แสดงวิธีการทำ FFT ด้วยมือ

สมมติว่าคุณมีสองพหุนาม:และ2 $3 + x$ $2x^2 + 2$

ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่า FFT ช่วยให้เราคูณชื่อพหุนามทั้งสองนี้อย่างไร อย่างไรก็ตามฉันไม่พบตัวอย่างผลงานใด ๆ บางคนสามารถแสดงให้ฉันเห็นได้ว่าอัลกอริทึม FFT จะทวีคูณชื่อพหุนามทั้งสองนี้อย่างไร (หมายเหตุ: ไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพหุนามเหล่านี้ แต่ฉันต้องการให้มันง่ายเพื่อให้ง่ายต่อการติดตาม)

ฉันได้ดูอัลกอริธึมใน pseudocode แต่ดูเหมือนว่าพวกเขาทั้งหมดจะมีปัญหา (อย่าระบุว่าอินพุตควรเป็นอะไร, ตัวแปรที่ไม่ได้กำหนด) และน่าประหลาดใจที่ฉันไม่สามารถหาได้ว่ามีใครบ้างที่เดินผ่าน (ด้วยมือ) ตัวอย่างการคูณพหุนามด้วย FFT

algorithms fourier-transform divide-and-conquer

— ลาร์ส
แหล่งที่มา

วิกิพีเดียช่วยให้นี้ภาพที่ดีสำหรับจำนวนเต็มคูณผ่าน FFT แต่ฉันคิดว่าแม้ที่ชัดเจนมากขึ้นขั้นตอนโดยขั้นตอนที่อาจจะเป็นประโยชน์

— Realz Slaw

คำตอบ:

สมมติว่าเราใช้รากที่สี่ของความสามัคคีซึ่งสอดคล้องกับการแทนสำหรับxนอกจากนี้เรายังใช้ decimation-in-time มากกว่า decimation-in-frequency ในอัลกอริทึม FFT (นอกจากนี้เรายังใช้การดำเนินการย้อนกลับแบบบิตอย่างราบรื่น) $1,i,-1,-i$ $x$

เพื่อคำนวณการแปลงพหุนามครั้งแรกเราเริ่มต้นด้วยการเขียนสัมประสิทธิ์: ฟูริเยร์เปลี่ยนของค่าสัมประสิทธิ์แม้คือและค่าสัมประสิทธิ์แปลกคือ1,1(การแปลงนี้เป็นเพียง .) ดังนั้นการแปลงพหุนามครั้งแรกคือ นี้จะได้รับใช้ ,O_1 (จากการคำนวณตัวประกอบทวีคูณ)

3, 1, 0, 0.

$3,1,0,0.$

3, 0

$3,0$

3, 3

$3,3$

1, 0

$1,0$

1, 1

$1,1$

a, b \mapsto a + b, a - b

$a,b \mapsto a+b,a-b$

4, 3 + i, 2, 3 - i .

$4,3+i,2,3-i.$

X_{0, 2} = E_{0} \pm O_{0}

$X_{0,2} = E_0 \pm O_0$

X_{1, 3} = E_{1} \mp i O_{1}

$X_{1,3} = E_1 \mp i O_1$

ลองทำเช่นเดียวกันกับพหุนามที่สอง ค่าสัมประสิทธิ์เป็น ค่าสัมประสิทธิ์แม้แปลงและค่าสัมประสิทธิ์แปลกแปลง0,0ดังนั้นการแปลงของพหุนามที่สองคือ

2, 0, 2, 0.

$2,0,2,0.$

2, 2

$2,2$

4, 0

$4,0$

0, 0

$0,0$

0, 0

$0,0$

4, 0, 4, 0.

$4,0,4,0.$

เราได้การแปลงฟูริเยร์ของพหุนามผลิตภัณฑ์โดยการคูณการแปลงฟูริเยร์ทั้งสองแปลงเป็นจุด: มันยังคงคำนวณการแปลงฟูริเยร์ผกผัน ค่าสัมประสิทธิ์แม้ผกผันเปลี่ยนไปและค่าสัมประสิทธิ์แปลกผกผันแปลง0,0(การแปลงผกผันคือ ) ดังนั้นการแปลงของพหุนามผลิตภัณฑ์คือ นี้จะได้รับใช้ , 2 เราได้รับคำตอบที่ต้องการ

16, 0, 8, 0.

$16, 0, 8, 0.$

16, 8

$16,8$

12, 4

$12,4$

0, 0

$0,0$

0, 0

$0,0$

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$

6, 2, 6, 2.

$6,2,6,2.$

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{0}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_0)/2$

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$

(3 + x) (2 + 2 x^{2}) = 6 + 2 x + 6 x^{2} + 2 x^{3} .

$(3 + x)(2 + 2x^2) = 6+2x+6x^2+2x^3.$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

คุณมาถึงที่ 6,2 6, 2 ได้อย่างไร

— ลาร์ส

ฉันกำหนดสูตร: ,โดยที่ ( ) เป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม เปลี่ยนของค่าสัมประสิทธิ์แม้ (แปลก) ที่ได้รับผ่านสูตร 2 โปรดดูคำตอบอีกครั้ง - การคำนวณทั้งหมดอยู่ที่นั่น

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{2}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_2)/2$

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$

E_{0}, E_{1}

$E_0,E_1$

O_{1}, O_{2}

$O_1,O_2$

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$

— Yuval Filmus

ทำไมคุณถึงใช้สัมประสิทธิ์คู่ถึงสองครั้ง? 3,3 -> 3,3,3,3 -> 3 + 1, 3-i, 3 + -1,3 - i?

— Aage Torleif

สูตรเหล่านี้สำหรับและขยายไปถึงองศาที่สูงขึ้นได้อย่างไร เครื่องหมายบวก / ลบเพียงแค่พลิกต่อไปหรือไม่ ตัวอย่างเช่นอย่างไร

X_{0, 2}

$X_{0,2}$

X_{1, 3}

$X_{1,3}$

X_{0, 2, 4}

$X_{0,2,4}$

— Bobby Lee

@ BobLee ฉันแนะนำให้คุณอ่านวรรณกรรมบางเรื่องเกี่ยวกับ FFT

— Yuval Filmus

กำหนดพหุนามที่และdeg(A) = q deg(B) = pdeg(C) = q + p

ในกรณีdeg(C) = 1 + 2 = 3นี้

A = 3 + x B = 2 x^{2} + 2 C = A * B = ?

$A = 3 + x \\ B = 2x^2 + 2 \\ C = A*B = ?$

เราสามารถหาค่า C ในเวลาได้อย่างง่ายดายโดยการคูณค่าสัมประสิทธิ์ของเดียรัจฉาน โดยใช้ FFT (และผกผัน FFT) เราสามารถบรรลุเป้าหมายนี้ในเวลา อย่างชัดเจน: $O(n^2)$ $O(n\log(n))$

แปลงการแทนค่าสัมประสิทธิ์ของ A และ B เป็นการแทนค่า กระบวนการนี้เรียกว่าการประเมินผล การแสดงแบ่งและพิชิต (D & C) สำหรับการนี้จะใช้เวลาเวลา $O(n\log(n))$
การคูณแบบหลายส่วนประกอบด้วยพหุนามในการแสดงค่าของพวกมัน ส่งคืนการแทนค่าของ C = A * B นี้ใช้เวลาเวลา $O(n)$
Invert C โดยใช้ inverse FFT เพื่อรับ C ในการแทนค่าสัมประสิทธิ์ กระบวนการนี้เรียกว่าการแก้ไขและยังใช้เวลาเวลา $O(n\log(n))$

เราจะแสดงพหุนามแต่ละอันเป็นเวกเตอร์ที่มีค่าเป็นสัมประสิทธิ์ เราแผ่นเวกเตอร์ด้วย 0 ขึ้นอยู่กับอำนาจที่เล็กที่สุดของทั้งสอง(C) ดังนั้น4 การเลือกพลังสองวิธีทำให้เราสามารถใช้อัลกอริทึมการหารและการชนะแบบเรียกซ้ำได้ $n = 2^k, n \geq deg(C)$ $n = 4$

\begin{aligned} A = 3 + x + 0 x^{2} + 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{a} = [3, 1, 0, 0] \\ B = 2 + 0 x + 2 x^{+} 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{aligned}

$\begin{align} &A = 3+x+0x^2+0x^3 \Rightarrow &\vec{a} = [3, 1, 0, 0]\\ &B = 2+0x+2x^+0x^3 \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{align}$

ให้เป็นค่าแทน A และ B ตามลำดับ ขอให้สังเกตว่า FFT (Fast แปลงฟูเรีย ) เป็นแปลงเชิงเส้น ( เส้นแผนที่ ) M ดังนั้น $A', B'$ $M$

A^{'} = M \vec{a} B^{'} = M \vec{b}

$A' = M \overrightarrow{a} \\ B' = M \overrightarrow{b}$

เรากำหนดโดยที่เป็นรากที่ซับซ้อนรากที่ซับซ้อนของความสามัคคี ขอให้สังเกตในตัวอย่างนี้ นอกจากนี้ยังแจ้งให้ทราบว่ารายการในที่แถวและคอลัมน์{} ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์ DFT ที่นี่ $M = M_n(\omega)$ $\omega$ $n^{th}$ n = 4 $j^{th}$ $k^{th}$ $\omega_n^{jk}$

M_{4} (w) = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & . . . & 1 \\ 1 & ω^{1} & ω^{2} & . . . & ω^{n - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & ω^{j k} & . . . \\ 1 & ω^{n - 1} & ω^{2 (n - 1)} & . . . & ω^{(n - 1) (n - 1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}]

$M_4(w) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & \omega^1 & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\ 1 & \omega^2 & \omega^{4} & ... & ... \\ ... & ... & ... & \omega^{jk} & ...\\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & ... & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix}$

เมื่อได้รับรากของความเป็นเอกภาพเรามีความเท่าเทียมกันที่ได้รับคำสั่ง: $\omega_4 = 4^{th}$

{ω^{0}, ω^{1}, ω^{2}, ω^{3}, ω^{4}, ω^{5}, . . .} = {1, i, - 1, - i, 1, i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^1, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, ... \} = \{1, i, -1, -i, 1, i, ...\}$

สิ่งนี้สามารถมองเห็นได้เมื่อวนซ้ำผ่านรูทของหน่วยยูนิตในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

สังเกตเห็นmod nธรรมชาติเช่นและ $\omega^6 = \omega^{6 \mod n} = \omega^{2} = -1$ $-i = \omega^{3} = \omega^{3+n}$

เพื่อให้ขั้นตอนที่ 1 ( การประเมินผล ) เสร็จสมบูรณ์เราจะพบโดยดำเนินการ $A', B'$

A^{'} = M * \vec{a} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 ω \\ 3 + ω^{2} \\ 3 + ω^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] B^{'} = M * \vec{b} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 ω^{2} \\ 2 + 2 ω^{4} \\ 2 + 2 ω^{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]

$A' = M * \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 \omega \\ 3 + \omega^2 \\ 3 + \omega^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \\ B' = M * \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 \omega^2 \\ 2 + 2\omega^4 \\ 2 + 2\omega^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$

ขั้นตอนนี้สามารถทำได้โดยใช้อัลกอริธึม D&C (เกินขอบเขตของคำตอบนี้)

ทวีคูณส่วนประกอบที่ชาญฉลาด (ขั้นตอนที่ 2) $A' * B'$

A^{'} * B^{'} = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = C^{'}

$A' * B' = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = C'\\$

ในที่สุดขั้นตอนสุดท้ายคือการแทน C 'ลงในค่าสัมประสิทธิ์ แจ้งให้ทราบ

C^{'} = M \vec{c} \Rightarrow M^{- 1} C^{'} = M^{- 1} M \vec{c} \Rightarrow \vec{c} = M^{- 1} C^{'}

$C' = M \vec{c} \\ \Rightarrow M^{-1}C' = M^{-1} M \vec{c} \\ \Rightarrow \vec{c} = M^{-1}C'$

แจ้งให้ทราบล่วงหน้า¹และJ} $M_n^{-1} = \frac{1}{n} M_n(\omega^{-1})$ $\omega^j = -\omega^{n/2 + j}$

M_{n}^{- 1} = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω^{- 1} & ω^{- 2} & ω^{- 3} \\ 1 & ω^{- 2} & ω^{- 4} & ω^{- 6} \\ 1 & ω^{- 3} & ω^{- 6} & ω^{- 9} \end{matrix}] = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}]

$M_n^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega^{-1} & \omega^{-2} & \omega^{-3}\\ 1 &\omega^{-2} & \omega^{-4} & \omega^{-6}\\ 1 &\omega^{-3} & \omega^{-6} & \omega^{-9} \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}$

$\omega^{-j}$ สามารถมองเห็นได้โดยวนซ้ำของรากของหน่วยวงกลมในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

{ω^{0}, ω^{- 1}, ω^{- 2}, ω^{- 3}, ω^{- 4}, ω^{- 5}, . . .} = {1, - i, - 1, i, 1, - i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^{-1}, \omega^{-2}, \omega^{-3}, \omega^{-4}, \omega^{-5}, ... \} = \{1, -i, -1, i, 1, -i, ...\}$

ยิ่งกว่านั้นมันเป็นความจริงที่ว่าเมื่อรากของความสามัคคีความเท่าเทียมถือ (คุณเห็นสาเหตุไหม) $n^{th}$ $\omega^{-j} = \omega^{n-j}$

จากนั้น

\vec{c} = M^{- 1} C^{'} = \frac{1}{n} M_{n} (w^{- 1}) = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \\ (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}]

$\vec{c} = M^{-1}C' = \frac{1}{n} M_n(w^{-1}) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \\ (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2\\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}$

C = A * B = 6 + 2 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}

$C = A * B = 6 + 2x + 6x^2 + 2x^3$

— j__gt
แหล่งที่มา