มันจะตัดสินได้หรือไม่หากภาษาที่อธิบายด้วยจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นเป็นปกติ?

มันเป็นที่รู้จักกันว่าภาษาของคำที่มีจำนวนเท่ากับ 0 และ 1 ไม่เป็นปกติในขณะที่ภาษาของคำที่มีจำนวนเท่ากับ 001 และ 100 เป็นปกติ ( ดูที่นี่ )

ให้สองคำ$w_1,w_2$ , มัน decidable ถ้าภาษาของคำที่มีจำนวนเท่ากับและเป็นปกติหรือไม่?w 1 w $w_1$$w_2$

ให้สองคำw 1 , w 2 , มัน decidable หรือไม่ถ้าภาษาLของคำที่มีจำนวนเท่ากับw 1และw 2เท่ากับปกติ?$w_1$$w_2$$L$$w_1$$w_2$

คำจำกัดความแรก:
พวกเขาสามารถทำให้รัดกุมมากขึ้นและสัญกรณ์สามารถปรับปรุงได้หากพวกเขาจะใช้ในการพิสูจน์ นี่เป็นเพียงร่างแรก

ให้สองคำw 1และw 2เราพูดว่า: $w_1$$w_2$

• w 1เกิดขึ้นเสมอกับ w 2 , สังเกตว่า w 1 ◃ w 2 , iff $w_1$ $w_2$$w_1\triangleleft w_2$

  1. สำหรับสตริงsเช่นว่า s = x W 2ปีกับ| x | $s$$s=xw_2y$∣ y ∣ ≥ ∣ w 1 ∣ + ∣ w 2 ∣ และ | x | 0 , | x | 1 | , | y | 0 , | y | 1 | แต่ละรายการประกอบด้วยอย่างน้อย 0 และ 1 จำเป็นสำหรับกรณีทางพยาธิวิทยา (พบโดย @sdcvvc): w 1 = 1 $\mid x\mid,\, \mid y\mid\ \geq \mid w_1\mid +\mid w_2\mid$≥ 1มีการสลายตัวอื่น s = x ' W 1 ปี ' หมายเหตุ: เงื่อนไขที่ xและ$|x|_0,|x|_1|,|y|_0,|y|_1| \geq 1$$s=x'w_1y'$
     $x$$y$ 0 , w 2 = v 1 i + jและ y ∈ 1 ∗ , และตัวแปรหลากหลาย$w_1=1^i0$$w_2=v1^{i+j}$$y\in1^*$
  2. มีสตริงs = x W 2ปีกับ| x | $s=xw_2y$∣ y ∣ ≥ ∣ w 1 ∣ + ∣ w 2 ∣ ซึ่งมีการสลายตัวมากที่สุด s = x ′ w 1 y $\mid x\mid,\, \mid y\mid\ \geq \mid w_1\mid +\mid w_2\mid$$s=x'w_1y'$

• W 1เสมอ cooccursกับ W 2ตั้งข้อสังเกต W 1 ◃ $w_1$ $w_2$w 2 , iff แต่ละค่าจะเกิดขึ้นพร้อมกันเสมอ$w_1\triangleleft \triangleright\,w_2$

• W 1และ W 2เกิดขึ้นอย่างอิสระตั้งข้อสังเกต W 1 ▹ $w_1$$w_2$ w 2ถ้าไม่มีใครเกิดขึ้นกับอีกคนหนึ่งเสมอ$w_1\triangleright \triangleleft\,w_2$

• W 1เสมอเกิดขึ้นม.ครั้งหรือมากกว่ากว่า W 2ตั้งข้อสังเกต W 1 ◃ เมตรกว้าง2 , IFF สำหรับสตริง sเช่นว่า s = x W 2ปีกับ | x | , | Y | | ≥ | W 1 | + | W 2 |มี mสลายตัวอื่น ๆ s = x ฉันW 1 ปี$w_1$ $m$$w_2$$w_1\triangleleft_m w_2$$s$$s=xw_2y$$\mid x\mid,\ \mid y\mid|\ \geq \mid w_1\mid +\mid w_2\mid$$m$$s=x_iw_1y_i$สำหรับ ฉัน∈ [ 1 , ม. ]เช่นที่ฉัน≠ เจนัยx ฉัน ≠ xเจ$i\in[1,m]$$i\neq j$$x_i\neq x_j$

คำจำกัดความเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้เราสามารถละเว้นสิ่งที่เกิดขึ้นที่ปลายของสตริงโดยที่w 1และw 2ควรจะเกิดขึ้น ผลกระทบของขอบเขตในตอนท้ายของสตริงต้องถูกวิเคราะห์แยกกัน แต่มันแสดงถึงจำนวนกรณีที่ จำกัด (จริง ๆ แล้วฉันคิดว่าฉันลืมกรณีย่อยขอบเขตหนึ่งหรือสองกรณีในการวิเคราะห์ครั้งแรกด้านล่าง แต่มันไม่สำคัญ) คำจำกัดความเข้ากันได้กับการทับซ้อนของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น$w_1$$w_2$

มี 4 กรณีหลักที่ควรพิจารณา (ไม่สนใจความสัมพันธ์ระหว่างw 1และw 2 ):$w_1$$w_2$

1. W 1 ◃ ▹w 2 ทั้งสองคำจำเป็นต้องมาพร้อมกันยกเว้นอาจเป็นที่ส่วนท้ายของสตริง ความกังวลนี้เพียงคู่ของรูปแบบ 1 ฉัน 0และ 01 ฉันหรือ 0 ฉัน 1และ 10ฉัน นี่เป็นที่จดจำได้ง่ายโดยหุ่นยนต์ จำกัดที่จะตรวจสอบการเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวที่ปลายทั้งสองของสตริงที่จะรับรู้เพื่อให้แน่ใจว่ามีการเกิดขึ้นอย่างโดดเดี่ยวที่ปลายทั้งสองหรือที่ปลายทั้งสอง นอกจากนี้ยังมีกรณีเลวเมื่อ w 1 = w 2 : แล้วภาษา L เป็นปกติอย่างเห็นได้ชัด$w_1\triangleleft \triangleright\,w_2$
   $1^i0$$01^i$$0^i1$$10^i$$w_1=w_2$

2. $w_1\triangleleft w_2$แต่ไม่ใช่w 2 ◃ w 1 หนึ่งใน 2 คำไม่สามารถเกิดขึ้นได้หากไม่มีคำอื่น ๆ แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง (ยกเว้นที่ส่วนท้ายของสตริง) สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ:$w_2\triangleleft w_1$
   

   • w 1คือซับสตริงของ w $w_1$$w_2$ : แล้วแน่นอนหุ่นยนต์ก็สามารถตรวจสอบว่าW 1ไม่ได้เกิดขึ้นนอกตัวอย่างของW 2$w_1$$w_2$

   • w 1 = 1 i 0และ w 2 = v 1 jสำหรับคำบางคำ v ∈ { 0 , 1 } ∗ , v ≠ 01 i : จากนั้นจะมีการตรวจสอบออโตเมติก จำกัด ในกรณีก่อนหน้านี้ที่ w 1ไม่ได้แยกออกจากกัน$w_1=1^i0$$w_2=v1^j$$v\in\{0,1\}^*$$v\neq01^i$$w_1$ w 2 . อย่างไรก็ตามหุ่นยนต์อนุญาตให้นับอินสแตนซ์พิเศษของ w 1 หนึ่งที่จะอนุญาตให้ยอมรับถ้า w $w_2$$w_1$$w_2$เป็นคำต่อท้ายของสตริง มีอีกสามกรณีที่ symetrical (1-0 symmetry และ symmetry left-right)

3. W 1 ◃ 2 W 2 หนึ่งในคำ 2 เกิดขึ้นสองครั้งในอื่น ๆ ที่สามารถรับรู้ได้โดยระบบอัตโนมัติอัน จำกัด ซึ่งตรวจสอบว่าคำที่เล็กกว่านั้นไม่เคยเกิดขึ้นในสตริง นอกจากนี้ยังเป็นตัวแปรที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยซึ่งรวมทั้งสองรูปแบบของกรณีที่ 2 ในกรณีนี้ออโตมาตาตรวจสอบว่าสตริงที่เล็กกว่า 1 i$w_1\triangleleft_2 w_2$
   $1^i0$ไม่เคยเกิดขึ้นยกเว้นอาจจะเป็นส่วนหนึ่งของโวลต์ในหนึ่งใหญ่วี1 เจมาเป็นคำต่อท้าย ของสตริง (และอีก 3 กรณีโดย symetry)$v$$v1^j$

4. W 1 ▹ ◃w 2 คำ 2 คำสามารถเกิดขึ้นได้อย่างอิสระจากกัน เราสร้างทั่วไปลำดับเครื่อง (GSM) Gว่าการส่งออกเมื่อมันรับรู้การเกิดขึ้นของ W 1และ ขเมื่อตระหนักถึงเหตุการณ์ของ W 2และลืมทุกอย่างอื่น ภาษา Lเป็นปกติเฉพาะในกรณีที่ภาษา G ( L )เป็นปกติ แต่ G ( L ) = { w ∈ { a , b } ∗ ∣ ∣ w ∣ $w_1\triangleright \triangleleft\,w_2$
   $G$$a$$w_1$$b$$w_2$$L$$G(L)$ = ∣ w ∣ b }ซึ่งเป็นบริบทที่ชัดเจนและไม่ปกติ ดังนั้น Lไม่ปกติ อันที่จริงเรามี L = G - 1 ( G ( L ) ) เนื่องจากภาษาปกติและภาษาที่ไม่มีบริบทถูกปิดภายใต้การทำแผนที่ gsm และการทำแผนที่ gsm แบบผกผันเราจึงรู้ว่า Lไม่มีบริบท$G(L)=\{w\in\{a,b\}^*\mid\ \mid w\mid_a=\mid w\mid_b\}$$L$
   $L=G^{-1}(G(L))$$L$

วิธีหนึ่งในการจัดระเบียบหลักฐานที่เป็นทางการอาจเป็นดังต่อไปนี้ ขั้นแรกสร้าง PDA ที่จดจำภาษา ที่จริงแล้วสามารถทำได้ด้วยเครื่องจักร 1 ตัวนับ แต่มันง่ายกว่าที่จะมีสองสัญลักษณ์สแต็กเพื่อหลีกเลี่ยงการทำซ้ำการควบคุมแบบ จำกัด จากนั้นสำหรับกรณีที่ควรเป็น FA แสดงว่าตัวนับสามารถล้อมรอบด้วยค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับคำสองคำเท่านั้น สำหรับกรณีอื่น ๆ แสดงว่าตัวนับสามารถเข้าถึงค่าใดก็ได้ แน่นอนว่าควรมีการจัดระเบียบ PDA เพื่อให้การพิสูจน์นั้นง่ายต่อการพกพา

การแทน FA เป็น 2-stack-symbols PDA น่าจะเป็นการนำเสนอที่ง่ายที่สุด ในกรณีที่ไม่ปกติส่วนควบคุม จำกัด ของ PDA เหมือนกับของ GSM ในภาพร่างหลักฐานด้านบน แทนการแสดงผล'และB ' s เช่น GSM, พีดีเอนับความแตกต่างในจำนวนที่มีสแต็ค$a$$b$