ฟังก์ชั่นเปรียบเสมอ asymptotically?

เมื่อเราเปรียบเทียบความซับซ้อนของอัลกอริธึมสองตัวมันเป็นกรณีที่หรือ (อาจเป็นได้ทั้งคู่) โดยที่และคือเวลาทำงาน (ตัวอย่าง) ของอัลกอริธึมทั้งสองg ( n ) = O ( f ( n ) ) f $f(n) = O(g(n))$$g(n) = O(f(n))$$f$$g$

เป็นเช่นนี้เสมอหรือไม่ นั่นคืออย่างน้อยหนึ่งในความสัมพันธ์และถืออยู่เสมอนั่นคือสำหรับฟังก์ชั่นทั่วไป , ? ถ้าไม่เราต้องตั้งสมมติฐานอะไรและ (ทำไม) มันก็โอเคเมื่อเราพูดถึงอัลกอริทึมที่ใช้เวลา?g ( n ) = O ( f ( n ) ) f $f(n) = O(g(n))$$g(n) = O(f(n))$$f$$g$

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชั่นที่เปรียบเทียบได้กับสัญกรณ์พิจารณาฟังก์ชั่นและ ยิ่งไปกว่านั้นฟังก์ชั่นเช่นจะเกิดขึ้นจริงตามเวลาทำงานของอัลกอริทึม พิจารณาอัลกอริธึมแรงเดรัจฉานที่เห็นได้ชัดเพื่อตรวจสอบว่าจำนวนเต็มที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่:ฉ( n ) = n กรัม( n ) = { 1 ถ้า  n  เป็นเลขคี่ , n 2 ถ้า  nคือแม้ g ( n ) $O(\cdot)$$f(n) = n$

IsPrime(n):
  for i ← 2 to (n-1)
     if i·⌊n/i⌋ = n
        return False
  return True

อัลกอริทึมนี้ต้องการการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เมื่อคือเท่ากันการดำเนินงานเมื่อเป็นแบบประกอบ แต่การดำเนินการเมื่อเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นอย่างเป็นทางการขั้นตอนวิธีนี้คือหาที่เปรียบมิได้กับอัลกอริทึมที่ใช้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์สำหรับทุก nn O ( $\Theta(1)$$n$$O(\sqrt{n})$$n$$\Theta(n)$$n$$\sqrt{n}$ $n$

ส่วนใหญ่เวลาที่เมื่อเราวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีการเราเพียงต้องการ asymptotic ผูกพันบนของฟอร์มสำหรับบางฟังก์ชั่นที่ค่อนข้างง่ายฉตัวอย่างเช่นหนังสือเรียนส่วนใหญ่จะรายงาน (และถูกต้อง) เพียงอย่างเดียวที่ทำงานในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันขอบเขตบนทั่วไปเป็นผลคูณของเลขชี้กำลังพหุนามและลอการิทึม (แม้ว่าสัตว์ประหลาดอื่น ๆ เช่นแฟคทอเรียลและลอการิทึมแบบวนซ้ำก็ปรากฏขึ้นเป็นครั้งคราว) ไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่าฟังก์ชั่นสองอย่างนี้เทียบเคียงกันได้$O(f(n))$$f$IsPrime(n)$O(n)$

ดูเพิ่มเติมคำถามนี้ MathOverflow

จากวิกิพีเดียความหมายของสัญกรณ์ O ใหญ่:

ถ้าหากว่ามีค่าคงที่เป็นบวก M เช่นนั้นสำหรับค่าที่มีขนาดใหญ่เพียงพอของ , f ( x )คือ M มากที่สุดคูณด้วยg ( x ) ในค่าสัมบูรณ์ นั่นคือf ( x ) ∈ O ( g ( x ) )ถ้าหากว่ามีจำนวนจริงเป็นบวกMและจำนวนจริงx 0เช่นนั้น$x$$f(x)$$g(x)$$f(x) \in O(g(x))$$M$$x_0$

$|f(x)|<= M |g(x)| \quad \text{for all} \; x > x_0$

เกิดอะไรขึ้นสำหรับฟังก์ชั่นที่ไม่ได้มาบรรจบกัน (เป็นค่าคงที่หรือไม่สิ้นสุด)

ดูฟังก์ชั่นและg ( x ) = $f(x) = |xsin(x)|$$g(x) = 10$

สำหรับแต่ละมีบางx > x 0เช่นนั้นx = k πดังนั้นf ( x ) = 0 - ดังนั้นสำหรับแต่ละM - M f ( x ) > g ( x )จะให้ผลเป็นเท็จและg ( x $x_0$$x > x0$$x = k\pi$$f(x) = 0$$M$$Mf(x) > g(x)$$g(x) \; \not\in O(f(x))$

อย่างไรก็ตามมันง่ายที่จะเห็นว่าไม่ถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้นสำหรับแต่ละM , x 0 , มีบางx > x 0ซึ่งf ( x ) < M g ( x )จะให้ผลเป็นเท็จและf ( x ) ∉ O ( g ( x ) $|xsin(x)|$$M$$x_0$$x > x_0$$f(x) < Mg(x)$$f(x) \not\in O(g(x))$

หมายเหตุ: สำหรับคำนิยามหากบิ๊กโอที่อนุญาตให้ความแตกต่างคงที่สูงสุดระหว่างและg ( x )ความคิดเดียวกันจะใช้กับg ( x ) = log ( x $Mf(x)$$g(x)$$g(x) = \log(x)$

นี่คือฟังก์ชั่นคู่โมโนโพนิกที่ไม่ได้เปรียบเทียบแบบเชิงเส้นกำกับ สิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องเนื่องจากความซับซ้อนส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัตินั้นเป็นจริงแบบโมโนโทนิก

กรัม( x ) = Γ ( ⌊ x - 1 / 2 ⌋ + 3 / 2

$\Gamma$

$\mathcal{L}$$\exp(2\sqrt{\log x + \log\log x})/x^2$$f,g \in \mathcal{L}$$f = o(g)$$f = \omega(g)$$f/g$

ผลที่สุดคือฟังก์ชั่น "ง่าย ๆ " สองอย่างที่เกิดขึ้นในการวิเคราะห์อัลกอริทึมนั้นเปรียบได้ ที่นี่ "ง่าย" หมายความว่าไม่มีคำจำกัดความของกรณี (นอกเหนือจากกรณีฐานจำนวนมาก) และไม่มีฟังก์ชั่นที่น่าแปลกใจปรากฏขึ้นเช่นฟังก์ชั่น Invermann ซึ่งบางครั้งตัวเลขในเวลาทำงาน