ลดได้โดยตรงจาก

เรารู้ว่าอยู่ในโดยImmerman – Szelepcsényiทฤษฎีบททฤษฎีบทและเนื่องจากคือดังนั้นการเชื่อมต่อจึงเป็นพื้นที่บันทึกหลายรายการที่สามารถลดการได้ แต่มีการลดโดยตรง / combinatorial ที่ไม่ผ่านกราฟการกำหนดค่าของเครื่องทัวริงใน ?N L s T - C o n n อีคทีฉันv ฉันทีY N L - เอชR d s T - n o n - c o n n e c t ฉันv ฉัน$st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$s T - C o n n อีคทีฉันv ฉันทีY N $st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (aka ):$stPATH$

รับกราฟกำกับ$G$และจุดยอด$s$และ$t$ ,

มีเส้นทางกำกับจากจุดยอดถึงจุดสุดยอดt ?$s$$t$

ชี้แจง:

คุณสามารถสมมติว่ากราฟถูกกำหนดโดยเมทริกซ์ adjacency ของมัน (อย่างไรก็ตามนี่ไม่จำเป็นเนื่องจากการแสดงกราฟมาตรฐานเป็นพื้นที่แปลงสภาพล็อกซึ่งกันและกัน)

มันเป็นไปได้ที่จะแกะหลักฐานของเนสของs T - C o n n อีคทีฉันv ฉันt Yและย้ายไปลงหลักฐานเพื่อพิสูจน์ไม่ได้ใช้ว่าทฤษฎีบทเป็นแทรก . อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ยังคงเป็นโครงสร้างเดิม สิ่งที่ฉันกำลังมองหาไม่ใช่สิ่งนี้ฉันต้องการลดแนวคิดโดยตรง ขอผมเปรียบเทียบกับเคสN P เราสามารถลดN P - c o m p $\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NP}$ปัญหากับแต่ละอื่น ๆ โดยใช้ความจริงที่ว่าพวกเขาอยู่ใน N Pจึงลด S Tและ S Tลดปัญหาอื่น ๆ และเราสามารถแยกและรวมการลดสองรายการนี้เพื่อรับการลดลงโดยตรง อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่มีความเป็นไปได้ที่จะลดทอนแนวคิดที่ง่ายกว่าซึ่งไม่ผ่านขั้นตอนกลางนี้ (คุณสามารถลบการกล่าวถึง แต่ก็ยังมีแนวคิดอยู่) ตัวอย่างเช่นหากต้องการลด H a m P a t hหรือ V e r t e x C o $\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$$HamPath$หรือ 3 - C o L o r ฉันn กรัมเพื่อ S Tเราไม่ได้บอกว่า H เมตรP ทีเอชอยู่ใน N Pและดังนั้นจึงช่วยลดการ Sตั้งแต่ S Tคือ N P - เอชR d เราสามารถให้สูตรที่เข้าใจได้ง่ายซึ่งเป็นที่พอใจหากกราฟมีเส้นทางมิลโตเนียน อีกตัวอย่างหนึ่งคือเราลดปัญหาอื่น ๆ ใน$VertexCover$$3\text{-}Coloring$$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$เพื่อ s T - C o n n อีคทีฉันv ฉันt Yซึ่งไม่ต้องพึ่งพา N L - คo มพีลิตรอีทีอีเนสของ s T - C o n n อีคทีฉันv ฉันทีYเช่น C y c l e , S t r o n $\mathsf{NL}$$st\text{-}Connectivity$$\mathsf{NL\text{-}complete}$$st\text{-}Connectivity$$Cycle$ , ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการปรับเปลี่ยนในกราฟอินพุต (และไม่ได้อ้างถึงเครื่องจักรทัวริงที่แก้ปัญหาเหล่านั้น)$StronglyConnected$

ฉันยังไม่เห็นเหตุผลใด ๆ ที่ทำให้สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ ฉันกำลังมองหาการลดประเภทนี้

มันอาจจะมีกรณีที่ว่านี้เป็นไปไม่ได้และการลดใด ๆ แนวคิดจะไปผ่านผล Ness อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นสาเหตุที่ควรเป็นกรณีทำไมสถานการณ์จะแตกต่างจากกรณีN P เห็นได้ชัดว่าให้คำตอบเชิงลบกับคำถามของฉันเราจะต้องเป็นทางการมากขึ้นเกี่ยวกับการพิสูจน์แนวคิดเมื่อใด$\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$รวมถึงการพิสูจน์อีกครั้ง (ซึ่งเป็นคำถามทฤษฎีการพิสูจน์ที่ AFAIK ไม่ได้ชำระในทางที่น่าพอใจ) อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าสำหรับคำตอบที่เป็นบวกไม่จำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการและฉันหวังว่าจะเป็นเช่นนั้น (ฉันจะคิดเกี่ยวกับวิธีการทำให้เป็นระเบียบในสิ่งที่ฉันขออย่างซื่อสัตย์เมื่อฉันหาเวลาว่างมากขึ้นโดยพื้นฐานแล้วฉันต้องการลดที่จะทำงานแม้ว่าเราไม่รู้ว่าปัญหาเสร็จสมบูรณ์สำหรับ )$\mathsf{NL}$

โดยใช้หลักฐานของ Immerman-Szelepcsényiทฤษฎีบทจะปรับใช้เนสของs T P T Hและกราฟการกำหนดค่าของN Lเครื่องคือสิ่งที่ฉันต้องการที่จะหลีกเลี่ยง$\mathsf{NL\text{-}complete}$$stPATH$$\mathsf{NL}$

เป็นไปได้ถ้ายุ่งเพื่อแปลงบทพิสูจน์ของทฤษฎีบท Immerman-Szelepcsényiเป็นการลดที่คุณต้องการ ไม่จำเป็นต้องใช้ความสมบูรณ์ของการเชื่อมต่อเซนต์

ได้รับตัวอย่างเราสร้างกราฟใหม่G ' = ( V ' , E ' ) , s ' , T ' "จุดยอดหลัก" ของV ′บันทึกข้อมูลต่อไปนี้: ระยะทางปัจจุบันdจากs , จำนวนจุดยอดของระยะทางที่มากที่สุดd - 1 , จำนวนจุดยอดของระยะทางd - $G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$นับจนถึงจุดสุดยอดในปัจจุบันที่เรากำลังคาดเดาว่ามีระยะทางที่มากที่สุดจำนวนจุดของระยะทางที่มากที่สุดdนับจนถึงจุดสุดยอดในปัจจุบันที่เรากำลังพิจารณาว่าจะมีระยะทางที่มากที่สุดd จุดที่รองลงมาจัดการเป็นส่วนหนึ่งที่เราคิดว่าเส้นทางของความยาวที่มากที่สุดd - 1จุดสุดยอดที่เราคิดว่าจะเป็นระยะทางที่มากที่สุดd - 1 ขอบที่เกี่ยวข้องกับการแสดงจุดสุดยอดtสามารถเข้าถึงได้จาก$d-1$$d$$d$$d-1$$d-1$$t$$s$ถูกทิ้ง สำหรับจุดสุดยอดแต่ละจุดที่เราทำการทดสอบที่ระยะทางปัจจุบันเราจะเลื่อนไปยังจุดยอดถัดไปหากเราคำนึงถึงจุดยอดทั้งหมดที่มีระยะทางน้อยกว่า เมื่อย้ายจากระยะไกลกับระยะทางd + 1เราคัดลอกข้อมูลที่จำเป็น จุดสุดยอดเริ่มต้นs 'บัญชีสำหรับความจริงที่ว่าsเป็นจุดสุดยอดเพียงหนึ่งเดียวของระยะทางศูนย์ จุดสิ้นสุดt ′ถูกชี้ไปที่จุดยอดทั้งหมดซึ่งแสดงถึงความจริงที่ว่ากระบวนการเสร็จสิ้นไปจนถึง (และรวมถึง) ระยะทางn - 1โดยที่n = | V | .$d$$d+1$$s'$$s$$t'$$n-1$$n=|V|$

อย่างที่คุณเห็นมันค่อนข้างยุ่งที่จะเขียนทุกอย่างครบถ้วนและถูกต้อง แต่เป็นไปได้อย่างแน่นอน ไม่มีการใช้ NL-ครบถ้วนสมบูรณ์อย่างเปิดเผยในการที่เราไม่เคยใช้กราฟการกำหนดค่าของเครื่อง NL ใด ๆ ไม่จำเป็นเนื่องจากเรามีสิ่งที่ดีกว่ากราฟการกำหนดค่า - อินสแตนซ์อินพุตเอง