ฉันจะค้นหาการเป็นตัวแทนที่สั้นที่สุดสำหรับเซตย่อยของ powerset ได้อย่างไร

ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาต่อไปนี้หรือพิสูจน์ความแข็งของ NP

Letเป็นชุดและชุดย่อยของ\ค้นหาลำดับมีความยาวน้อยที่สุดสำหรับแต่ละจะมีเช่นนั้นL $\Sigma$ $A\subseteq\mathcal{P}(\Sigma)$ $\Sigma$ $w\in \Sigma^*$ $L\in A$ $k\in\mathbb{N}$ $\{ w_{k+i} \mid 0\leq i < |L| \} = L$

ตัวอย่างเช่นสำหรับคำว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาเนื่องจากสำหรับมีสำหรับมี 1 $A = \{\{a,b\},\{a,c\}\}$ $w = bac$ $\{a,b\}$ $k=0$ $\{a,c\}$ $k=1$

สำหรับแรงบันดาลใจของฉันฉันพยายามที่จะเป็นตัวแทนของชุดขอบของหุ่นยนต์ที่ จำกัด ซึ่งแต่ละส่วนจะถูกระบุด้วยชุดตัวอักษรจากตัวอักษรอินพุต ฉันต้องการเก็บสตริงเดี่ยวแล้วเก็บตัวชี้ไปที่สตริงนั้นในแต่ละขอบ เป้าหมายของฉันคือลดความยาวของสตริงนั้น

algorithms formal-languages encoding-scheme

— avakar
แหล่งที่มา

ในคำอื่น ๆ ปัญหาคือการสั่งซื้อชุดเป็นลำดับเพิ่ม?

L_{1}, \dots, L_{n}

$L_1, \dots, L_n$

\sum | L_{i} \cap L_{i + 1} |

$\sum |L_i \cap L_{i+1}|$

— Karolis Juodelė

@ KarolisJuodelėผมไม่คิดว่าพอตั้งแต่คุณอาจจะต้องวางองค์ประกอบในเข้าไปครั้งที่สองแม้ว่าพวกเขา 'อีกครั้งในการ1} เช่น , คุณสามารถแบ่งปันระหว่างสองคนแรกหรือสองคนสุดท้าย แต่ไม่ใช่ในหมู่พวกเขาทั้งหมดที่สั้นที่สุดจะbacad

L_{i}, L_{i + 1}, L_{i + 2}

$L_i, L_{i+1}, L_{i+2}$

L_{i} \cap L_{i + 2}

$L_i \cap L_{i+2}$

w

$w$

L_{i + 1}

$L_{i+1}$

{{a, b}, {a, c}, {a, d}}

$\{\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\}\}$

a

$a$

w

$w$

b a c a d

$bacad$

— avakar

@ KarolisJuodelėยิ่งไปกว่านั้นมีบางกรณีที่สำหรับ ,ซึ่งทำให้ซับซ้อนยิ่งขึ้นในกรณีเช่นนี้ "การสั่งซื้อพื้นที่ใกล้เคียง" อาจไม่ทั้งหมด

i \neq j

$i\neq j$

L_{i} \subseteq L_{j}

$L_i\subseteq L_j$

— avakar

แค่ให้กำลังใจถ้าฉันมีคำถามที่ถูกต้องถ้าเซตคือจากนั้นคำตอบสนองความต้องการที่ได้รับ แต่ขั้นต่ำสุด (เช่นคำที่เป็นไปได้) และคำตอบคือ ? :)

A = {{c, o, w}, {o, w, l}, {w, o, l, f}}

$A=\{\{c,o,w\},\{o,w,l\},\{w,o,l,f\}\}$

c o w o w l w o l f

$cowowlwolf$

c o w l f

$cowlf$

— MindaugasK

@MindaugasK ที่ถูกต้องตัวอย่างที่ดีมาก :)

— avakar

ฉันเชื่อว่าฉันพบการลดลงของเส้นทางมิลโตเนียนดังนั้นจึงพิสูจน์ปัญหา NP-hard

เรียกคำว่าพยานถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขจากคำถาม (สำหรับอันมีเช่นนั้น ) $w\in\Sigma^*$ $A$ $L\in A$ $m\geq 1$ $\{w_{m+i}\mid 0\leq i<|L|\} = L$

พิจารณารุ่นที่การตัดสินใจของปัญหาเดิมคือการตัดสินใจว่าสำหรับบางและมีพยานสำหรับของความยาวที่มากที่สุดkปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ปัญหาดั้งเดิมเป็นคำพยากรณ์ในเวลาพหุนาม (หาพยานที่สั้นที่สุดแล้วเปรียบเทียบความยาวกับ ) $A$ $k\geq 0$ $A$ $k$ $k$

ตอนนี้เป็นแกนหลักของการลด ให้เป็นกราฟที่เชื่อมต่อง่ายและไม่มีทิศทาง สำหรับแต่ละให้เป็นเซตที่บรรจุจุดยอดและขอบที่อยู่ติดกันทั้งหมด ชุดและ\} จากนั้นมีเส้นทางที่แฮมิลตันและถ้าหากมีพยานของความยาวที่มากที่สุด2 $G=(V,E)$ $v\in V$ $L_v=\{v\}\cup\{e\in E\mid v\in e\}$ $v$ $\Sigma=E$ $A=\{L_v\mid v\in V\}$ $G$ $A$ $2|E|+1$

พิสูจน์ ให้เป็นเส้นทางมิลโตเนียนในและชุดของขอบทั้งหมดบนเส้นทาง สำหรับแต่ละจุดสุดยอดกำหนดชุดH เลือกโดยพลการสั่งซื้อสำหรับแต่ละU_vคำว่าเป็นพยานสำหรับเนื่องจากเป็นตัวแทนของสตริงย่อย ,โดยและสำหรับแต่ละ , , $v_1e_1v_2\ldots e_{n-1}v_n$ $G$ $H=\{e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}\}$ $v$ $U_v=L_v\setminus H$ $\alpha_v$ $U_v$ $w=\alpha_{v_1}e_1\alpha_{v_2}e_2\ldots e_{n-1}\alpha_{v_n}$ $A$ $L_{v_1}$ $\alpha_1e_1$ $L_{v_n}$ $e_{n-1}\alpha_n$ $v_i$ $i\notin\{1, n\}$ $L_{v_i}$ เป็นตัวแทนจากe_นอกจากนี้ขอบในแต่ละเกิดขึ้นสองครั้งในมีข้อยกเว้นของขอบในซึ่งเกิดขึ้นครั้งเดียวและแต่ละจุดสุดยอดในเกิดขึ้นครั้งเดียวให้| $e_{i-1}u_{v_i}e_i$ $E$ $w$ $|V|-1$ $H$ $V$ $|w|=2|E|+1$

สำหรับทิศทางอื่น ๆ ให้ที่จะเป็นพยานโดยพลสำหรับของความยาวที่มากที่สุด2เห็นได้ชัดว่าแต่ละและเกิดขึ้นในอย่างน้อยหนึ่งครั้ง สมมติว่าแต่ละเกิดมากที่สุดสองครั้งและเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว มิฉะนั้นจะเป็นพยานสั้นสามารถพบได้โดยการเอาองค์ประกอบจากWให้เป็นชุดของขอบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในครั้งเดียว จากสมมติฐานที่กล่าวมาข้างต้นถือว่า. $w$ $A$ $2|E|+1$ $e\in E$ $v\in V$ $w$ $e\in E$ $w$ $v\in V$ $w$ $H\subseteq E$ $w$ $|w|=2|E|-|H|+|V|$

พิจารณาย่อยที่ต่อเนื่องกันของของแบบฟอร์มที่ ,E เราบอกว่าอยู่ติดกัน ขอให้สังเกตว่าถ้าแล้วเพราะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว แต่มันอยู่ติดกับสองจุดในGดังนั้นมากที่สุดคนหนึ่งของสามารถในHในทำนองเดียวกันไม่มีขอบในสามารถเกิดขึ้นในก่อนที่จุดสุดยอดแรกหรือหลังจุดสุดยอดที่ผ่านมา $w$ $ue_1e_2\ldots e_kv$ $u,v\in V$ $e_i\in E$ $u,v$ $e_i\in H$ $e_i=\{u,v\}$ $e_i$ $G$ $e_i$ $H$ $H$ $w$

ตอนนี้มีจุดจึง| จากนั้นก็ต่อว่า2 เนื่องจากเราถือว่าเราได้รับความเท่าเทียมกัน จากนั้นเราจะได้รับ|โดยหลักรังนกพิราบมีขอบจากระหว่างคู่ของจุดที่อยู่ติดกันในแต่ละWแสดงว่าองค์ประกอบทั้งหมดจากตามลำดับที่ปรากฏในWมันตามที่เป็นเส้นทางในมิลจี $|V|$ $|H|\leq |V|-1$ $|w|\geq 2|E|+1$ $|w|\leq 2|E|+1$ $|H|=|V|-1$ $H$ $w$ $h_1h_2\ldots h_{n-1}$ $H$ $w$ $v_1h_1v_2h_2\ldots h_{n-1}v_n$ $G$ $\square$

เนื่องจากปัญหาในการตัดสินใจเลือกเส้นทาง Hamiltonian คือ NP-hard และการลดลงข้างต้นคือพหุนามปัญหาดั้งเดิมคือ NP-hard เช่นกัน

— avakar
แหล่งที่มา