ตัวอย่างของอัลกอริทึมที่คำสั่งต่ำมีอิทธิพลเหนือรันไทม์สำหรับการใช้งานจริงหรือไม่?

สัญกรณ์ Big-O ซ่อนปัจจัยที่คงที่ดังนั้นอัลกอริทึมตัวจึงไม่สามารถใช้ได้กับขนาดอินพุตที่เหมาะสมใด ๆ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของเทอมnนั้นมีขนาดใหญ่มาก$O(n)$$n$

จะมีผู้ใดขั้นตอนวิธีการที่รู้จักกันมี runtime คือแต่มีบางใบสั่งต่ำo ( F ( n ) )คำที่มีขนาดใหญ่เพื่อให้สำหรับการป้อนข้อมูลที่เหมาะสมขนาดมันสมบูรณ์ครอบงำรันไทม์? ฉันต้องการใช้อัลกอริทึมเช่นนี้เป็นตัวอย่างในหลักสูตรอัลกอริทึมเพราะมันให้เหตุผลที่ดีว่าทำไมสัญกรณ์ O-Big ไม่ใช่สิ่งใดเลย$O(f(n))$$o(f(n))$

ขอบคุณ!

การเข้ารหัสเป็นตัวอย่างถ้ามีการเสื่อมสภาพ ตัวอย่างเช่นการแบ่งการเข้ารหัส AES คือ - สิ่งที่คุณต้องทำคือค้นหาคีย์ที่ถูกต้องในจำนวน จำกัด , 2 128หรือ2 192หรือ2 256หรือ2 256ขึ้นอยู่กับขนาดของคีย์ (สมมติว่ารู้จักธรรมดามากพอ กำหนดกุญแจอย่างไม่น่าสงสัย) อย่างไรก็ตามการดำเนินการ2 128 ครั้งจะใช้คอมพิวเตอร์ทั้งหมดในวันนี้ (พันล้านหรือราว ๆ นั้นแต่ละการทำงานประมาณหนึ่งพันล้านปฏิบัติการต่อวินาที) มากกว่าอายุการใช้งานของจักรวาล (ประมาณหนึ่งพันล้านล้านวินาที)$O(1)$$2^{128}$$2^{192}$$2^{256}$$2^{128}$

วิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อยเพื่อแสดงให้เห็นว่าทำไม big-O ไม่ใช่ทุกสิ่งที่ต้องสังเกตว่าบางครั้งเราใช้อัลกอริทึมที่แตกต่างกันสำหรับขนาดอินพุตขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่นใช้ quicksort ด้วยทางเลือกที่เหมาะสมของเดือย (ซึ่งเป็นธุรกิจที่หากิน!) มัน ) Quicksort ดำเนินการโดยแบ่งและพิชิต: ทุกอินสแตนซ์เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับของอาร์เรย์ขนาดเล็กจำนวนมาก สำหรับอาร์เรย์ขนาดเล็กวิธีกำลังสองเช่นการเรียงลำดับการแทรกทำได้ดีกว่า ดังนั้นเพื่อประสิทธิภาพที่ดีที่สุดการเรียงลำดับขนาดใหญ่อย่างรวดเร็วเกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับการแทรกจำนวนมากสำหรับขนาดเล็ก$O(n \lg n)$

สองตัวอย่างมาจากใจความซับซ้อนของพารามิเตอร์และอัลกอริธึม FPT นี่อาจไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหา แต่ที่นี่จะไป

พิจารณาปัญหากราฟเช่น 3-COLORING หรือ HAM-CYCLE ปัญหาทั้งสองสามารถแสดงในตรรกะลำดับที่สอง monadic และดังนั้นจึงสามารถตัดสินใจได้ในเวลาเชิงเส้นของกราฟที่มี treewidth ล้อมรอบ นี่เป็นผลมาจาก Bruno Courcelleแต่อัลกอริทึมที่ได้นั้นยังห่างไกลจากการใช้งานจริง

อีกตัวอย่างคือผลลัพธ์ที่ลึกซึ้งโดย Lenstra โดยบอกว่าโปรแกรมจำนวนเต็มเชิงเส้น (ILP) ที่มีจำนวนคงที่ของตัวแปรสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้น โดยงานเพิ่มเติมที่ทำโดย Ravi Kannan เรามีว่าปัญหาความเป็นไปได้ในการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มสามารถแก้ไขได้ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในจำนวนเต็มของบิตO ( p 2 p L )ขนาดโดยpคือจำนวน ของตัวแปร ILP และLคือจำนวนบิตในอินพุต สิ่งนี้ทำให้อัลกอริทึม FPT อีกครั้งซึ่งเป็นประโยชน์สำหรับอินสแตนซ์ขนาดเล็กมากเท่านั้น$O(p^{9p/2})L$$O(p^{2p}L)$$p$$L$

ค่อนข้างเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณคืออัลกอริทึมที่ทราบกันดีว่ามีประสิทธิภาพที่ดีในทางทฤษฎี แต่ไม่ได้ใช้กับปัญหาจริงเนื่องจากการใช้งานไม่ได้กับอินสแตนซ์ขนาดเล็ก กล่าวอีกนัยหนึ่งเช่นเดียวกับที่คุณร้องขอ "ประสิทธิภาพที่โฆษณา" เป็นไปได้สำหรับอินพุตขนาดใหญ่ในทางทฤษฎีเท่านั้นซึ่งไม่เห็นในการใช้งานจริง บางครั้งสิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในการประมาณการของ Big-Oh แต่บางครั้งก็ไม่เป็นเช่นนั้น ขั้นตอนวิธีการที่บางคนมีดี "ผลงาน" ทฤษฎี แต่มีความซับซ้อนและมีเหตุผล havent เคยถูกนำมาใช้โดยทุกคนและดังนั้นจึง "ประสิทธิภาพ" ในขนาดตัวอย่างการปฏิบัติที่ไม่ได้รู้จักกันแม้เช่นเดียวกับค่าสูงสุดของการไหลของปัญหา

• การทดสอบเบื้องต้นใน P ผ่านอัลกอริทึม AKS

• อัลกอริทึมการคูณเมทริกซ์ Coppersmith-winograd

• ดูว่าอัลกอริธึมการไหลสูงสุดที่ทันสมัยที่สุดเป็นประโยชน์หรือไม่? tcs.se

• ดูอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพซับซ้อนเกินไปที่จะใช้ tcs.se

• ขั้นตอนวิธีกาแล็กซี่บล็อก RJLipton

นี่เป็นเรื่องตลก แต่มีด้านที่จริงจัง ...

$O(n\log n)$$O(n^2)$