ใน DFA ทุกรัฐมีการเปลี่ยนแปลงในสัญลักษณ์ทุกตัวอักษรหรือไม่?

ถ้าไม่เช่นนั้นจะมีความหมายว่าอย่างไรสำหรับบางรัฐและบางสัญลักษณ์ ,ไม่มีอยู่?a δ ( q , a $q$$a$$\delta(q, a)$

คุณดูเหมือนจะสะดุดกับปัญหาที่ถกเถียงกัน เห็นได้ชัดว่านักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ชอบที่จะโต้แย้ง ฉันอยากจะโต้แย้งอย่างแน่นอนดังนั้นที่นี่ไป!

คำตอบของฉันคือแจ่มแจ้ง: ไม่ออโต จำกัด แน่นอนไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนจากทุกสถานะสำหรับทุกสัญลักษณ์ ความหมายเมื่อ$\delta(q,a)$ไม่มีอยู่เพียงว่า DFA ไม่ยอมรับสตริงอินพุต

ในขณะที่คุณสามารถสร้างความหมายของ DFA ที่ต้องว่า$\delta(q,a)$ไม่อยู่ก็เป็นเพียงไม่กรณีที่มีการเปลี่ยนแปลงที่ขาดหายไปทำให้โครงสร้างที่เกิด (สิ่งที่คุณเรียกว่า) ในทางใดทางnondeterministicเป็นจำนวนมากของผู้แสดงความคิดเห็นที่มี ที่อ้างว่า หากคุณกำลังเรียนวิชาทฤษฎีออโตมาตาหัวข้อถัดไปจะเป็นภาษาที่ไม่มีบริบทและออโตมาดาวน์แบบกดลงซึ่งความแตกต่างระหว่างออโตนิต้าแบบกำหนดค่าได้กับคอนเซ็ปต์แบบกึ่งอัตโนมัติและคุณจำเป็นต้องใช้คำจำกัดความที่ถูกต้อง

ไม่ใช่ระดับที่เกี่ยวข้องกับการมีการเปลี่ยนแปลงทางกฎหมายมากกว่าหนึ่ง

ฉันคิดว่าเราทุกคนเห็นด้วยกับนิยามของ Wikipedia ดังต่อไปนี้ (ซึ่งฉันจะแสดงในไม่กี่วินาทีนั้นมีความคลุมเครือเล็กน้อย):

ยานยนต์ จำกัด แน่นอน$M$คือ 5 tuple, ( $Q$ , $\Sigma$ , $\delta$ , $q_0$ , $F$ ) ประกอบด้วย

1. ชุด จำกัด ของรัฐ ( $Q$ )
2. สัญลักษณ์อินพุตที่ จำกัด เรียกว่าตัวอักษร ( $\Sigma$ )
3. ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพ( $\delta : Q \times \Sigma \rightarrow Q$ )
4. สถานะเริ่มต้น ( $q_0 \in Q)$
5. ชุดของสถานะที่ยอมรับ ( $F \subseteq Q$ )

Let $w = a_1 a_2 \cdots a_n$เป็นสตริงมากกว่าอักษรΣ$\Sigma$automaton $M$ยอมรับสตริง$w$หากลำดับของสถานะ$r_0, r_1, \ldots, r_n$ , มีอยู่ใน$Q$ด้วยเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

1. $r_0 = q_0$
2. $r_{i+1} = \delta(r_i, a_{i+1})$สำหรับ$i = 0, \ldots, n−1$
3. $r_n \in F$ F

กำกวมและความขัดแย้งที่มีมากกว่า defintion ของฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงที่$\delta$ (หมายเลข "3" ในครั้งแรกที่รายการสัญลักษณ์.) เราทุกคนยอมรับว่าสิ่งที่แตกต่าง DFA จาก NFA คือ$\delta$เป็นฟังก์ชั่นมากกว่าความสัมพันธ์ แต่$\delta$ฟังก์ชั่นบางส่วนหรือฟังก์ชั่นรวม ?

คำจำกัดความของ DFA นั้นใช้งานได้ดีถ้า$\delta$เป็นฟังก์ชันบางส่วน รับสายป้อนถ้าคุณไปถึงสถานะ$q_i$ด้วยสัญลักษณ์อินพุต$a_j$ที่ไม่มีสถานะถัดไปออโตมาตาก็ไม่ยอมรับ

ยิ่งไปกว่านั้นเมื่อคุณขยายคำจำกัดความนี้เพื่อสร้างคำนิยามของออโตมาตาแบบกดลงจะเป็นกรณีที่คุณต้องสร้างความแตกต่างที่ออโตมาตาแบบกดลงด้วยฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพ

ถ้ารบกวนฟังก์ชั่นบางส่วนคุณแล้วนี่คือการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ทำให้$\delta$ฟังก์ชั่นทั้งหมด (การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่เหมือนกับอัลกอริทึมการก่อสร้างชุดย่อยซึ่งจะเพิ่มที่สถานะ O (1) ส่วนใหญ่เป็นเส้นตรงในจำนวนเดิมของรัฐและสามารถขยายการทำงานกับ PDAs ได้ไม่มีข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นจริงของอัลกอริทึมการสร้างชุดย่อย .)

1. เพิ่มรัฐ$q_{\mathrm{error}}$
2. สำหรับทุกคู่$(q_i, s_j)$ที่$\delta$จะไม่ได้กำหนดกำหนด$\delta(q_i, s_j) = q_{\mathrm{error}}$ R

ออโตมาตะนี้มี$\delta$ที่เป็นฟังก์ชั่นทั้งหมดและยอมรับและปฏิเสธชุดสถานะเดียวกันกับที่ออโตมาตาดั้งเดิมของคุณยอมรับและปฏิเสธ

แก้ไข, มกราคม 2019

Commenter @Alex Smart วิจารณ์ฉันอย่างถูกต้องเพราะไม่ให้การอ้างอิงหรืออธิบายว่าทำไมเราควรสนใจ ดังนั้นที่นี่ไป:

เหตุผลที่เราดูแลเกี่ยวกับความหมายที่แท้จริงของชะตา VS ไม่ใช่ชะตาเป็นที่เรียนของออโตไม่ใช่กำหนดบางส่วนมีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าญาติกำหนดของพวกเขาและการเรียนของออโตไม่ใช่กำหนดบางคนไม่ได้มีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่าญาติของพวกเขากำหนด สำหรับเครื่องจักรออโตมาตะและทัวริง จำกัด ตัวแปรที่กำหนดและไม่กำหนดจะมีกำลังเท่ากัน สำหรับการกดออโตเมต้ามีภาษาที่มีความแตกต่างที่สำคัญ: มี NPDA ที่ยอมรับภาษาและไม่มี DPDA ที่รับภาษา สำหรับออโตมาต้าที่ จำกัด ขอบเขตเชิงเส้นคำถามคือ (หรือเป็นครั้งสุดท้ายที่ฉันตรวจสอบ) เปิด การเพิ่มพลังงานของ NPDA เหนือ DPDA นั้นมาจากการอนุญาตหลาย การเปลี่ยนไม่ใช่จากการเปลี่ยนฟังก์ชั่นการเปลี่ยนจากฟังก์ชั่นรวมเป็นฟังก์ชั่นบางส่วน

หนังสือจากคอมไพเลอร์ชุมชน:

Aho และ Ullman หลักการออกแบบคอมไพเลอร์ , 1977: ก่อนกำหนด NFA (หน้า 88) ด้วยความสัมพันธ์การเปลี่ยนจากนั้น (หน้า 90-91):

เราบอกว่าหุ่นยนต์ จำกัด มีกำหนดถ้า 1. มีการเปลี่ยนที่ไม่มีในการป้อนข้อมูลε$\epsilon$2. สำหรับแต่ละรัฐ$s$และใส่สัญลักษณ์มีที่มากที่สุดขอบหนึ่งที่มีป้ายกำกับออกs$a$$a$$s$

Aho, Sethi, และ Ullman, Compilers, หลักการ, tecniques, และเครื่องมือ , 1988 การพิมพ์ซ้ำ, มันคล้ายกัน, มันเป็นตัวกำหนด NFA ครั้งแรกด้วยความสัมพันธ์ในการเปลี่ยนภาพ, (หน้า 115-116):

กำหนดขอบเขตออโต (DFA สำหรับสั้น) เป็นกรณีพิเศษของหุ่นยนต์ finitie ไม่ใช่กำหนดขึ้นในการที่ ... มีที่มากที่สุดขอบหนึ่งที่มีป้ายกำกับออกs$a$$s$

(โปรดทราบว่าในความคิดเห็น @Alex Smart กล่าวว่า "มังกรกล่าวถึงฟังก์ชั่นนั้นโดยเฉพาะ" ฉันคิดว่าเขากำลังพูดถึงรุ่นต่อมากับผู้ร่วมเขียน Lam ซึ่งฉันไม่สามารถเข้าถึงได้ในขณะนี้ )

Appel การใช้งานคอมไพเลอร์สมัยใหม่ใน Java , 1988 (หน้า 22):

ในการกำหนดขอบเขตหุ่นยนต์ (DFA) ไม่มีสองขอบออกจากรัฐเดียวกันที่ถูกกำกับด้วยสัญลักษณ์เดียวกัน

จากนั้น Appel จะอธิบายว่าเมื่อใช้ DFA เพื่อรับรู้การแข่งขันที่ยาวนานที่สุดเราใช้การเปลี่ยนที่หายไปเพื่อตัดสินใจว่าจะหยุดเมื่อใด (หน้า 23):

เมื่อถึงสถานะที่ตายแล้ว (ถึงสถานะที่ไม่ใช่ฟินน์ที่ไม่มีการเปลี่ยนเอาท์พุต) ตัวแปร [ซึ่งบันทึกการแข่งขันที่ยาวที่สุดที่เราเคยเห็นมา] บอกสิ่งที่โทเค็นตรงกันและที่สิ้นสุด

หนังสือจากชุมชนทฤษฎีการสลับ:

Kohavi, ทฤษฎีการเปลี่ยนและ จำกัด Automata, 2 / e , 1978, p. 611 พูดว่า:

เนื่องจากไดอะแกรมของรัฐอธิบายถึงเครื่องจักรที่กำหนดค่าได้ดังนั้นการเปลี่ยนสถานะถัดไปจะต้องถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยสถานะปัจจุบันและสัญลักษณ์อินพุตที่สแกนในปัจจุบัน

โดยทั่วไปแล้วฉันจะตีความโดยไม่ซ้ำกันเพื่อหมายถึง "หนึ่งเดียว" ไม่ใช่ "ไม่เกินหนึ่ง" (เช่น Kohavi ดูเหมือนว่าจะบอกว่ากำหนดต้องใช้ฟังก์ชั่นทั้งหมด)

หนังสือจากชุมชนทฤษฎีการคำนวณ:

ที่นี่ดูเหมือนว่าจะเป็นเรื่องธรรมดามากขึ้นในการกำหนด DFAs ก่อน NFAs และต้องการให้ DFAs มีฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด แต่จากนั้นกำหนด NPDA ก่อน DPDA และกำหนด "การกำหนด" ว่าเป็นข้อ จำกัด ของความสัมพันธ์ในการเปลี่ยนผ่านที่ไม่มีมากกว่า รายการเดียวสำหรับแต่ละคู่รัฐ / สัญลักษณ์

นี่เป็นความจริงของ Hopcroft และ Ullman, 1979, Lewis และ Papadimitriou, 1981 และโดยเฉพาะอย่างยิ่งของ Sipser, 2006 ผู้ใช้คำจำกัดความของ DFA pedagogically เพื่อแนะนำคำจำกัดความทางการที่แม่นยำและอธิบายความสำคัญของพวกเขาและพูดอย่างชัดเจน (p.36):

ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลง, $\delta$ , ระบุหนึ่งสถานะถัดไปสำหรับการรวมกันที่เป็นไปได้ของสถานะและสัญลักษณ์อินพุต

ดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามการพัฒนาทางประวัติศาสตร์ ออโต้ จำกัด แน่นอนกำหนดขึ้นในยุค 40 และ 50 ออกาไนต์แบบไม่ จำกัด ขอบเขตได้ถูกนำเสนอในบทความโดยราบินและสก็อตต์ "ออโตมาต้า จำกัด และปัญหาการตัดสินใจของพวกเขาIBM J. Rsrch และ Dvpt , 3 (2): 114-125, 1959 ผู้เขียนก่อนหน้านี้ ออโต จำกัด (ซึ่งพวกเขาเรียกสามัญออโต) ที่มีฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลง "ที่กำหนดไว้ในผลิตภัณฑ์ Cartesian $s\times\Sigma$ของคู่ทั้งหมดของรัฐและสัญลักษณ์." (ซึ่งผมจะแปลความหมายเป็นความหมายฟังก์ชั่นทั้งหมด)

Rabin และ Scott ที่น่าสนใจยังกำหนดออโต จำกัด อัน จำกัด ที่ไม่สามารถกำหนดได้ในแง่ของฟังก์ชั่นทั้งหมด! หน้า 120, คำจำกัดความ 9:

nondeterministic ( จำกัด ) หุ่นยนต์ ... เป็นระบบที่ที่ ... $M$เป็นฟังก์ชั่น [!] ของ$S\times\Sigma$ด้วยค่าในชุดย่อยทั้งหมดของS$S$

นั่นคือฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงเป็นผลรวมไม่ได้ทำให้ระบบกำหนดขึ้น!

Sipser 2006 ติดตามราบินและสก็อตต์และใช้ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนภาพรวมจากสถานะ / สัญลักษณ์ไปยังชุดพลังของรัฐสำหรับคำจำกัดความของออโตมาตา จำกัด แบบไม่ จำกัด ตัว, พีดีเอที่ไม่ได้กำหนดขึ้นและไม่ใช่ทัวริง พีดีเอ

ทั้ง Hopcroft และ Ullman, 1979 และ Lewis และ Papadimitriou, 1981 ใช้ฟังก์ชันบางส่วนในคำจำกัดความของ PDAs ที่กำหนดขึ้น พวกเขากำหนด NPDAs ด้วยความสัมพันธ์ในการเปลี่ยนภาพจากนั้นเมื่อพวกเขาไปถึงพีดีเอลูอิสและ Papadimitriou พูด (หน้า 135)

ออโตเมติกแบบกดลงจะถูกกำหนดอย่างแน่นอนและพูดง่ายถ้ามีการเปลี่ยนอย่างมากที่สุดครั้งเดียวที่ใช้กับแต่ละการกำหนดค่า

ในขณะที่ Hopcroft และ Ullman พูด (หน้า 112):

PDA ... นั้นถูกกำหนดไว้ในแง่ที่ว่าการเคลื่อนไหวหนึ่งครั้งนั้นสามารถทำได้จาก ID ใด ๆ

$\delta(q,a)$$q \in Q$$a\in \Sigma$$Q$$\Sigma$

$\varepsilon$

ในแง่ของความสามารถในการคำนวณ NFA นั้นเทียบเท่ากับ DFAs - มีอัลกอริทึมในการแปลงจาก NFA เป็น DFA และ DFA เป็นเพียงเล็กน้อย NFA ที่ไม่ได้ใช้ nondeterminism ดังนั้นพวกเขาทั้งสองจึงกำหนดชุดภาษาปกติ

มีคำจำกัดความของ DFA ตามแนวของ

$A$$|\delta(q,a)| \leq 1$$q$$a$$\delta(q,\varepsilon) \neq \emptyset$$\delta(q,a) = \emptyset$$a \in \Sigma$$A$

ในกรณีนี้คุณไม่จำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หากหุ่นยนต์ไม่มีการปรับเปลี่ยนให้เหมาะสมกับสัญลักษณ์อินพุตถัดไปมันจะปฏิเสธ

เป็นแบบฝึกหัดที่ดีที่แสดงว่าคำจำกัดความทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันในแง่ของภาษาที่สามารถยอมรับได้

ในคำจำกัดความของ DFA ทุกรัฐควรมีตัวอักษรทั้งหมดเป็นปอนด์ ตัวอย่างเช่นหาก£ = {a, b, c} และ Q = {q0, q1, q2} สถานะทั้งหมดนี้ควรมีสัญลักษณ์ a, b, c ทั้งหมดที่เปลี่ยนไปเป็นสถานะอื่นหรือรัฐเดียวกัน

คำตอบที่ง่ายที่สุดสำหรับเรื่องนี้คือคุณเพิ่มตายรัฐสำหรับสัญลักษณ์ด้านซ้าย เช่นเดียวกับการแปลงจาก NFA เป็น DFA เราจะได้รับสัญลักษณ์บางอย่างซึ่งบ่งบอกว่าเราสร้างสถานะตายสำหรับมัน