สิ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณแบบอนาล็อกสากล?

ต้องมีการดำเนินการใดบ้างเพื่อทำการคำนวณแบบอะนาล็อกตามอำเภอใจ? การบวกการลบการคูณและการหารจะเพียงพอหรือไม่

นอกจากนี้ไม่มีใครรู้ว่าปัญหาอะไรที่เวิ้งว้างโดยใช้การคำนวณแบบอนาล็อก แต่ไม่ใช่แบบดิจิทัล?

น่าเสียดายที่ไม่มีแนวคิด "สากล" ของความเป็นสากลในการคำนวณแบบอนาล็อก อย่างไรก็ตามบทความนี้โดย Delvenneเสนอพิธีการที่เป็นเอกภาพสำหรับความเป็นสากลในความไม่ต่อเนื่อง (เช่นเครื่องทัวริง) และต่อเนื่อง (เช่นสมการเชิงอนุพันธ์) ระบบพลวัตและทบทวนระบบสากลบางอย่างที่ศึกษาในวรรณกรรม นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากกระดาษซึ่งอธิบายขั้นตอนการพิสูจน์ความเป็นสากลของระบบพลวัตอย่างไม่เป็นทางการ:

แต่ระบบพลวัตส่วนใหญ่ที่ศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์มีพื้นที่ของรัฐที่นับไม่ถ้วนเช่นเซลลูลาร์ออโตมาตา, สมการเชิงอนุพันธ์, แผนที่เชิงเส้นเป็นชิ้น ๆ เป็นต้นตัวอย่างของระบบเหล่านั้นได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นสากล ปัญหาการหยุดชะงักของพวกเขาถูกลอกเลียนแบบจากเครื่องทัวริงด้วยวิธีดังต่อไปนี้ เราเลือกครอบครัวที่นับได้โดยเฉพาะของรัฐเริ่มต้นและครอบครัวที่นับได้ของรัฐสุดท้ายหรือชุดสุดท้ายของรัฐ จากนั้นปัญหาการหยุดชะงักจะได้รับสถานะเริ่มต้นและรัฐสุดท้าย / ชุดของรัฐไม่ว่าจะเป็นเส้นทางที่เริ่มต้นจากรัฐเริ่มต้นจะมาถึงรัฐสุดท้าย / ชุดของรัฐ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นมีให้ในส่วนที่ 7

Jean-Charles Delvenne, เครื่องคำนวณสากลคืออะไร, คณิตศาสตร์และการคำนวณประยุกต์, เล่มที่ 215, ฉบับที่ 4, 15 ตุลาคม 2009, หน้า 1368-1374

ฉันไม่คิดว่าคำถามนี้สามารถตอบได้เว้นแต่ว่าเราจะมีคำจำกัดความของประเภทการคำนวณที่เรากำลังพูดถึง

ความเป็นสากลของแบบจำลองเครื่องหมายถึงคลาสของการคำนวณซึ่งหมายความว่าการคำนวณใด ๆ ในคลาสนั้นสามารถคำนวณได้โดยเครื่อง หากคุณไม่ได้กำหนดคลาสของ "การคำนวณแบบอนาลอกโดยพลการ" เราไม่สามารถตอบสิ่งที่เป็นสากลได้

$2^x$$\lfloor x \rfloor$$\sqrt x$

หากคำถามของคุณคือถ้ามีระบบทางกายภาพที่เริ่มต้นจากสถานะเริ่มต้นจะไปถึงสถานะอื่นในบางเวลาและหากคำนวณได้เสมอคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับประเภทของฟิสิกส์ที่เรากำลังพูดถึงและสิ่งที่หมายถึงการตั้งค่า การกำหนดค่าเริ่มต้นและการสังเกตผลลัพธ์ ฯลฯ

หากเรากำลังพูดถึงวิชาคณิตศาสตร์เกี่ยวกับฟิสิกส์คลาสสิก (เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นใด ๆ ให้เป็นอนันต์ที่แม่นยำและไม่มีการพิจารณาใด ๆ เกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ เช่นพลังงานที่จำเป็นในการตั้งค่าการกำหนดค่าและการสังเกตผลลัพธ์ที่คล้ายกัน เป็นเวลานานที่มีสมการเชิงอนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันที่คำนวณได้ซึ่งโซลูชันของพวกเขาไม่สามารถคำนวณได้ให้ดู Marian B. Pour-El และ J. Ian Richards "การคำนวณในการวิเคราะห์และฟิสิกส์ ", 1989

$n>4$

โดยทั่วไปถ้าเราสามารถตรวจสอบความเท่าเทียมกันของตัวเลขจริงสองตัวที่ให้ฟังก์ชันที่ไม่ได้พิมพ์ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับจำนวนจริงดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณได้โดยเครื่องทัวริงเนื่องจากฟังก์ชันใด ๆ (รวมถึงฟังก์ชันประเภทที่สูงกว่า) สามารถคำนวณได้อย่างต่อเนื่อง (wrt ทอพอโลยีของข้อมูล)

TL: DR: ถ้าโดย“ คอมพิวเตอร์อะนาล็อก” คุณหมายถึงเครื่องวิเคราะห์ความแตกต่างคำตอบคือโปรแกรมเสริมหน่วยคงที่และผู้รวมระบบ Bournez, Campagnolo, Graçaและ Hainry ได้แสดงให้เห็นในปี 2006 ( พิมพ์ซ้ำแบบpaywalled / ฟรี ) ซึ่งเป็นรูปแบบในอุดมคติของมันที่อนุญาตให้คำนวณฟังก์ชันทั้งหมดที่คำนวณได้ในกรอบการวิเคราะห์ที่คำนวณได้และรุ่นนี้เพียงต้องการทั้ง 3 ชนิดของหน่วย

ฟังก์ชั่นที่ยอดเยี่ยม

$\sin$$\exp$$\log$การเข้าสู่ระบบอย่างไรก็ตามดังที่อธิบายไว้ด้านล่างคอมพิวเตอร์อนาล็อกบางรุ่นอนุญาตให้คำนวณฟังก์ชันยอดเยี่ยมและโดยทั่วไปฟังก์ชันจริงทั้งหมดที่คำนวณโดยเครื่องทัวริง

แบบจำลองการคำนวณแบบอะนาล็อก

เน้นโดยคนอื่น ๆ แนวคิดของ“การคำนวณสากล” น้อยที่ชัดเจนสำหรับคอมพิวเตอร์แบบอะนาล็อกกว่าสำหรับคอมพิวเตอร์มาตรฐานที่ความคิดธรรมชาติที่แตกต่างกันของการคำนวณในรูปแบบการประมวลผลที่แตกต่างกันที่พบเทียบเท่าในปี 1930 (ดูหน้าวิกิพีเดียวิทยานิพนธ์โบสถ์ทัวริงสำหรับรายละเอียด ) .

เพื่อกำหนดความเป็นสากลเช่นนี้เราควรกำหนดแบบจำลองที่ดีสำหรับการคำนวณแบบอะนาล็อกและเป็นงานที่ยากเนื่องจากแบบจำลองควรเป็นอุดมคติและเป็นธรรมชาติมากพอที่จะเป็นประโยชน์ แต่แนวคิดในอุดมคติไม่ควรให้พลังที่ไม่สมจริงแก่ แบบ ตัวอย่างของอุดมคติที่ดีคือเทปที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเครื่องจักรทัวริง ปัญหาเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์อะนาล็อกมาพร้อมกับตัวเลขจริงซึ่งจะอนุญาตให้มีการสร้างสิ่งที่ไม่สมควรเช่นเครื่องนักปราชญ์ อย่างไรก็ตามหลายรูปแบบดังกล่าวได้รับการเสนอชื่อและนำมาใช้ในวรรณคดี (ใน GPAC เป็นเรื่องหลักของคำตอบนี้ แต่ฉันพยายามที่จะเสร็จสมบูรณ์ในรายการด้านล่างโดยไม่hypercomputer ):

• วัตถุประสงค์ทั่วไปอะนาล็อกคอมพิวเตอร์ (GPAC) กำหนดโดยClaude E.Shannonในปี 1941 ( รูปแบบไฟล์ PDF paywalled ) รูปแบบการวิเคราะห์ค่า คำจำกัดความของ GPAC เพิ่งได้รับการปรับปรุงและกำลังการคำนวณของมันได้รับการแก้ไขขึ้นไป;
• เครื่องจักรBlum-Shub-Smaleซึ่งทำหน้าที่ในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องกับจำนวนจริง มันเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับโมเดลReal RAM ที่มักใช้ในการคำนวณทางเรขาคณิต
• $\mathbb R$ฟังก์ชั่นแบบเรียกซ้ำ ;
• โครงข่ายประสาทเทียม ;
• การวิเคราะห์ความน่าเชื่อถือซึ่งดูตัวเลขจริงที่คำนวณได้โดยเครื่องทัวริง

พลังของรุ่น GPAC

ในบทความของเขาในปี 1941 Shanon แนะนำ GPAC ให้กับตัววิเคราะห์ความแตกต่างของแบบจำลองโมเดลนี้ต้องการหน่วยที่เชื่อมต่อกัน 3 แบบเท่านั้น (หน่วยคงที่, ตัวต่อและตัวรวมตัวคูณสามารถสร้างตัวคูณได้จากตัวรวมและตัวเสริม) สร้างเป็นชุดของฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ไม่คิดฟังก์ชั่น hypertranscendental มันหมายความว่า$\Gamma$ และ $\zeta$ซึ่งไม่สามารถสร้างการคำนวณแบบทัวริงได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีตัววิเคราะห์ความแตกต่างจะมีผลลัพธ์$y(t)=\Gamma(t)$ดูเหมือนว่าเป็นเวลานานแล้วที่คอมพิวเตอร์แบบอะนาล็อกไม่ได้“ เป็นสากล” เพราะมันไม่สามารถสร้างฟังก์ชั่นการคำนวณที่สมเหตุสมผลได้ซึ่งนักคณิตศาสตร์ใช้

อย่างไรก็ตามในปี 2004 Daniel Silva Graçaแสดงให้เห็นว่ารุ่นก่อนหน้าซึ่งอิงจากการคำนวณแบบทันทีนั้นมีข้อ จำกัด มากเกินไป ถ้าใครนิยามความสามารถในการคำนวณของฟังก์ชัน$f$ แตกต่างกันทำให้ $y(t)$ เพื่อมาบรรจบกัน $f(x)$สำหรับอินพุต $x$จากนั้น $\gamma$ และ $\zeta$ฟังก์ชั่นคำนวณโดย GPAC Bournez, Campagnolo, Graçaและ Hainry ได้แสดงให้เห็นในปี 2006 ( พิมพ์ซ้ำแบบpaywalled / free ) ซึ่งรูปแบบอุดมคติของมันช่วยให้สามารถคำนวณฟังก์ชันทั้งหมดที่คำนวณได้ในกรอบการวิเคราะห์ที่คำนวณได้

Bournez, Graçaและ Pouly แสดงให้เห็นว่าในปี 2556 คอมพิวเตอร์แบบอะนาล็อกเหล่านี้สามารถจำลองเครื่องทัวริง (หน้า181 ของ pdf ขนาดใหญ่ ) และในปี 2014 นั้นความซับซ้อนของ P และ NP นั้นเทียบเท่ากับรุ่นนี้

มันจะมีประโยชน์หรือไม่ที่จะเสนอว่าระบบอะนาล็อกสากลสามารถสร้างแบบจำลองได้โดยไม่มีที่สิ้นสุดของโครงข่ายประสาทเทียมเช่นค่าอินพุต / เอาท์พุตของระบบอะนาล็อกอื่น ๆ สามารถทำซ้ำเครือข่ายประสาทเทียมที่ตรงกันสำหรับการดำเนินงานที่กำหนด

ขณะที่ฉันกำหนดความคิดนี้ด้วยตัวเองการค้นหาที่ตามมาได้แสดงข้อเสนอที่คล้ายกัน:

สิ่งที่เกิดขึ้นเป็นวิทยานิพนธ์คล้ายโบสถ์ทัวริงซึ่งนำไปใช้กับการคำนวณแบบอะนาล็อกซึ่งมีรูปแบบโครงข่ายประสาทเทียมแทนเครื่องทัวริงดิจิตอล (ดูที่นี่ )

เนื้อหาทั้งหมดที่คุณต้องการคือการดำเนินการดั้งเดิมเพื่อย้ายค่าจากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่ง ปิดผ้าพันแขนที่อาจเป็นบวกลบและหารเพื่อรับอัตราส่วนระหว่างการเชื่อมต่อ

ตอนนี้ปัญหาที่ยากจะทำดูที่เครือข่ายประสาทถูกนำไปใช้ประสบความสำเร็จหรืออยู่ภายใต้การดำเนินการเนื่องจากมีการใช้งานบนคอมพิวเตอร์ที่ไม่ต่อเนื่อง

(และขออภัยหากมุมมองบุคคลที่เกือบจะวางของฉันในหัวข้อนี้ชัดเจนแจ่มแจ้ง)