ขอบเขตล่างของการคำนวณฟังก์ชันของชุด

มีชุดขององค์ประกอบสมมุติว่าฉันต้องการคำนวณฟังก์ชั่นที่ไวต่อทุกส่วนของอินพุตเช่นขึ้นอยู่กับสมาชิกของ (เช่นเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนสมาชิกของบางอย่าง อื่นเพื่อรับอินพุตใหม่ค่าของบนและจะแตกต่างกัน) $A$ $n$ $f(A)$ $A$ $A$ $A'$ $f$ $A$ $A'$

ตัวอย่างเช่นอาจเป็นผลรวมหรือค่าเฉลี่ย $f$

มีผลลัพธ์ที่พิสูจน์ได้หรือไม่ว่าภายใต้เงื่อนไขบางอย่างเวลาที่จำเป็นสำหรับเครื่องทัวริงที่กำหนดขึ้นเพื่อคำนวณจะเป็นหรือไม่? $f$ $\Omega(n)$

complexity-theory

— ВиталийОлегович
แหล่งที่มา

โปรดทราบว่าหากเป็นลำดับที่มีการเข้าถึงแบบสุ่มและข้อสันนิษฐานความอ่อนไหวอ่อนลงสิ่งนี้จะไม่ถืออยู่เสมอ ตัวอย่างเช่นสามารถคำนวณได้ด้วยการสืบค้นสองครั้งถึงแม้ว่ามันจะไม่ใช่สภา

A

$A$

(i, x_{1}, \dots, x_{n}) \to x_{i}

$(i,x_1,\dots,x_n) \to x_i$

— sdcvvc

@sdcvvc V[i]ตัวอย่างของคุณทำให้ผมนึกถึงการเรียนการสอนภาษา คำจำกัดความของรัฐบาลทหารคืออะไร?

— ВиталийОлегович

-junta เป็นฟังก์ชั่นบูลที่ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งคือมีชุดขนาดดังกล่าวว่าสำหรับการใด ๆ ,ถ้าและแตกต่างกันเฉพาะในตำแหน่งนอกแล้ว(y) ฉันใช้คำนี้ในทางที่ผิดเพื่อหมายถึงฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งทั้งหมด

k

$k$

k

$k$

A \subset {1, 2, \dots, n}

$A\subset\{1,2,\dots,n\}$

k

$k$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

A

$A$

f (x) = f (y)

$f(x)=f(y)$

— sdcvvc

หากคุณพยายามหาคำตอบสำหรับปัญหาระยะทางเฉลี่ยใน math.se แต่น่าเสียดายที่สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น

— Aryabhata

@Aryabhata ความตั้งใจแรกคือการหาการสนับสนุนสำหรับคำตอบของฉันคำถามนี้: math.stackexchange.com/questions/129969/...แต่สิ่งเดียวที่ผลนี้จะบอกก็คือว่าถ้ามีจุดในกราฟอัลกอริทึม การคำนวณระยะทางเฉลี่ยจะเป็นซึ่งค่อนข้าง obvius ฉันได้ลบคำตอบของฉันที่นั่นเพราะตามที่คุณเขียนฉันไม่ได้พิสูจน์อะไรเลย

n

$n$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— ВиталийОлегович

คุณจะต้องระบุรูปแบบของการคำนวณและคุณสมบัติของฉในข้อโต้แย้งต่อไปนี้ฉันจะระบุสมมติฐานที่ฉันต้องการ มันสามารถทำให้เป็นแนวทั่วไปได้อีกเล็กน้อย แต่ฉันคิดว่ามันควรจะเพียงพอที่จะให้ความคิดแก่คุณ $f$

สมมติว่าเครื่องไม่เคยอ่านค่าของหนึ่งในสมาชิกของ (ชุดคงที่และถูกกำหนดให้เป็นรายการ) สมมติว่าเป็นอินพุตที่การเปลี่ยนค่าของสมาชิกนั้นไม่เปลี่ยนคำตอบของสมมติว่าไวต่อทุกส่วนของอินพุตเช่นขึ้นกับสมาชิก (เช่นสามารถเปลี่ยนสมาชิกของอย่างอื่นเพื่อรับอินพุตใหม่ค่า st ของบนและแตกต่าง). $M$ $A$ $A$ $A$ $i$ $M$ $f$ $A$ $A$ $A'$ $f$ $A$ $A'$

เราสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ที่เป็นปฏิปักษ์เพื่อแสดงให้เห็นว่าเครื่องไม่สามารถคำนวณคำตอบที่ถูกต้องได้โดยการเปลี่ยนค่าของสมาชิกเพื่อรับมิฉะนั้นค่าของจะแตกต่างกัน ค่าของในสองชุดนี้เหมือนกันดังนั้นหนึ่งในนั้นต้องเป็นเท็จและดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณได้อย่างถูกต้อง $A$ $A'$ $f$ $M$ $M$ $f$

ดังนั้นเครื่องที่คำนวณจะต้องอ่านอินพุตทั้งหมดที่ใช้ขั้นตอน $M$ $f$ $\Omega(n)$

(ในอีกทางหนึ่งสมมติว่าเรามีเครื่องเข้าถึงแบบสุ่ม nondeterministic และเราต้องการคำนวณหรือบิตในอินพุตเราสามารถเดาได้นิดหน่อยและตรวจสอบว่าเป็น 1 ถ้าเป็น 1 เราจะส่งออก 1 เครื่องนี้อ่านอินพุตเพียงหนึ่งบิตในขั้นตอนและตอบปัญหาได้อย่างถูกต้องดังนั้นหากไม่มีสมมติฐานบนและผลลัพธ์จะไม่ถูกเก็บไว้) $O(\lg n)$ $M$ $f$

— Kaveh
แหล่งที่มา

ขออภัยฉันลืมที่จะเขียนว่ารูปแบบการคำนวณของฉันเป็นเครื่องทัวริงที่กำหนดไว้

— ВиталийОлегович

+1 สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นปฏิปักษ์ซึ่งเป็นวิธีที่ดีในการเริ่มทำความเข้าใจขอบเขตที่ต่ำกว่า

— โจ