จะพิสูจน์ภาษาได้อย่างไร?

มีหลายวิธีในการพิสูจน์ว่าภาษาไม่ปกติแต่ฉันต้องทำอย่างไรเพื่อพิสูจน์ว่าภาษาบางอย่างเป็นปกติ

ตัวอย่างเช่นหากฉันได้รับเป็นปกติฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าต่อไปนี้เป็นปกติเช่นกันL $L$$L'$

$\qquad \displaystyle L' := \{w \in L: uv = w \text{ for } u \in \Sigma^* \setminus L \text{ and } v \in \Sigma^+ \}$

ฉันสามารถวาดออโตเมติก จำกัด แบบไม่มีการกำหนดเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ได้หรือไม่?

ใช่หากคุณสามารถทำสิ่งใดสิ่งหนึ่งต่อไปนี้:

• หุ่นยนต์ จำกัด แน่นอน (DFA),
• หุ่นยนต์ จำกัด (NFA)
• การแสดงออกปกติ (regexp ของภาษาที่เป็นทางการ) หรือ
• ไวยากรณ์ปกติ

สำหรับภาษาแล้วเป็นปกติ มีโมเดลที่เทียบเท่ากันมากกว่าแต่มีรูปแบบทั่วไป$L$$L$

นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติที่มีประโยชน์นอกโลก "การคำนวณ" ก็ปกติเช่นกัน$L$

• มัน จำกัด

• คุณสามารถสร้างได้โดยการดำเนินการบางอย่างในภาษาปกติและการดำเนินการเหล่านั้นจะปิดสำหรับภาษาปกติเช่น

  • สี่แยก
  • เสริม
  • homomorphism,
  • กลับรายการ
  • ซ้ายหรือขวาฉลาด
  • การถ่ายทอดปกติ

  และอีกมากมายหรือ

• ใช้ทฤษฎีบท Myhill – Nerodeถ้าจำนวนคลาสที่เทียบเท่าสำหรับมี จำกัด$L$

ในตัวอย่างที่ให้มาเรามีค่า (ค่าปกติ) บางค่าเป็นพื้นฐานและต้องการพูดบางอย่างเกี่ยวกับภาษาได้มาจากภาษานั้น ทำตามแนวทางแรก - สร้างแบบจำลองที่เหมาะสมสำหรับ - เราสามารถสรุปได้ว่าแบบใดที่เทียบเท่ากับเราต้องการ มันจะยังคงเป็นนามธรรมแน่นอนเนื่องจากไม่เป็นที่รู้จัก ในแนวทางที่สองเราสามารถใช้โดยตรงและใช้คุณสมบัติปิดไปในการสั่งซื้อที่จะมาถึงคำอธิบายสำหรับL'L ′ L ′ L L L L $L$$L'$$L'$$L$$L$$L$$L'$

วิธีการเบื้องต้น

1. ออโต จำกัด (อาจเป็น nondeterministic โดยมีการเปลี่ยนว่าง)
2. นิพจน์ทั่วไป
3. สมการเชิงเส้นขวา (หรือซ้าย แต่ไม่ใช่ทั้งคู่) เช่นโดยที่และเป็นปกติK $X = KX + L$$K$$L$
4. ไวยากรณ์ปกติ (ประเภท 3)
5. การดำเนินการอนุรักษ์ภาษาปกติ (การใช้งานบูลีน, ผลิตภัณฑ์, ดาว, การสุ่ม, morphisms, ผกผันของ morphisms, การกลับรายการ ฯลฯ )
6. ได้รับการยอมรับโดย monoid จำกัด

วิธีการทางตรรกะ (มักใช้ในการตรวจสอบอย่างเป็นทางการ)

1. ตรรกะลำดับที่สองแบบ Monadic (ทฤษฎีบทของBüchi)
2. ตรรกะเชิงเส้นตรง (ทฤษฎีบทของ Kamp)
3. ทฤษฎีบทต้นไม้ของราบิน (Monadic ตรรกะลำดับที่สองกับผู้สืบทอดสองคน) ทรงพลังมาก.

วิธีการขั้นสูง

1. บทแทรกที่ซับซ้อน ดูตัวอย่าง
   [1] J. Jaffe, บทแทรกที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับภาษาปกติ, Sigact News - SIGACT 10 (1978) 48-49
   [2] A. Ehrenfeucht, R. Parikh, และ G. Rozenberg, บทแทรกสำหรับชุดปกติ, SIAM J. Comput 10 (1981), 536-541
   [3] S. Varricchio, สภาพปั๊มสำหรับชุดปกติ, SIAM J. Comput 26 (1997) 764-771

2. คำสั่งซื้อเสมือน ดู
   [4] W. Bucher, A. Ehrenfeucht, D. Haussler, ตามข้อบังคับทั้งหมดที่เกิดจากความสัมพันธ์ที่ได้รับมาTheor คอมพิวเต วิทย์ 40 (1985) 131–148
   [5] M. Kunz, คำตอบปกติของความไม่เท่าเทียมกันทางภาษาและคำสั่งเสมือนจริง

3. การสนับสนุน -rational series$\mathbb{N}$

4. วิธีการทางพีชคณิตตามTransductions (ดูปฏิบัติการการรักษาภาษาปกติ )

คำตอบของ Ran G. ให้รายการแบบจำลองที่เทียบเท่าอย่างกว้างขวางซึ่งสามารถใช้เพื่อระบุภาษาปกติ (และรายการจะดำเนินต่อไป, ออโตมาตาสองทาง, ตรรกะ MSO แต่ครอบคลุมโดยลิงก์ภายใต้ 'โมเดลที่เทียบเท่ากันมากขึ้น) ') และเมื่อราฟาเอลเน้นเราจำเป็นต้องมีข้อโต้แย้งเพื่อโน้มน้าวให้ผู้ชมเห็นว่าการเป็นตัวแทนที่เลือกนั้นถูกต้องแน่นอน

พิจารณาคำถามอีกครั้งโดยเพิ่ม "ตัวอย่างเช่น " นั่นหมายความว่าเราจะต้องให้ถูกต้องก่อสร้างที่ได้รับการใด ๆ ของรุ่นดังกล่าวข้างต้นเราสมมติระบุภาษา , ผลัดกันว่ารูปแบบเป็นหนึ่งสำหรับL'ซึ่งมักจะเป็นชนิดเดียวกันของรูปแบบ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น: เราสามารถเช่นเริ่มต้นด้วย FSA กำหนดสำหรับและจบลงด้วยการเป็นหนึ่งที่ nondeterminitic สำหรับL'L L ′ L L $\dots$$L$$L'$$L$$L'$

ซึ่งรวมถึงความเป็นไปได้ที่จะใช้การดำเนินการปิด: ในการดำเนินงานให้ชัดเจนในตัวอย่างที่เรามี *$L'= (\Sigma^* \setminus L) \cdot \Sigma^*$

ดังนั้นประเด็นของฉันคือคำตอบนั้นยอดเยี่ยม แต่เราควรเพิ่ม "จากเป็นก่อสร้างเมื่อไม่สร้างภาษาเฉพาะตั้งแต่เริ่มต้นL $L$$L'$

ในบางครั้งคุณจะพบภาษาที่ระบุว่า "สตริงทั้งหมดที่สตริงย่อย -element ทั้งหมดของตาม" โดยที่คือค่าคงที่คงที่ ในกรณีนั้นภาษาจะเป็นปกติ แนวคิดในที่นี้คือการกำหนดออโตเมติกอัน จำกัด บางแห่งซึ่งรัฐ "จดจำ" สัญลักษณ์อินพุตเพิ่งเห็นล่าสุดเช่นเดียวกับคำตอบของคำถามนี้k s k $s$$k$$s$<some property>$k$$k$

อีกวิธีหนึ่งที่ไม่ได้รับการคุ้มครองโดยคำตอบข้างต้นคือการเปลี่ยนแปลงแน่นอนหุ่นยนต์ ตัวอย่างง่ายๆให้เราแสดงว่าภาษาปกติปิดภายใต้การดำเนินการสลับแบบกำหนดไว้ดังนี้: คุณสามารถแสดงการปิดภายใต้การสับเปลี่ยนโดยใช้คุณสมบัติการปิด แต่คุณยังสามารถแสดงมันได้โดยตรงโดยใช้ DFAs สมมติว่าเป็น DFA ที่ยอมรับ (สำหรับ ) เราสร้าง DFAดังนี้:

$$L_1 \mathop{S} L_2 = \{ x_1y_1 \ldots x_n y_n \in \Sigma^* : x_1 \ldots x_n \in L_1, y_1 \ldots y_n \in L_2 \}$$ $A_i = \langle \Sigma, Q_i, F_i, \delta_i, q_{0i} \rangle$$L_i$$i=1,2$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

• ชุดสถานะคือซึ่งองค์ประกอบที่สามจำได้ว่าสัญลักษณ์ต่อไปคือ (เมื่อ 1) หรือ (เมื่อ 2)$Q_1 \times Q_2 \times \{1,2\}$$x_i$$y_i$
• สถานะเริ่มต้นคือ\$q_0 = \langle q_{01}, q_{02}, 1 \rangle$
• รัฐยอมรับเป็น\}$F = F_1 \times F_2 \times \{1\}$
• ฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงถูกกำหนดโดยและ\$\delta(\langle q_1, q_2, 1 \rangle, \sigma) = \langle \delta_1(q_1,\sigma), q_2, 2 \rangle$$\delta(\langle q_1, q_2, 2 \rangle, \sigma) = \langle q_1, \delta_2(q_2,\sigma), 1 \rangle$

---

รุ่นที่มีความซับซ้อนมากขึ้นของวิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการคาดเดา ตัวอย่างเช่นให้เราแสดงว่าภาษาปกติปิดใต้การกลับรายการนั่นคือ (ที่นี่ .) นี่เป็นหนึ่งในการดำเนินการปิดมาตรฐานและการปิดภายใต้การพลิกกลับอย่างง่ายดายดังต่อไปนี้จากการควบคุมการแสดงออกปกติ (ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นคู่ของการเปลี่ยนแปลงหุ่นยนต์ จำกัด นิพจน์ทั่วไป) - เพียงแค่ย้อนกลับนิพจน์ปกติ แต่คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าการปิดบัญชีโดยใช้ NFA สมมติว่าเป็นที่ยอมรับโดย DFA\ เราสร้าง NFA

$$L^R = \{ w^R : w \in \Sigma^* \}.$$ $(w_1\ldots w_n)^R = w_n \ldots w_1$$L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$ , ที่ไหน

• ชุดของรัฐเป็น\}$Q' = Q \cup \{q'_0\}$
• สถานะเริ่มต้นคือq'_0$q'_0$
• รัฐยอมรับไม่ซ้ำกันคือq_0$q_0$
• ฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงถูกกำหนดไว้ดังนี้:และสำหรับสถานะใด ๆและ ,\}$\delta'(q'_0,\epsilon) = F$$q \in Q$$\sigma \in \Sigma$$\delta(q', \sigma) = \{ q : \delta(q,\sigma) = q' \}$

(เราสามารถกำจัดหากเราอนุญาตให้เริ่มต้นหลายสถานะ) องค์ประกอบการเดาที่นี่คือสถานะสุดท้ายของคำหลังจากกลับรายการ$q'_0$

---

การคาดเดามักเกี่ยวข้องกับการยืนยันเช่นกัน ตัวอย่างง่ายๆอย่างหนึ่งคือการปิดภายใต้การหมุน : สมมติว่าเป็นที่ยอมรับโดย DFA\ เราสร้าง NFAซึ่งทำงานดังนี้ NFA คาดเดาแรกx) จากนั้นตรวจสอบว่าและ , ย้ายจากไปยังไม่ใช่ non-deterministically นี่สามารถทำเป็นกรงเล็บดังนี้:

$$R(L) = \{ yx \in \Sigma^* : xy \in L \}.$$ $L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$q=\delta(q_0,x)$$\delta(q,y) \in F$$\delta(q_0,x) = q$$y$$x$

• รัฐมี\} นอกเหนือจากสถานะเริ่มต้นรัฐที่มีที่เป็นรัฐที่เราเดาเป็นรัฐในปัจจุบันและระบุว่าเราอยู่ที่ส่วนหนึ่งของการป้อนข้อมูล (เมื่อ 1) หรือที่เป็นส่วนหนึ่งของการป้อนข้อมูล (เมื่อ 2)$Q' = \{q'_0\} \cup Q \times Q \times \{1,2\}$$q'_0$$\langle q,q_{curr}, s \rangle$$q$$q_{curr}$$s$$y$$x$
• สุดท้ายรัฐเป็น : เรายอมรับเมื่อ Q$F' = \{\langle q,q,2 \rangle : q \in Q\}$$\delta(q_0,x)=q$
• การเปลี่ยนดำเนินการคาดเดาQ$\delta'(q'_0,\epsilon) = \{\langle q,q,1 \rangle : q \in Q\}$$q$
• การเปลี่ยน (สำหรับทุกและ ) จำลอง DFA ดั้งเดิม$\delta'(\langle q,q_{curr},s \rangle, \sigma) = \langle q,\delta(q_{curr},\sigma),s \rangle$$q,q_{curr} \in Q$$s \in \{1,2\}$
• การเปลี่ยน , สำหรับทุกและ , ทำการย้ายจากส่วนไปยังส่วนที่สิ่งนี้จะได้รับอนุญาตเฉพาะเมื่อเราถึงสถานะสุดท้ายในส่วน$\delta'(\langle q,q_f,1 \rangle, \epsilon) = \langle q,q_0,2 \rangle$$q \in Q$$q_f \in F$$y$$x$$y$

---

อีกตัวแปรหนึ่งของเทคนิครวมเคาน์เตอร์ที่มีขอบเขต เป็นตัวอย่างให้เราพิจารณาเปลี่ยนการปิดการแก้ไขระยะทาง : ให้ DFAสำหรับ , e สร้าง NFAสำหรับดังต่อไปนี้:

$$E_k(L) = \{ x \in \Sigma^* : \text{ there exists $y \in L$ whose edit distance from $x$ is at most $k$} \}.$$ $\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$L$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$E_k(L)$

• ชุดสถานะคือซึ่งรายการที่สองนับจำนวนการเปลี่ยนแปลงที่ทำได้$Q' = Q \times \{0,\ldots,k\}$
• สถานะเริ่มต้นคือ\$q'_0 = \langle q_0,0 \rangle$
• รัฐยอมรับเป็น\}$F' = F \times \{0,\ldots,k\}$
• ทุกเรามีการเปลี่ยนซิก)$q,\sigma,i$$\langle \delta(q,\sigma), i \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$
• แทรกจะถูกจัดการโดยการเปลี่ยนสำหรับทุกเช่นที่<k$\langle q,i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$$q,\sigma,i$$i < k$
• การลบถูกจัดการโดยการเปลี่ยนสำหรับทั้งหมดอย่างที่ .$\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \epsilon)$$q,\sigma,i$$i < k$
• การทดแทนคือการจับโดยการเปลี่ยนสำหรับเช่นที่<k$\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \tau)$$q,\sigma,\tau,i$$i < k$

ภาษาเป็นปกติ IFF คุณสามารถเขียนสแกนเนอร์ที่ตัดสินใจในสายโดยพลการไม่ว่าจะเป็นหรือไม่พวกเขาเป็นภาษาที่ใช้ไม่มากไปกว่าการแก้ไขจำนวนหน่วยความจำ - คือการรับรู้สามารถทำได้ในO (1)พื้นที่

การแปลงการแสดงออกปกติเป็นวิธีหนึ่งที่จะพิสูจน์การปิดภายใต้การดำเนินการบางอย่าง สองตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่มีการปิดภายใต้การกลับรายการและการปิดภายใต้homomorphism

ด้วยนิพจน์ทั่วไปเป็นตัวแทนของภาษาเราสามารถสร้างนิพจน์ทั่วไปสำหรับซึ่งเป็นภาษาที่ตรงกันข้ามของคำทั้งหมดในซึ่งเรียกซ้ำ:$r$$L$$L^R$$L$

• $\epsilon^R = \epsilon$ , ,\$\sigma^R = \sigma$$\emptyset^R = \emptyset$
• $(r_1+r_2)^R = (r_1^R + r_2^R)$ , , R$(r^*)^R = (r^R)^*$$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$

ทุกการกระทำที่เกิดขึ้นในกฎสุดท้าย R ตัวอย่างเช่นคุณสามารถตรวจสอบว่า *โครงสร้างอุปนัยกำหนดว่าภาษาของเป็นแน่นอน ( 0 ∗ 1 ∗ ) R = 1 ∗ 0 ∗ r R L $(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$$(0^*1^*)^R = 1^*0^*$$r^R$$L^R$

อีกตัวอย่างง่ายๆคือการปิดภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึม ให้โฮโมมอร์ฟิซึมและนิพจน์ทั่วไปสำหรับภาษาเราสามารถรับนิพจน์ปกติสำหรับโดยแทนที่ทุกตัวอย่างของในโดย . r L h ( L ) σ r h ( σ $h\colon \Sigma \to \Delta^*$$r$$L$$h(L)$$\sigma$$r$$h(\sigma)$

อีกวิธีหนึ่งคือการสร้างภาษาโดยใช้การดำเนินการที่คุณรู้ว่าพวกเขาจะปิด นี่คือส่วนขยายเพื่อแสดงการแสดงออกปกติในขณะที่คุณมีการดำเนินการอื่น ๆ อีกมากมาย (ย้อนกลับสตริง, ประกอบ, แยก, ตัดออกชิ้นเพียงเก็บส่วน homomorphisms และผกผัน homomorphisms ... )