เงื่อนไขสำหรับ NFA สำหรับ DFA ที่เทียบเท่าจะมีขนาดสูงสุดได้อย่างไร

เรารู้ว่า DFA นั้นเทียบเท่ากับ NFA ในอำนาจการแสดงออก นอกจากนี้ยังมีอัลกอริทึมที่รู้จักกันสำหรับการแปลง NFA เป็น DFA (โชคไม่ดีที่ตอนนี้ฉันรู้จักนักประดิษฐ์ของอัลกอริทึมนั้น) ซึ่งในกรณีที่เลวร้ายที่สุดทำให้เรามีสถานะหาก NFA ของเรามีสถานะ$2^S$$S$

คำถามของฉันคือ: สิ่งที่กำหนดสถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุด?

นี่คือการถอดความของอัลกอริทึมในกรณีที่มีความกำกวม:

ให้$A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$เป็น NFA เราสร้าง DFA $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$โดยที่

• $Q' = \mathcal{P}(Q)$ ,
• $F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$ ,
• $\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$และ
• $q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$ ,

ที่$\hat\delta$เป็นฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงการขยาย$A$

อัลกอริทึมที่คุณอ้างถึงเรียกว่าการก่อสร้าง Powerset และเผยแพร่ครั้งแรกโดย Michael Rabin และ Dana Scott ในปี 1959

ในการตอบคำถามของคุณตามที่ระบุในชื่อไม่มีDFA สูงสุดสำหรับภาษาปกติเนื่องจากคุณสามารถใช้ DFA และเพิ่มรัฐได้มากเท่าที่คุณต้องการด้วยการเปลี่ยนระหว่างพวกเขา แต่ไม่มีการเปลี่ยนระหว่างหนึ่งในรัฐดั้งเดิมและหนึ่งในใหม่ ดังนั้นรัฐใหม่จะไม่สามารถเข้าถึงได้จากสถานะเริ่มต้นดังนั้นภาษาที่ยอมรับโดยหุ่นยนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง (เนื่องจากจะยังคงเหมือนเดิมสำหรับ ) .δ ( Q 0 , W ) W ∈ Σ $q_0$$\hat\delta(q_0,w)$$w\in\Sigma^*$

ที่กล่าวว่ามันเป็นที่ชัดเจนว่าจะมีเงื่อนไขใด ๆ ใน NFA สำหรับมันเทียบเท่า DFA จะเป็นสูงสุดเนื่องจากไม่มีที่ไม่ซ้ำกันเทียบเท่า DFA ในทางตรงกันข้ามDFA ที่น้อยที่สุดนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะกับมอร์ฟิซึ่มส์

ตัวอย่างบัญญัติของภาษาที่ยอมรับโดย NFA ที่มีซึ่งมี DFA เทียบเท่าเท่ากับฯ คือ NFA สำหรับคือโดยมี ,และสำหรับ\} DFA ที่เป็นผลจากการใช้การสร้าง powerset กับ NFA นี้จะมีสถานะเนื่องจากคุณจำเป็นต้องแสดงคำที่มีความยาวทั้งหมด2 n L = { w ∈ { 0 , 1 } ∗ : | w | ≥ n  และ  nสัญลักษณ์ -th จากสุดท้ายคือ 1 } L = ⟨ Q , { 0 , 1 } , δ , Q 0 , { Q n + 1 } ⟩ δ ( Q 0 , 0 $n+1$$2^n$

กรณีที่เลวร้ายที่สุดของมาจากจำนวนชุดย่อยของรัฐของ NFA ในการมีอัลกอริทึมจากทฤษฎีบทของ Kleene ให้ DFA ที่เทียบเท่ากับจำนวนกรณีที่เลวร้ายที่สุดของรัฐจะต้องมีวิธีที่จะได้รับทุกเซตย่อยของรัฐที่เป็นไปได้ใน NFA ตัวอย่างที่มีสองสถานะเหนือตัวอักษรมีการเปลี่ยนจากสถานะเริ่มต้นไปเป็นสถานะการยอมรับ แต่เพียงผู้เดียวในสัญลักษณ์การเปลี่ยนจากสถานะการยอมรับกลับไปเป็นจุดเริ่มต้นบนและการเปลี่ยนจากสถานะการยอมรับ กลับไปที่ตัวเองในทั้งหรือขสตริง , ,และนำไปสู่ส่วนย่อย { a , b } a b a b λ a b a b { q 1 } { q 2 } { } { q 1 , q 2$2^{s}$$\{a, b\}$$a$$b$$a$$b$$\lambda$$a$$b$$ab$$\{q_{1}\}$ , ,และตามลำดับและสิ่งเหล่านี้จะต้องแยกรัฐใน DFA Kleene จะช่วยให้$\{q_{2}\}$$\{\}$$\{q_{1}, q_{2}\}$

ฉันเชื่อว่านี่เป็นคำถามที่ขอบเขตของความรู้คือโดยทั่วไปเป็นคำถามวิจัย จากการค้นหา google อย่างรวดเร็วดูเหมือนว่าส่วนใหญ่จะเปิดอยู่ นอกจากนี้เป็นเวลาหลายปีที่ฉันเชื่อว่ามันมีความสำคัญและเชื่อมโยงกับทฤษฎีความซับซ้อนที่ต่ำกว่าขอบเขต คุณไม่ได้กล่าวถึงการวิเคราะห์ทางสถิติโดยตรง แต่เป็นสิ่งที่บ่งบอกถึงคำถามของคุณ ต่อไปนี้เป็นสองตัวอย่างของการศึกษาเชิงสถิติเกี่ยวกับ DFAs / NFA ที่คล้ายกับแสดงวิธีการทั่วไปสำหรับคำถามประเภทนี้ ปรากฏว่าการวิจัยเชิงประจักษ์เบื้องต้นเกี่ยวกับคำถามเช่นนี้ยังไม่ได้สำรวจส่วนใหญ่ เป็นที่ยอมรับข้อที่ 2 ไม่เกี่ยวข้องกับคำถามของคุณโดยตรง แต่เป็นสิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดที่ฉันสามารถหางานวิจัยในปัจจุบันได้

ในการศึกษาคำถามของคุณการโจมตีเชิงสถิติเช่นสิ่งต่อไปนี้สามารถจินตนาการได้ มีการสร้าง NFA แบบสุ่ม จากนั้นจะกำหนด DFA ขั้นต่ำสุด สร้างกราฟผลลัพธ์ฮิสโตแกรมของจำนวน DFAs ที่มีขนาดผลลัพธ์ แยก DFA ที่ "ใหญ่" ออกตามเกณฑ์บางอย่าง กำหนดตัวชี้วัดหรือการวัดของ NFA ที่ให้การประมาณขนาด DFA ที่ได้$x$

ตัวชี้วัดนี้จะเกี่ยวข้องกับตัวชี้วัดทฤษฎีกราฟเช่นความหนาแน่นของขอบและอื่น ๆ อาจมีบางทฤษฎีกราฟกราฟที่สำคัญมากหรือการผสมผสานของตัวชี้วัดที่ประเมิน "ระเบิด" แต่ไม่ชัดเจนทันทีสำหรับฉัน ฉันสามารถแนะนำบางอย่างเช่นการวัดกราฟสีหรือการวัดกลุ่ม จากนั้นทดสอบตัวชี้วัดกับชุด "ระเบิด" กับ "ไม่ระเบิด"

คำตอบอื่น ๆ สำหรับคำถามของคุณเพียงแค่ให้ตัวอย่างกรณีของ "ระเบิด" (มีประโยชน์สำหรับกรณีศึกษา) แต่ไม่ได้แก้ไขปัญหาสำคัญของการวัดทั่วไป

อีกสิ่งหนึ่งที่ควรพิจารณาในการพัฒนาโปรแกรมการวิจัยเชิงประจักษ์ก็คือการวิจัยจุดเปลี่ยน SAT นั่นได้พัฒนาการเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับแนวคิดทางฟิสิกส์และอุณหพลศาสตร์ ดูเหมือนว่าสำหรับฉันแล้วแนวคิดที่คล้ายคลึงกันสามารถใช้ได้ที่นี่ ตัวอย่างเช่นมีแนวโน้มว่าจะพบเมทริกประเภทจุดเปลี่ยนที่คล้ายคลึงกัน อาจมีความหนาแน่นของขอบ ฯลฯ หมายเหตุสอดคล้องกับทฤษฎีการบีบอัดของ Kolmogorov

ฉันยังคาดการณ์ว่า NFA ที่ "ระเบิด" กับสิ่งที่ไม่คล้ายคลึงกันอย่างใดกับอินสแตนซ์ "ยาก" vs "ง่าย" ของปัญหา NP-complete

อีกวิธีหนึ่งในการศึกษาปัญหานี้ก็คือการกำหนดปัญหาการลดขนาด NFA นั่นคือให้ DFA หา NFA ขั้นต่ำสุดที่ฉันได้ยิน (เมื่อหลายปีก่อน) ยังคงเป็นปัญหาที่เปิดอยู่

[1] เกี่ยวกับประสิทธิภาพของอัลกอริธึมการลดขนาดออโตมาต้า Marco Almeida, Nelma Moreira, Rogério Reis

[2] ออโตมาตะจำคำไม่ได้: วิธีการทางสถิติ Cristian S. Calude, Cezar Câmpeanu, Monica Dumitrescu