ความแตกต่างระหว่างอัลกอริทึมภาษาและปัญหาคืออะไร?

ดูเหมือนว่าในเว็บไซต์นี้ผู้คนมักจะแก้ไขข้อผิดพลาดอื่น ๆ สำหรับ "อัลกอริทึม" และ "ปัญหา" ความแตกต่างระหว่างสิ่งเหล่านี้คืออะไร? ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าฉันควรพิจารณาอัลกอริทึมและการพิจารณาปัญหาอย่างไร และสิ่งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดของภาษาในทฤษฎีภาษาที่เป็นทางการได้อย่างไร

เพื่อความง่ายฉันจะเริ่มด้วยการพิจารณาปัญหา "การตัดสินใจ" เท่านั้นซึ่งมีคำตอบใช่ / ไม่ใช่ ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชั่นทำงานในลักษณะเดียวกันยกเว้นแทนที่จะเป็นใช่ / ไม่ใช่จะมีคำเอาท์พุทเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับคำที่ป้อนแต่ละคำ

ภาษา : ภาษาเป็นเพียงชุดของสตริง หากคุณมีตัวอักษรเช่น แล้วΣ *เป็นชุดของคำทุกคำที่มีเพียงสัญลักษณ์ในที่Σ ตัวอย่างเช่น{ 0 , 1 } ∗คือชุดของลำดับเลขฐานสองทั้งหมดของความยาวใด ๆ แม้ว่าตัวอักษรไม่จำเป็นต้องเป็นเลขฐานสอง มันอาจเป็นเอกภาพสามเทอมนารี ฯลฯ$\Sigma$$\Sigma^*$$\Sigma$$\{0,1 \}^*$

ภาษามากกว่าตัวอักษรเป็นส่วนย่อยของใด ๆΣ *$\Sigma$$\Sigma^*$

ปัญหา : ปัญหาคือคำถามเกี่ยวกับอินพุตที่เราต้องการคำตอบ โดยเฉพาะปัญหาการตัดสินใจคือคำถามที่ถามว่า "การป้อนข้อมูลที่เราได้รับนั้นเติมเต็มด้วยคุณสมบัติหรือไม่?$X$

$X$

$L = \{w \mid w$$y$$X$$y$$X$$\}$

การพิจารณาว่าคำตอบสำหรับอินพุตกับปัญหาการตัดสินใจคือ "ใช่" เทียบเท่ากับการพิจารณาว่าการเข้ารหัสของอินพุตนั้นบนตัวอักษรนั้นเป็นภาษาที่สอดคล้องกันหรือไม่

อัลกอริทึม : อัลกอริทึมเป็นวิธีการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน โปรดทราบว่ามีอัลกอริทึมสามารถแสดงได้หลายวิธีและหลายภาษาและมีอัลกอริทึมต่าง ๆ มากมายในการแก้ปัญหาใด ๆ

$M$

$L(M) = \{w \mid M$$w\}$

$\mathsf{R}$$\mathsf{RE}$

ความสัมพันธ์ระหว่างภาษากับเครื่องทัวริงมีดังนี้

1. ทัวริงเครื่องยอมรับทุกภาษาอย่างแน่นอน

2. อาจมีทัวริงมากกว่าหนึ่งเครื่องที่ยอมรับภาษาที่กำหนด

3. อาจไม่มีทัวริงเครื่องที่ยอมรับภาษาที่กำหนด

เราสามารถพูดอย่างเดียวกันเกี่ยวกับอัลกอริทึมและปัญหา: อัลกอริทึมทุกอันแก้ปัญหาเดียว แต่อาจมี 0 หรือหลาย ๆ อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาที่กำหนด

ความซับซ้อนของเวลา : หนึ่งในแหล่งที่พบบ่อยที่สุดของความสับสนระหว่างอัลกอริทึมและปัญหาคือเกี่ยวกับคลาสที่ซับซ้อน การจัดสรรที่ถูกต้องสามารถสรุปได้ดังนี้:

• อัลกอริทึมมีความซับซ้อนของเวลา
• ปัญหาเป็นของระดับความซับซ้อน

$f(n)$$f(n)$$n$

ปัญหาไม่มีเวลาทำงานเนื่องจากปัญหาไม่ได้เชื่อมโยงกับอัลกอริทึมเฉพาะซึ่งใช้งานได้จริง แต่เราบอกว่าปัญหาเป็นของคลาสที่ซับซ้อนหากมีอัลกอริทึมบางส่วนที่แก้ปัญหานั้นด้วยความซับซ้อนของเวลาที่กำหนด

$\mathsf{P}, \mathsf{NP}, \mathsf{PSPACE}, \mathsf{EXPTIME}$$\mathsf{P}$$X$$X$$\mathsf{P}$$X$$X$$\mathsf{P}$