เซตย่อยของเซตวนซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด

คำถามสอบล่าสุดมีดังนี้:

เป็นเซตจำนวนอนันต์ที่ไม่สิ้นสุดซ้ำ พิสูจน์ว่ามีเซตย่อยแบบวนซ้ำแบบไม่สิ้นสุด $A$ $A$

ให้เป็นเซต recursive อนันต์ของ ต้องมีเซตย่อยที่ไม่สามารถนับซ้ำได้หรือไม่? $C$ $A$ $C$

ฉันตอบ 1. แล้ว เกี่ยวกับ 2. ฉันตอบโดยยืนยันและโต้แย้งดังนี้

สมมติว่าเซตย่อยทั้งหมดของมีจำนวนซ้ำซ้ำ เนื่องจากไม่มีที่สิ้นสุดชุดพลังงานของจึงนับไม่ได้ดังนั้นโดยการสันนิษฐานว่าจะมีชุดนับซ้ำจำนวนมากมาย แต่ชุดนับซ้ำที่ซ้ำกันอยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเครื่องทัวริงที่รับรู้พวกเขาและเครื่องทัวริงนับได้ ความขัดแย้ง. ดังนั้นจะต้องมีเซตย่อยที่ไม่สามารถระบุซ้ำได้ $C$ $C$ $C$ $C$

ถูกต้องหรือไม่

computability check-my-proof

— user1435
แหล่งที่มา

มันไม่ถูกต้องในตอนท้ายเนื่องจากแต่ละชุดมีการแจกแจงโดยเครื่องจักรทัวริงจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด คุณสามารถหลีกเลี่ยงปัญหานี้ได้

— Carl Mummert

@Carl: อ่าใช่ขอบคุณ - ผิดพลาด แต่สิ่งที่ฉันต้องการก็คือการฉีดเข้าไปใน TM ไม่ใช่การให้เปล่า ๆ ใช่มั้ย และในคำจำกัดความของทัวริงที่คำนวณได้ในชั้นเรียนของฉันที่ทำงานด้วยกัน TM แต่ละอันเชื่อมโยงกับหนึ่งและหนึ่งฟังก์ชันเท่านั้น ชุดที่แตกต่างดังนั้น -> ฟังก์ชั่นการรับรู้ที่แตกต่างกัน -> TM ที่แตกต่างกันที่คำนวณ

— user1435

! user1435: คุณกำลังย้อนกลับสิ่งต่าง ๆ ในประโยคสุดท้าย แต่ละเครื่องทัวริงคำนวณฟังก์ชั่นเดียว แต่แต่ละฟังก์ชั่นที่คำนวณได้มาจากเครื่องทัวริงมากมาย

— Carl Mummert

แต่ถ้าฟังก์ชั่นของฉัน f แมป {ฟังก์ชั่นการรับรู้ r} ถึง {TMs} ผ่าน f (r) = หนึ่งใน TMs จำนวนมากที่คำนวณได้นั้นฉันมีการฉีดใช่มั้ย หรือฉันคิดว่าฉันสามารถแบ่ง {TMs} โดยความสัมพันธ์ที่เท่ากัน ~ ที่ระบุอนันต์ของ TM ที่คำนวณฟังก์ชันเดียวกันจากนั้นจึงจับคู่ r กับคลาสความเท่าเทียมที่เหมาะสม

— user1435

คาร์ลถูกต้องพวกเขาไม่ได้อยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งแต่ละชุด ce ตรงกับ TM จำนวนมากอย่างไม่ จำกัด เมื่อพิจารณาชุดของวัตถุอื่น ๆ ที่คุณทำในความคิดเห็นของคุณจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลยพวกเขาไม่ใช่ชุดของ TM

— Kaveh

ถูกต้อง.

ชุดอนันต์ทุกชุดมีเซตย่อยที่ไม่สามารถตัดสินใจได้คุณสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ cardinality: Cอันที่จริงแล้วเซตย่อยส่วนใหญ่นั้นไม่สามารถระบุได้ (และคุณสามารถแทนที่ undecidable ด้วยคลาสของภาษาที่นับได้เช่น egce,arithmetical,analytical, ... ) $\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

สิ่งที่ไม่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้คือมันไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับความยากของเซตย่อย เรามักต้องการเซตย่อยที่ง่ายที่สุด วิธีหนึ่งในการทำให้เกิดสิ่งนี้คือการใช้ diagonalization คล้ายกับอาร์กิวเมนต์ cardinality โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถตัดสินใจได้: $C$

กำหนดโดยที่คือ th ce set เห็นได้ชัดว่า Cนอกจากนี้สามารถแก้ไขได้ด้วย oracle สำหรับและ }ดังนั้นถ้าสามารถถอดรหัสได้ดังนั้นคือภาษาที่ใช้ร่วมกัน $D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— Kaveh
แหล่งที่มา

"ทุกเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีเซตย่อยที่ไม่สามารถตัดสินใจได้" นี่มันอ่อนแอกว่าคำกล่าวอ้างที่ฉันพยายามพิสูจน์ ฉันพยายามพิสูจน์ว่า C ต้องมีชุดย่อยที่ไม่ใช่ RE ไม่ใช่ชุดย่อยที่ไม่สามารถถอดรหัสได้ การอ้างสิทธิ์ของฉันยังคงถูกต้องหรือไม่

— user1435

ใช่. คำว่า "undecidable" นั้นมีจำนวนบิตมากเกินไป (Wikipedia มีการสนทนาที่ดี ) ดังนั้นคำตอบนี้อาจหมายถึงสิ่งที่คุณพยายามพิสูจน์

— David Lewis

@ user1435 ใช่อาร์กิวเมนต์เดียวกันใช้ได้กับคลาสใด ๆ ที่นับได้ของภาษาฉันได้อัปเดตคำถามเพื่อให้ชัดเจน

— Kaveh