คำที่มีผลทางขวาและทางซ้ายเหมือนกัน

ฉันได้เริ่มต้นในการศึกษาออกำหนดไม่ใช่ใช้หนังสือของHopcroft และ Ullman ฉันติดอยู่ในปัญหาที่ฉันพบว่าน่าสนใจมาก:

ให้ออโตเมทริก จำกัด ที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้ให้ยอมรับสตริงทั้งหมดที่มีค่าเท่ากันเมื่อประเมินจากซ้ายไปขวาเป็นจากขวาไปซ้ายโดยการคูณตามตารางต่อไปนี้:

$\qquad \displaystyle\begin{array}{c|ccc} \times & a & b & c \\ \hline a & a & a & c \\ b & c & a & b \\ c & b & c &a \end{array}$

ดังนั้นหากเรามีสตริง , สินค้าจากซ้ายไปขวาคือและ ผลิตภัณฑ์จากขวาไปซ้ายคือ$abc$
$(a \times b) \times c=a \times c=c$
$a \times (b \times c)=a \times b=a$

ดังนั้นไม่ควรยอมรับสำหรับออโตมาตะ สำหรับฉันมันชัดเจนว่าสตริงใด ๆหรือหรือเป็นสตริงที่ยอมรับได้ (การประเมินผลด้านขวาและซ้ายของพวกเขาทำงานในสตริงบางส่วนที่เหมือนกัน) เป็นการง่ายที่จะให้ NFA ที่อธิบายการประเมินจากซ้ายไปขวา แต่ปัญหาคือถ้าเครื่องพยายามคำนวณการประเมินที่ถูกต้องจากซ้ายไปฉันคิดว่ามันต้องรู้ความยาวของสตริง (จำเป็นต้องมีหน่วยความจำที่ไม่มีที่สิ้นสุด)$abc$$aa^*$$bb^*$$cc^*$

ดังนั้นออโตมาตาที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้จะประเมินจากขวาไปซ้ายเพื่อเปรียบเทียบกับการประเมินจากซ้ายไปขวาได้อย่างไร

เคล็ดลับแรกที่นี่คือการคิดว่าตารางการคูณเป็นตารางการเปลี่ยนแปลงของหุ่นยนต์กับแต่ละรัฐแสดงถึงตัวอักษรในตารางการคูณของคุณ แต่ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับการยอมรับ ดังนั้นตัวอักษรทางด้านซ้ายและในเนื้อความของตารางจึงถูกระบุ - มันจะแม่นยำกว่าถ้าเขียนเป็นแต่ฉันจะไม่ทำ ตัวอักษรด้านบนเป็นอินพุต$A$$q_a, q_b, q_c$

จากนั้นสร้างหุ่นยนต์ (" " สำหรับการแปลง) สำหรับการคูณย้อนกลับโดยการแปลง :$A_T$$T$$A$

$\qquad \displaystyle\begin{array}{c|ccc} A_T & a & b & c \\ \hline a & a & c & b \\ b & a & a & c \\ c & c & b & a \end{array}$

ดังนั้นจะนำคุณเข้าสู่สถานะและในทำนองเดียวกันจะเข้าสู่สถานะของตามที่คุณทราบ$A(abc)$$c$$A_T(cba)$$a$$A_T$

อย่างไรก็ตามถือว่าคุณกำลังจากขวาไปซ้ายและเรายังคงต้องการจากซ้ายไปขวา ดังนั้นเคล็ดลับที่สองคือการย้อนกลับของหุ่นยนต์ (ไม่ใช่การคูณซึ่งเพิ่งจะได้รับเราก็เริ่มต้น) โดยการย้อนกลับลูกศรทั้งหมดซึ่งนำไปสู่หุ่นยนต์ที่ไม่ได้กำหนดตามตารางการเปลี่ยนแปลงด้านล่าง ด้วยชุดย่อยที่ระบุด้วยตัวอักษรตัดแบ่งเพื่อป้องกันไม่ให้ไก่เกาดังนั้นจึงเป็นจริงๆ (หวังว่าฉันเข้าใจถูกต้อง - ดูเหมือนว่าจะใช้ได้)$A_T$$A_{TR}$$ac$$\{a,c\}$

$\qquad \displaystyle\begin{array}{c|ccc} A_{TR} & a & b & c \\ \hline a & ab & b & c \\ b & ∅ & c & a \\ c & c & a & b \\ \hline ab & ab & bc & ac \\ bc & c & ac & abc \\ ac & abc & ab & bc \\ abc & abc & abc & abc \\ ∅ & ∅ & ∅ & ∅ \end{array}$

คุณสามารถตีความได้ว่านี่เป็นหุ่นยนต์ที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้โดยมีเพียงสามแถวด้านบนบรรทัดหรือรุ่นที่กำหนดด้วย 8 แถวทั้งหมด

ในที่สุดเครื่องจักรในการแก้ปัญหาคือหุ่นยนต์ครอสโปรดักต์ของและนั่นคือเพื่อทำพฤติกรรมการตัดกันของออโตสองตัว (เราไม่ต้องการใด ๆ มากกว่า). มีรัฐที่มีคู่เหมือนที่ ฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงรันและอย่างอิสระ สถานะเริ่มต้นเดียวเข้าสู่ภายใต้อินพุต , เป็นภายใต้อินพุต , ฯลฯ $A$$A_{TR}$$A \times A_{TR}$$A_T$$A \times A_{TR}$$\langle a,ac\rangle$$A$$A_{TR}$$\langle 1,1 \rangle$$\langle a,a \rangle$$a$$\langle b,b \rangle$$b$

การยอมรับสถานะในเวอร์ชั่นที่ไม่ใช่แบบกำหนดเองคือเป็นต้นในเวอร์ชั่นที่กำหนดขึ้นมาการยอมรับสถานะเป็นคู่ที่องค์ประกอบแรกคือของชุดองค์ประกอบที่สองเช่นหรือ\$\langle a,a \rangle$$\in$$\langle a,a \rangle$$\langle b,bc \rangle$

$A \times A_{TR}$เพิ่มและตรวจสอบตามที่แสดงมีสถานะดังนั้นให้อภัยฉันถ้าฉันไม่เขียนรายละเอียด แต่เวอร์ชันที่ไม่ได้กำหนดไว้มีเพียงสถานะ$25=3\cdot 8+1$$10=3\cdot 3+1$

$(\ast)$ถ้าเป็นภาษาปกติดังนั้นภาษาที่ประกอบด้วยการย้อนกลับของคำทั้งหมดในก็เป็นปกติเช่นกัน ทำแบบนี้เป็นการออกกำลังกาย$L$$L^R$$L$

สิ่งนี้ช่วยให้เราแก้ปัญหาได้อย่างไร ให้เป็นภาษาที่ประกอบด้วยสตริงทั้งหมดที่ประเมินค่าเมื่อประเมินจากซ้ายไปขวา ภาษาที่คุณสนใจคือ นี่แสดงให้เห็นว่าถ้าคุณรู้วิธีพิสูจน์คุณสามารถสร้าง NFA สำหรับภาษาที่เป็นปัญหาได้$L_a,L_b,L_c$$a,b,c$

ในความเป็นจริงถ้าคุณใช้ความคิดในการพิสูจน์คุณอาจจะสามารถสร้างหุ่นยนต์ได้ ลองพิจารณาสิ่งนี้กัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งลองสร้าง NFA สำหรับภาษาของสตริงทั้งหมดที่ประเมินเมื่อประเมินจากขวาไปซ้าย$(\ast)$$L_a^R$$a$

ความคิดคือสิ่งนี้ สมมติว่าตัวอักษรตัวแรกที่คุณเห็นคือขจากนั้นส่วนที่เหลือของสตริงจะต้องประเมินเป็น (ตั้งแต่หมายถึง ) เหตุผลที่คล้ายกันเมื่อใช้ตัวอักษรตัวแรกคือคอย่างไรก็ตามเมื่อตัวอักษรตัวแรกเป็นส่วนที่เหลือสามารถประเมินหรือหรือเป็นโมฆะ ด้วย NFA เราสามารถเดาได้ (และตรวจสอบการเดาของเราในภายหลัง)$b$$b$$bx = a$$x = b$$c$$a$$a$$b$

คำแนะนำนี้ควรให้คุณได้คิดมากพอและหวังว่าจะแก้ปัญหาได้

น่ารัก

ขั้นแรกให้สร้างหุ่นยนต์ที่คำนวณผลิตภัณฑ์จากซ้ายไปขวา ง่าย! ใส่การเปลี่ยนแปลง$\overrightarrow x \xrightarrow{\;y\;} \overrightarrow z$ เมื่อไรก็ตาม $x \cdot y = z$. มีสามสถานะ$\{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c\}$แสดงถึงสามผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้ เริ่มต้นในสถานะที่สี่$\overrightarrow 1$ กับ $\overrightarrow 1 \xrightarrow{\;x\;} \overrightarrow x$ เพื่อทุกสิ่ง $x$. สถานะสุดท้ายคือ$\overrightarrow x$ ถ้าหากผลิตภัณฑ์ของคำที่ป้อนจากซ้ายไปขวาคือ $x$.

ตอนนี้เรามาสร้างหุ่นยนต์ที่คำนวณผลิตภัณฑ์จากขวาไปซ้าย อันนี้จะไม่กำหนดขึ้น เราจะทำอย่างนั้นได้อย่างไร? ง่าย ๆ ... ในการไปในทิศทางอื่นเพียงย้อนกลับทุกอย่าง : ลูกศรและทิศทางของผลิตภัณฑ์

ที่เราเคยมีมาก่อน $\overrightarrow{x} \xrightarrow{\;y\;} \overrightarrow{x \cdot y\:}$ตอนนี้เรารับ $\overleftarrow{x \cdot y\:} \xleftarrow{\;x\;} \overleftarrow{y}$: เมื่อเราใช้คำจากซ้ายไปขวาเราจะเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์เป็นปัจจัยทางขวา หรือในคำอื่น ๆ$\overleftarrow{x} \xleftarrow{\;y\;} \overleftarrow{y \cdot x\:}$.

เพิ่มโหนดที่ไม่ได้เชื่อมต่อ $\overleftarrow 1$เพื่อประโยชน์ของคำที่ว่างเปล่า โหนดทั้งหมดเป็นค่าเริ่มต้น

ตอนนี้เราจำเป็นต้องคำนวณทั้งสองเส้นทางด้วยกันดังนั้นเราจึงนำผลคูณของออโตมาตะสองตัว: $(\overrightarrow{x_1}, \overleftarrow{x_2}) \xrightarrow{\;y\;} (\overrightarrow{z_1}, \overleftarrow{z_2})$ IFF $\overrightarrow{x_1} \xrightarrow{\;y\;} \overrightarrow{z_1}$ และ $\overleftarrow{x_2} \xrightarrow{\;y\;} \overleftarrow{z_2}$. ให้สี่รัฐ$(\overrightarrow 1, \overleftarrow x)$ จะเริ่มต้นและสี่รัฐ $(\overrightarrow x, \overleftarrow x)$ถือเป็นที่สุด คำนี้ได้รับการยอมรับจากออโตเมติกที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้หากผลิตภัณฑ์จากซ้ายไปขวาและผลิตภัณฑ์จากขวาไปซ้ายเหมือนกัน$x$.

ดูเหมือนว่าปัญหาหลักของคุณคือการใช้ลัทธิ nondeterminism ดังนั้นฉันขออธิบายอย่างละเอียด

แนวคิดพื้นฐานที่คนอื่นใช้คือเครื่องจักรที่สามารถคาดเดาผลสุดท้ายได้

ให้เราพิจารณาตัวอย่างเล็ก ๆ ของคุณ $abc$และแนวคิดการก่อสร้างของ Gilles ออโต "คอมพิวเตอร์" ผลิตภัณฑ์จากขวาไปซ้ายคาดเดาผลในการเริ่มต้นและจะตรวจสอบมัน ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้สามประการ:

• เดา $a$: เป็น symol แรกคือ $a$ผลิตภัณฑ์ rl ของ $bc$ จะต้องได้รับ $a$ หรือ $b$.
  • เดา $a$: ในฐานะที่เป็นสัญลักษณ์ที่สองคือ $b$สัญลักษณ์สุดท้ายจะต้องเป็น $b$.
    • (เดา $b$:) มันคือ $c$ดังนั้นอย่ายอมรับ
  • เดา $b$: ในฐานะที่เป็นสัญลักษณ์ที่สองคือ $b$สัญลักษณ์สุดท้ายจะต้องเป็น $c$.
    • (เดา $c$:) มันใช่แน่ ๆ $c$ดังนั้นเราจึงยอมรับ
• เดา $b$: เป็น symol แรกคือ $a$เป็นไปไม่ได้ดังนั้นอย่ายอมรับ
• เดา $c$: เป็น symol แรกคือ $a$ผลิตภัณฑ์ rl ของ $bc$ จะต้องได้รับ $c$
  • (เดา $c$:) ในฐานะที่เป็นสัญลักษณ์ที่สองคือ $b$สัญลักษณ์สุดท้ายจะต้องเป็น $a$
    • (เดา $a$:) มันคือ $c$ดังนั้นอย่ายอมรับ

ในขณะที่คุณสามารถดู NFA สามารถที่จะคาดเดาและตรวจสอบเป็นไปได้ทุกคำนวณจากล่างขึ้นบน เนื่องจากภาษาที่ยอมรับถูกกำหนดเป็นชุดของสตริงที่ยอมรับโดยการรันอย่างน้อยหนึ่งครั้งการรันที่ไม่ยอมรับทั้งหมดในอินพุตจะถูกละเว้น NFA "คาดเดาถูกต้องเสมอ"

ตอนนี้มันเป็นเรื่องง่ายสำหรับ NFA นี้ที่จะจำตัวเลือกแรกจนถึงวันสิ้นสุด หากยอมรับก็สามารถเปรียบเทียบสัญลักษณ์ที่จำได้กับผลิตภัณฑ์ lr (กำหนดค่าได้) ในแบบคู่ขนาน (การแยกภาษาที่เกี่ยวข้องกับ NFA นั้นครอบคลุมอยู่ใน Ullman / Hopcroft และตำราพื้นฐานอื่น ๆ )