การตัดกิโยตินกับการตัดทั่วไป

ปัญหาการตัดคือปัญหาที่ควรตัดวัตถุขนาดใหญ่บางชิ้นเป็นชิ้นเล็ก ๆ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณมีโรงงานที่ทำงานร่วมกับแผ่นใหญ่แก้วดิบของความกว้างและระยะเวลาในLมีผู้ซื้อหลายรายแต่ละรายต้องการแผ่นกระจกขนาดเล็กจำนวนมาก ผู้ซื้อต้องการแผ่นความยาวและความกว้างw_iเป้าหมายของคุณคือการตัดแผ่นเล็ก ๆ จากแผ่นใหญ่ให้มีการใช้งานอย่างเต็มประสิทธิภาพและลดของเสียให้เหลือน้อยที่สุด (นอกจากนี้ยังมีปัญหาการตัดและการบรรจุประเภทอื่นด้วย )$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

ข้อ จำกัด ทั่วไปอย่างหนึ่งของปัญหาการตัดคือการตัดต้องใช้การตัดกิโยตินนั่นคือแต่ละสี่เหลี่ยมที่มีอยู่สามารถตัดได้เพียงสองสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ เท่านั้น มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างรูปตัว L และอื่น ๆ เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ใช้งานสูงสุดที่มีการตัดกิโยตินอาจเล็กกว่าพื้นที่ใช้งานสูงสุดโดยไม่มีข้อ จำกัด

คำถามของฉันคือ: มีขอบเขตบนและล่างในอัตราส่วนระหว่างการตัดกิโยตินที่ดีที่สุดและการตัดทั่วไปที่ดีที่สุดหรือไม่?

งานที่เกี่ยวข้อง: Song et al. (2009)อธิบายขั้นตอนวิธีการที่ใช้เป็นชนิดที่มีข้อ จำกัด ของการตัดกระดาษ - การตัดกระดาษละสองครั้ง พวกเขาพิสูจน์โดยใช้ข้อ จำกัด ทางเรขาคณิตที่อัตราส่วนระหว่างสูงสุดตัดกระดาษละสองครั้งเพื่อตัดกระดาษสูงสุดที่มีขอบเขตโดย{7} ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ที่เปรียบเทียบได้เกี่ยวกับอัตราส่วนระหว่างการตัดกิโยตินสูงสุดต่อการตัดทั่วไปสูงสุด$\frac{6}{7}$

แม้ว่าจะไม่แน่น แต่ฉันสามารถเสนอขอบเขตล่างและบนของและในกรณีที่เลวร้ายที่สุดระหว่างการตัดกิโยตินและการตัดทั่วไป$1/4$$3/4$

ขอให้เราเริ่มต้นด้วยการที่ถูกผูกไว้บนและถือว่าเราจะได้รับชิ้นส่วนที่สองของแก้วที่มีความยาวด้านข้างของ2นอกจากนี้เราได้ว่าผู้ซื้อเป็นผู้หนึ่งที่มีความสนใจในแผ่นกระจกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้างและระยะเวลาใน1+เมื่อใช้การตัดทั่วไปวิธีที่ดีที่สุดจะมีลักษณะคล้ายกับภาพต่อไปนี้โดยมีสี่สี่เหลี่ยมที่ต้องการวางรอบความยาวด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กน้อยตรงกลาง$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ารูปแบบการตัดนี้ไม่สามารถทำได้ด้วยการตัดกิโยติน ในความเป็นจริงรูปแบบการตัดใด ๆ ที่ใช้การตัดกิโยตินนั้นสามารถบรรจุสี่เหลี่ยมได้สูงสุด 3 อันที่ต้องการลงในจตุรัสดั้งเดิม เป็นผลให้อัตราส่วนที่เลวร้ายที่สุดระหว่างการตัดกระดาษและตัดทั่วไปอย่างน้อย3/4$3/4$

ต่อไปเรามาดูที่ขอบเขตล่าง ให้และเป็นความยาวด้านของแผ่นกระจกดั้งเดิม โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเราสามารถสรุปได้ว่ามีผู้ซื้อเช่นว่าและL มิฉะนั้นแผ่นงานต้นฉบับจะใช้ไม่ได้ไม่ว่าเราจะใช้การตัดกิโยตินหรือการตัดทั่วไป อย่างไรก็ตามการใช้การตัดกิโยตินเราสามารถตัดอย่างน้อยหนึ่งในสี่ของแผ่นงานต้นฉบับได้โดยเพียงจัดแนวสี่เหลี่ยมที่ต้องการโดยผู้ซื้อดังแสดงในภาพต่อไปนี้$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

ขอให้สังเกตว่าสอดคล้องสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีแดงให้เป็นหนึ่งในสี่ของทั้งแผ่นและได้รับการคุ้มครองอย่างสมบูรณ์โดยผู้ซื้อสี่เหลี่ยมสีเทาปรารถนา บนมืออื่น ๆ ถึงแม้ว่าเราจะใช้การตัดโดยทั่วไปเราจะไม่สามารถใช้มากกว่าแผ่นทั้งหมดซึ่งทำให้เรามีขีด จำกัด ล่างของ1/4$i$$1/4$

ฉันทราบว่าขอบเขตล่างค่อนข้างอ่อนแอและอาจปรับปรุงได้ด้วยการทำงานอีกเล็กน้อย แต่มันเป็นการเริ่มต้น