAT เป็น ILP แต่ที่นี่ฉันต้องการเห็นวิธีชัดเจนในการเข้ารหัสการดำเนินการเชิงตรรกะที่แสดงด้านบน)

ตรรกะและ:ใช้ข้อ จำกัด เชิงเส้น$y_1 \ge x_1 + x_2 - 1$ , $y_1 \le x_1$ , $y_1 \le x_2$ , $0 \le y_1 \le 1$โดยที่$y_1$ถูก จำกัด ให้เป็นจำนวนเต็ม สิ่งนี้บังคับใช้ความสัมพันธ์ที่ต้องการ (ค่อนข้างเรียบร้อยที่คุณสามารถทำได้ด้วยความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นใช่มั้ย)

ตรรกะหรือ:ใช้ข้อ จำกัด เชิงเส้น$y_2 \le x_1 + x_2$ , $y_2 \ge x_1$ , $y_2 \ge x_2$ , $0 \le y_2 \le 1$โดยที่$y_2$ถูก จำกัด ให้เป็นจำนวนเต็ม

ตรรกะไม่ได้:ใช้$y_3 = 1-x_1$ 1

ความหมายเชิงตรรกะ:เพื่อแสดง$y_4 = (x_1 \Rightarrow x_2)$ (เช่น$y_4 = \neg x_1 \lor x_2$ ) เราสามารถปรับโครงสร้างสำหรับตรรกะ OR ใช้ข้อ จำกัด เชิงเส้น$y_4 \le 1-x_1 + x_2$ , $y_4 \ge 1-x_1$ , $y_4 \ge x_2$ , $0 \le y_4 \le 1$โดยที่$y_4$ถูก จำกัด ให้เป็นจำนวนเต็ม

บังคับความหมายเชิงตรรกะ:เพื่อแสดงว่า$x_1 \Rightarrow x_2$ต้องเก็บเพียงใช้ข้อ จำกัด เชิงเส้น$x_1 \le x_2$ (สมมติว่า$x_1$และ$x_2$มีข้อ จำกัด อยู่แล้วกับค่าบูลีน)

XOR:หากต้องการแสดง$y_5 = x_1 \oplus x_2$ (เอกสิทธิ์ของ$x_1$และ$x_2$ ) ให้ใช้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น$y_5 \le x_1 + x_2$ , $y_5 \ge x_1-x_2$ , $y_5 \ge x_2-x_1$ , $y_5 \le 2-x_1-x_2$ , $0 \le y_5 \le 1$โดยที่$y_5$ถูก จำกัด ให้เป็นจำนวนเต็ม

และเป็นโบนัสอีกหนึ่งเทคนิคที่มักจะช่วยเมื่อกำหนดปัญหาที่มีส่วนผสมของตัวแปร zero-one (boolean) และตัวแปรจำนวนเต็ม:

ส่งไปยังบูล (รุ่นที่ 1):สมมติว่าคุณมีจำนวนเต็มตัวแปร$x$และคุณต้องการที่จะกำหนด$y$เพื่อให้$y=1$ถ้า$x \ne 0$และ$y=0$ถ้า$x=0$ 0 หากคุณรู้เพิ่มเติมว่า$0 \le x \le U$คุณสามารถใช้สมการเชิงเส้นได้$0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $x \le Uy$ ; อย่างไรก็ตามจะใช้งานได้ก็ต่อเมื่อคุณทราบขอบเขตบนและล่าง$x$ . หรือถ้าคุณรู้ว่า$|x| \le U$ (นั่นคือ$-U \le x \le U$ ) สำหรับบางคนคง$U$แล้วคุณสามารถใช้วิธีการที่อธิบายไว้ที่นี่ สิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อคุณรู้ว่าขอบเขตบน$|x|$.

ส่งไปยังบูล (รุ่น 2):ลองพิจารณาเป้าหมายเดียวกัน แต่ตอนนี้เราไม่รู้จักขอบเขตบนx$x$แต่ถือว่าเราจะรู้ว่า$x \ge 0$ 0 นี่คือวิธีที่คุณสามารถแสดงข้อ จำกัด ดังกล่าวในระบบเชิงเส้น ขั้นแรกแนะนำใหม่ตัวแปรจำนวนเต็มที$t$เพิ่มความไม่เท่าเทียมกัน$0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $t=x-y$ Y จากนั้นเลือกฟังก์ชันวัตถุประสงค์เพื่อให้คุณลดที$t$ใช้งานได้เฉพาะถ้าคุณยังไม่มีฟังก์ชันวัตถุประสงค์ หากคุณมี$n$ตัวแปรจำนวนเต็มไม่เป็นลบ$x_1,\dots,x_n$และคุณต้องการที่จะโยนทั้งหมดของพวกเขาที่จะ booleans เพื่อให้$y_i=1$ถ้า$x_i\ge 1$และ$y_i=0$ถ้า$x_i=0$แล้วคุณสามารถแนะนำ$n$ตัวแปร$t_1,\dots,t_n$กับความไม่เท่าเทียมกัน$0 \le y_i \le 1$ , $y_i \le x_i$ ,$t_i=x_i-y_i$และกำหนดเป้าหมายการทำงานเพื่อลด$t_1+\dots + t_n$ n อีกครั้งสิ่งนี้ใช้งานได้ไม่จำเป็นต้องกำหนดฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ (หากนอกเหนือจากการปลดเปลื้องไปจนถึงบูลีนแล้ว) คุณกำลังวางแผนที่จะตรวจสอบความเป็นไปได้ของ ILP ที่เกิดขึ้นไม่ใช่พยายามลด / เพิ่มฟังก์ชันบางส่วนของตัวแปร)

สำหรับปัญหาการปฏิบัติบางที่ดีเยี่ยมและทำงานตัวอย่างผมขอแนะนำให้กำหนดจำนวนเต็มโปรแกรมเชิงเส้น: เป็นโจรแกลลอรี่

ตรรกะและความสัมพันธ์สามารถสร้างแบบจำลองในข้อ จำกัด ช่วงหนึ่งแทนข้อ จำกัด ที่สาม (เช่นในโซลูชันอื่น) ดังนั้นแทนที่จะใช้สามข้อ จำกัด มันสามารถเขียนได้ใช้ช่วงข้อ จำกัด เดียว 0 ≤ x 1 + x 2 - 2 ปี1 ≤

ไม่เช่นนั้นจะไม่มีการปรับปรุงใด ๆ

โดยทั่วไปแล้วสำหรับ ( n -way AND) ข้อ จำกัด จะเป็น: 0 ≤ ∑ x i - n y ≤ n - $y=x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$$n$ ในทำนองเดียวกันสำหรับ OR: 0 ≤ n y - ∑ x i ≤ n -

ฉันพบโซลูชันที่สั้นกว่าสำหรับ XOR y = x1⊕x2 (x และ y เป็นเลขฐานสอง 0, 1)

เพียงแค่หนึ่งบรรทัด: x1 + x2 - 2 * z = y (z เป็นจำนวนเต็มใด ๆ )