การนับจำนวนผลรวมจากอาร์เรย์ย่อยที่ต่อเนื่องกันของอาร์เรย์

เราได้รับอาร์เรย์กับทั้งหมด$a[1 \ldots n]$$a[i]>0$

ตอนนี้เราต้องการค้นหาจำนวนผลรวมที่แตกต่างจาก subarrays ของมัน (ที่ subarray เป็นช่วงต่อเนื่องของอาร์เรย์คือสำหรับ , ผลรวมคือผลรวมของทั้งหมด องค์ประกอบของ subarray) ตัวอย่างเช่นถ้าแล้วคำตอบคือ 4: เราสามารถสร้าง1,2,3,4$a[j\ldots k]$$j,k$$a=[1,2,1]$$1,2,3,4$

ฉันรู้วิธีการนับจำนวนของจำนวนเงินที่แตกต่างกันในเวลา$O(n^2)$

ยิ่งกว่านั้นฉันได้ตระหนักว่านี่คล้ายกับปัญหาคลาสสิคที่เราต้องการค้นหาจำนวนสตริงย่อยที่แตกต่างกันของสตริง ฉันกำลังคิดถึงความเป็นไปได้ในการสร้างอาเรย์ต่อท้ายและแก้ไขในลักษณะที่คล้ายกัน (ในเวลา ) แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีแก้ไขได้ที่นี่ ตัวอย่างเช่นถ้าเราใช้ส่วนต่อท้ายสำหรับเราจะได้รับ 5 กรณีแทนที่จะเป็นสี่ที่ยอมรับได้ เป็นไปได้ที่จะทำเช่นนี้โดยใช้อาร์เรย์ต่อท้ายหรือฉันคิดผิดทิศทาง?$O(n)$$a=[1,2,1]$

นอกจากนี้ยังมีอีกหนึ่งทิศทางที่ฉันคิดอยู่แบ่งและพิชิต เช่นถ้าฉันแบ่งอาร์เรย์ออกเป็นสองส่วนทุกครั้งจนกว่าจะลดลงเป็นองค์ประกอบเดียว องค์ประกอบเดียวสามารถมีหนึ่งผลรวม ทีนี้ถ้าเรารวมสององค์ประกอบเดียวเข้าด้วยกันมันสามารถทำได้สองวิธี: ถ้าทั้งสองช่วงมีองค์ประกอบเดียวกันเราจะได้รับผลรวม 2 อันที่แตกต่างกันหรือถ้าทั้งสองมีองค์ประกอบต่างกัน แต่ฉันไม่สามารถที่จะพูดถึงเรื่องนี้สำหรับการรวมอาร์เรย์ที่มีความยาวมากกว่า 1 มันเป็นไปได้ไหมที่จะรวมอาร์เรย์ขนาดสองม. เข้ากับคำตอบใน ?$O(m)$

คุณเกือบจะแน่นอนไม่สามารถรับได้ดีกว่าในกรณีที่เลวร้ายเนื่องจากจำนวนของผลรวมที่แตกต่างกันสามารถอยู่ใน2)$O(n^2)$$\Theta(n^2)$

พิจารณาเช่นอาร์เรย์n] ที่นี่ subarrays ที่ต่อเนื่องกันมีผลรวมแตกต่างกัน$[1,2,4,8,\dotsc, 2^n]$$\frac{n(n+1)}2$

"เกือบแน่นอน" เกิดจากความจริงที่ว่าปัญหาไม่ต้องการค่าของผลรวมเป็นผลผลิต อย่างไรก็ตามฉันไม่คิดว่าสามารถหลีกเลี่ยงการซ้ำซ้อนได้โดยไม่ต้องกำหนดค่าอย่างน้อยที่สุด