ทำไมการ relativization เป็นอุปสรรค?

เมื่อฉันอธิบายว่าเบเกอร์ - ปลา - โซโลวันพิสูจน์ว่ามีออราเคิลซึ่งเราสามารถมีได้และออราเคิลที่เราสามารถมีถึงเพื่อนคำถามหนึ่งเกิดขึ้นว่าทำไมเทคนิคดังกล่าวจึงไม่เหมาะสำหรับการพิสูจน์ปัญหาและฉันก็ไม่สามารถให้คำตอบที่น่าพอใจได้$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

หากต้องการให้พิสูจน์ได้อย่างชัดเจนยิ่งขึ้นถ้าฉันมีวิธีการพิสูจน์และถ้าฉันสามารถสร้าง oracle เพื่อทำให้สถานการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นทำไมมันทำให้วิธีการของฉันไม่ถูกต้อง?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

คำอธิบายใด ๆ / ความคิดในหัวข้อนี้?

เพื่อให้เป็นรูปธรรมมากขึ้นถ้าฉันมีวิธีการพิสูจน์ P ≠ NP และถ้าฉันสามารถสร้าง oracles เพื่อให้สถานการณ์ดังกล่าวข้างต้นเกิดขึ้นทำไมมันทำให้วิธีการของฉันไม่ถูกต้อง?

โปรดสังเกตว่าหลัง "ถ้า" ไม่ได้เป็นเงื่อนไขเพราะ Baker, Gill และ Solovay ได้สร้างคำพยากรณ์เช่นนี้แล้ว มันเป็นเพียงความจริงทางคณิตศาสตร์ที่ (1) มี oracle สัมพันธ์กับที่ P = NP และที่ (2) มี oracle ที่สัมพันธ์กับ P ≠ NP

ซึ่งหมายความว่าหากคุณมีวิธีการพิสูจน์ P ≠ NP และการพิสูจน์เดียวกันจะพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ดีกว่า "P ^A ≠ NP ^Aสำหรับ oracles Aทั้งหมด" อย่างเท่าเทียมกันวิธีการของคุณจะล้มเหลวเนื่องจากมันจะขัดแย้งกัน (1)

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างการพิสูจน์ P ≠ NP และการพิสูจน์เช่นทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาเพราะการพิสูจน์ของหลังใช้เพียงเส้นทแยงมุมและใช้ได้กับโลกที่สัมพันธ์กันอย่างเท่าเทียมกัน

แน่นอนนี่ไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีข้อพิสูจน์สำหรับ P ≠ NP หลักฐานดังกล่าว (ถ้ามี) จะต้องล้มเหลวในการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งดังกล่าวข้างต้น กล่าวอีกนัยหนึ่งส่วนหนึ่งของการพิสูจน์จะต้องแยกแยะโลกที่ไม่เกี่ยวข้องกับโลกที่เกี่ยวข้องกันโดยพลการ

มีคำตอบที่ดีอยู่แล้ว แต่ฉันต้องการเพิ่มจุดเล็ก ๆ น้อย ๆ

สมมติว่าเรามีเทคนิคในการแก้ปัญหาเช่นdiagonalization สมมติว่าเราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าเทคนิคที่ไม่สามารถแก้ปัญหาที่เฉพาะเจาะจงเช่นกับ{} จะแสดงสิ่งนี้ได้อย่างไร$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

ก่อนที่จะไปเพิ่มเติมโปรดทราบว่าเทคนิคเช่นการตัดทแยงมุมไม่ใช่แนวคิดที่เป็นทางการที่นี่ (แม้ว่าเราจะสามารถทำได้) ยิ่งกว่านั้นความจริงที่ว่าเทคนิคไม่สามารถแก้ปัญหาด้วยตนเองไม่ได้หมายความว่ามันไม่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเลยเราอาจจะสามารถแก้ไขและ / หรือรวมเข้ากับเทคนิคอื่นเพื่อแก้ปัญหา

ตอนนี้ลองกลับไปที่คำถาม วิธีหนึ่งในการแสดงให้เห็นว่าเทคนิคไม่สามารถแก้ปัญหาที่เฉพาะเจาะจงได้คือการแสดงให้เห็นว่าหากเป็นไปได้มันก็จะทำงานในกรอบที่แตกต่างกันสำหรับการแก้คำถามอื่นและคำตอบที่เราจะได้ในกรณีนั้นจะผิด นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่ หาก diagonalization สามารถแยกจากแล้วอาร์กิวเมนต์เดียวกันอาจจะใช้ในการแยกจากสำหรับทุก แต่เรารู้ว่ามีคำพยากรณ์ว่านี่เป็นเรื่องจริง (รับ - ปัญหาที่สมบูรณ์แบบว่าเป็นคำพยากรณ์) ดังนั้น diagonalization ไม่สามารถแยกจาก{P}$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

จุดสำคัญในการโต้แย้งนี้เป็นหลักการโอน :

เราสามารถถ่ายโอนอาร์กิวเมนต์แย้งสำหรับ TM โดยไม่มี oracle ไปยัง TM ด้วย oracles

สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้ที่นี่เพราะข้อโต้แย้งในแนวทแยงนั้นมาจากการจำลองของเครื่องจักรยิ่งกว่านั้นการจำลองไม่ได้ขึ้นอยู่กับ internals ของเครื่องจักร แต่มีเพียงคำตอบสุดท้ายจากการจำลองเหล่านี้ ชนิดของ diagonalization นี้จะเรียกว่าเป็นdiagonalization ง่าย ในการจำลองไม่สำคัญว่าเครื่องทำงานอย่างไรเราใส่ใจเฉพาะคำตอบสุดท้ายของเครื่อง การเพิ่ม oracle จะไม่เปลี่ยนแปลงสิ่งนี้ดังนั้นการจำลองและการโต้แย้งจะทำงานในกรอบที่เรามี oracle ด้วย

อย่างเป็นทางการมากขึ้นเราสามารถคิดว่าการโต้เถียงในแนวทแยงเป็นฟังก์ชันจากคลาสของเครื่องจักร (พูด ) กับอินสแตนซ์ที่แสดงว่าเครื่องไม่สามารถแก้ปัญหาได้ (พูด ) ฟังก์ชันตัวอย่างตัวอย่างนี้เป็นฟังก์ชันเส้นทแยงมุม การแยกทแยงมุมเป็นเรื่องง่ายถ้าตัวอย่างที่ให้นั้นไม่ขึ้นอยู่กับ internals ของเครื่องจักรนั่นคือถ้าเวลา 2 พหุนาม DTM มีภาษาเดียวกันจากนั้นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าพวกเขาไม่สามารถแก้ได้รับจากฟังก์ชัน diagonalization นั้นเหมือนกัน$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

คุณอาจสงสัยว่านี่เป็นข้อ จำกัด ที่ยิ่งใหญ่หรือไม่? ทำไมตัวอย่างตัวอย่างจึงต้องขึ้นอยู่กับโครงสร้างภายในของเครื่อง เราสามารถพิสูจน์การแยกด้วยการทำเส้นทแยงมุมที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการทำเส้นทแยงมุมอย่างง่ายหรือไม่? คำตอบคือใช่ ในความเป็นจริง Kozen แสดงในปี 1978 กระดาษของเขา "การจัดทำดัชนีของ subrecursive คลาส" (3 ปีหลังจากผล BGS) ว่าถ้าสามารถแยกออกจากแล้วมีการโต้แย้งแนวทแยงมุมทั่วไปสำหรับมัน และในทางปฏิบัติพบข้อโต้แย้งดังกล่าว ตัวอย่างเช่น Fortnow และ Van Melkebeek ของขอบเขตล่างสำหรับ SAT (2000) ใช้เทคนิคที่เรียกว่าการทำแนวเส้นทแยงมุมทางอ้อมที่ทำให้เกิดเส้นทแยงมุมที่ไม่ใช่แบบง่าย$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

ดังนั้นการอ้างว่า diagonalization ไม่สามารถแก้ไข vs.ไม่ถูกต้องได้หรือไม่? โดยทั่วไปแล้วสิ่งที่ผู้เชี่ยวชาญหมายถึงโดยการตัดทแยงมุมที่นี่คือการตัดขวางง่ายและมีเหตุผลที่ดีสำหรับสิ่งนั้น$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

ข้อโต้แย้งทั่วไปในแนวทแยงมุมนั้นโดยทั่วไปแล้วมันไม่ค่อยสมเหตุสมผลนักที่จะเรียกพวกเขาว่าเทคนิคคุณสามารถเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์การแยกใด ๆ ให้กลายเป็นการโต้แย้งในแนวทแยงมุมได้โดยไม่ต้องเข้าใจมากนัก: ถ้าเรามีวิธีแยกความซับซ้อนสองคลาสแล้ว สามารถเลือกฟังก์ชั่นในคลาสที่ใหญ่กว่าไม่ได้ในฟังก์ชั่นที่เล็กกว่า ทำการนับจำนวนเครื่องจักรในชั้นเรียนขนาดเล็ก ให้เป็นเครื่องจักรใด ๆ ในการแจงนับ เราต้องกำหนด counterexample สำหรับMแต่เรารู้อยู่แล้วว่าไม่สามารถแก้ปัญหาจึงมีอยู่เช่นการแสดงนี้กำหนดค่าของฟังก์ชั่น diagonalization บน$M$$M$$M$$M$เพื่อเป็นตัวอย่างนั้น นี่คือมุมมองภาพใหญ่หากคุณต้องการดูรายละเอียดตรวจสอบกระดาษของ Kozen

ฤดูร้อน:

• เมื่อผู้เชี่ยวชาญพูดว่า "diagonalization ไม่สามารถแก้กับ " สิ่งที่พวกเขาหมายถึงคือ " diagonalization ง่ายไม่สามารถแก้ vs. " ไม่ใช่คนทั่วไป$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• เหตุผลที่ทำให้ไม่สามารถแยก diagonalization ง่ายจากก็คือมันโอนไปยังกรอบด้วย oracles (ในวรรณคดีมันระบุว่า "diagonalization relativized") และการแยกไม่ได้อยู่ที่นั่น$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• เหตุผลที่การถ่ายโอนนี้จากกรอบน้อยกว่า oracle ไปยัง framework กับ oracle ทำงานก็คือ diagonalization ง่ายขึ้นอยู่กับการจำลองกล่องดำของ TMs และไม่สำคัญว่าเครื่องจักรทำงานอย่างไรไม่ว่าจะมี oracle หรือไม่

สองบทความที่ดีที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการทแยงมุมคือ

• เอกสารสำรวจของแลนซ์ฟอร์ตนาว "Diagonalization", 2001, และ
• รัสเซล Impagliazzo, วาเลนไทน์ Kabanets และอันโตนิโอ Kolokolova ของกระดาษ "เป็นวิธีการที่แท้จริงเพื่อ Algebrization", 2009. (โปรดทราบว่าพีชคณิตเป็นส่วนขยายของdiagonalization ง่าย ๆ )

ให้และเป็นสองคลาสที่ซับซ้อน การแยก ( ) หรือยุบ ( ) มีการกล่าวถึง relativize ถ้า oracleเรามีหรือตามลำดับ หลักฐานจาก Baker-Gill-Solovay บอกเราว่าหรือไม่สัมพันธ์กัน$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

เหตุใดจึงเป็นปัญหา เมื่อหลักฐานนี้ออกมาเทคนิคและกลเม็ดส่วนใหญ่ที่เรารู้ว่าจะแยกหรือยุบคลาสที่ซับซ้อน 'relativized' ในการที่พวกเขาทำงานด้วยความเคารพต่อพยากรณ์ใด ๆ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลา (เช่นเดียวกับพื้นที่และเวอร์ชันของ nondeterministic) ของ 'relativize': พวกเขาพิสูจน์การแยกสำหรับคลาสที่การแยกนี้สัมพันธ์กันและในความเป็นจริงพวกเขาพิสูจน์ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งขึ้น พยากรณ์ใด ๆ

หากเทคนิคหรือกลโกงทำงานโดยไม่คำนึงว่ามี oracle อยู่หรือไม่ก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าหรือโดยอาร์กิวเมนต์ข้างต้น ซึ่งหมายความว่ามีกลอุบายและเทคนิคจำนวนมากที่เรารู้ว่าไม่สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ (หรือปัญหาที่เปิดกว้างมาก) คุณยังสามารถใช้มันเป็นการตรวจสอบสติปัญญาสำหรับหลักฐานอ้างว่า: ตรวจสอบว่าความคิดที่ล้มเหลวในการปรากฏตัวของ - oracle ที่สมบูรณ์ - ถ้ามันยังใช้งานได้มันผิด$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$