ความซับซ้อนของการถ่าย mod

ดูเหมือนว่าคำถามที่ควรมีคำตอบง่าย ๆ แต่ฉันไม่มีคำถามที่ชัดเจน:

ถ้าฉันมีสองหมายเลขบิตสิ่งที่เป็นความซับซ้อนของการคำนวณ ?$n$$a, p$$a\bmod p$

การหาร$a$ด้วย$p$ จะใช้เวลา $O(M(n))$โดยที่$M(n)$คือความซับซ้อนของการคูณ แต่$\bmod$สามารถทำงานได้เร็วขึ้นเล็กน้อยหรือไม่

Shoup (มาตรา 3.3.5, 3.3 ทฤษฎีบทพี. 62) ให้ผูกพันสำหรับการคำนวณตกค้าง$r$ในเวลา$O(n\log q)$ที่$a = q\cdot p +r$และ$\log a = n$n

ผมคิดว่าถ้า$p$และมีทั้งประมาณnบิตตัวเลขแล้วQ (และด้วยเหตุนี้\ บันทึก Q ) ควรจะค่อนข้างเล็กให้O (n)$a$$n$$q$$\log q$$O(n)$

ถ้า$a$คือจำนวน$n$ bit และ$p$มีขนาดค่อนข้างเล็กวิธีการคูณควรเร็วขึ้น