ปัญหา Clique เวอร์ชันที่ถูก จำกัด ?

พิจารณารุ่นต่อไปนี้ปัญหาก๊กที่ใส่เป็นขนาดและเรากำลังขอให้พบก๊กขนาดkข้อ จำกัด คือโพรซีเดอร์การตัดสินใจไม่สามารถเปลี่ยนกราฟอินพุตเป็นการนำเสนออื่นและไม่สามารถใช้การแทนอื่นเพื่อคำนวณคำตอบของมันนอกเหนือจากบิตพิเศษนอกเหนือจากกราฟอินพุต บิตพิเศษสามารถใช้ตัวอย่างในอัลกอริทึม brute-force เพื่อติดตามสถานะของการค้นหากลุ่มที่ละเอียดถี่ถ้วน แต่ขั้นตอนการตัดสินใจนั้นยินดีต้อนรับให้ใช้มันในวิธีอื่นที่ยังคงตัดสินใจปัญหา $n$ $k$ $\log(n^k)$

มีสิ่งใดที่ทราบถึงจุดนี้เกี่ยวกับความซับซ้อนของสิ่งนี้? มีงานใดที่ทำกับข้อ จำกัด อื่น ๆ ของ Clique และถ้าเป็นเช่นนั้นคุณช่วยชี้แนะให้ฉันทำงานดังกล่าวได้ไหม?

complexity-theory time-complexity

— ShyPerson
แหล่งที่มา

คุณตั้งใจคงในจะเป็นเช่นเดียวกับขนาดก๊ก ?

k

$k$

\lg n^{k}

$\lg n^k$

k

$k$

— ลูคัสคุก

@LucasCook ใช่

— ShyPerson

ดูเหมือนว่าคุณกำลังถามว่าปัญหากลุ่ม NP-completeสามารถแก้ไขได้ในพื้นที่ลอการิทึม การใช้เครื่องจักรทัวริงจะอ่านได้เพียงเทปเดียวและเก็บกราฟอินพุต เทปอื่น ๆ ล้อมรอบเพื่อให้มีพื้นที่ว่างสำหรับบางคงคระดับของปัญหาที่แก้ไขได้ในรุ่นนี้เรียกว่าซึ่งเป็นพื้นที่ลอการิทึมแบบกำหนดค่าได้ (ดูวิกิพีเดียหรือในสวนสัตว์ที่ซับซ้อน ) $c \lg n$ $c$ $L$

ไม่ทราบว่าแต่คำตอบที่เป็นบวกจะแปลว่าดังนั้นคุณ (แทบจะแน่นอน?) จะไม่พบคำตอบ และหมายถึงซึ่งหมายถึงNP $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $P = NP$ $L \subseteq P \subseteq NP$ $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $\mathrm{CLIQUE} \in P$ $P = NP$

แก้ไขในกรณีที่ฉันตีความปัญหาผิด:

หากคุณต้องการให้ในเหมือนกับขนาด clique (นั่นคือจำนวนหน่วยความจำที่มีสเกลอินพุต ) นั่นคืออัลกอริทึมแรงเดรัจฉานที่เรียบง่าย: คุณสามารถวนดูได้ทั้งหมด ชุดที่เป็นไปได้ของโหนดและตรวจสอบว่าพวกเขาในรูปแบบ -clique จุดเริ่มต้นสำหรับการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่าอาจเป็นการอ้างอิงถึง [1] $k$ $\lg n^k = k \lg n$ $k$ $k$ $k$ $k$

[1] Virginia Vassilevska " ลิงก์อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาเกี่ยวกับกลุ่ม" pdf

— ลูคัสคุก
แหล่งที่มา

@ShyPerson Ok สตริงอินพุตมักไม่เปลี่ยนรูปแบบในแบบ จำกัด พื้นที่ (เช่น sublinear space TMs ในหรือ ) ดังนั้นอาจเป็นที่ที่เหมาะแก่การดู ฉันไม่แน่ใจในวิธีที่เป็นทางการที่จะกล่าวว่า "คุณไม่สามารถเป็นตัวแทนได้อีก" นอกเหนือจากการ จำกัด พื้นที่ หากฉันอนุญาตให้มีพื้นที่ว่างในการทำสำเนาของอีกอย่างหนึ่งสิ่งใดที่ถือว่าเป็นตัวแทนที่แท้จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉัน "ตั้งใจ" สร้างการแสดงที่เพียงพอสำหรับกราฟที่กระจัดกระจายหรือบีบอัดได้โดยเฉพาะ?

L

$L$

N L

$NL$

G

$G$

— Lucas Cook

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$ ยังไม่เสร็จสมบูรณ์! (เว้นแต่ )

P = N P

$\mathrm{P}= \mathrm{NP}$

— อเล็กซ์สิบบริงค์

@AlextenBrink คุณหมายถึง kCLIQUE ที่เป็นปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชั่นหรือไม่ ฉันเปลี่ยนชื่อเป็น CLIQUE ด้านบน (ฉันมักจะสับสนพวกเขาเสมอ!) แต่มันแปลกที่ฉันจะบอกว่า kCLIQUE อยู่ใน NP ถ้าคุณหมายถึงปัญหาการทำงาน

— ลูคัสคุก

หมายถึงsearchปัญหาในกรณีนี้

— ลูคัสคุก

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$ เป็นปัญหาสำหรับการแก้ไขในขณะที่มีเป็นส่วนหนึ่งของอินพุต โดยการตรวจสอบ subgraphs ทุกขนาดคุณมีขั้นตอนวิธีการซึ่งเป็นพหุนามถ้าได้รับการแก้ไข แต่ superpolynomal ถ้าเช่น(N)

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

— Alex สิบ Brink