ได้อย่างมีประสิทธิภาพการสุ่มตัวอย่างที่สั้นที่สุด

ให้เป็นกราฟและให้sและเสื้อมีสองจุดของG เราสามารถได้อย่างมีประสิทธิภาพตัวอย่างที่สั้นที่สุดs - เสื้อเส้นทางสม่ำเสมอและเป็นอิสระโดยการสุ่มจากชุดของเส้นทางที่สั้นที่สุดทั้งหมดระหว่างsและเสื้อ ? เพื่อความง่ายเราสามารถสรุปได้ว่าGนั้นง่ายไม่ได้บอกทิศทางและไม่มีน้ำหนัก$G$$s$$t$$G$$s$$t$$s$$t$$G$

แม้ในกราฟที่ จำกัด จำนวนมากจำนวนเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างและtสามารถเป็นเลขชี้กำลังเป็นขนาดGได้ ดังนั้นเราจึงจะเป็นธรรมชาติเหมือนจริงหลีกเลี่ยงการคำนวณทั้งหมดที่สั้นที่สุดs - เสื้อเส้นทาง ฉันไม่รู้เกี่ยวกับกรณีทั่วไป แต่สำหรับฉันแล้วเราสามารถทำสิ่งนี้เพื่อเรียนกราฟพิเศษได้$s$$t$$G$$s$$t$

รู้สึกเหมือนมีบางสิ่งที่บางคนต้องพิจารณาก่อน มีการวิจัยที่มีอยู่ในเรื่องนี้หรืออันที่จริงแล้วมันง่ายที่จะทำแม้กระทั่งกราฟทั่วไป?

ฉันไม่แน่ใจ 100% คำตอบนี้ถูกต้อง แต่ที่นี่จะไป:

ฉันคิดว่าคุณสามารถลดสิ่งนี้เป็นสุ่มเส้นทางใด ๆ อย่างสม่ำเสมอจากใน DAG ที่มีแหล่งเดียวและอ่างเดียว$s-t$

รับกราฟ$G$

1. H$H$
2. แม่: เรียกใช้เป็นส่วนหนึ่งของ BFS ของ Dijkstra สั้นที่สุดเส้นทางเริ่มต้นจากเครื่องหมายโหนดทั้งหมดที่มีที่สั้นที่สุดระยะทางของพวกเขา from- s$s$$s$
3. ให้เป็นระยะทางต่ำสุดจากs - v ; ซึ่งเรารู้จากขั้นตอน BFS ของอัลกอริธึมทางลัดที่สั้นที่สุดของ Dijkstra$d(s,v)$$s-v$
4. จากนั้นทำขั้นตอนต่อไปของอัลกอริธึมทางลัดที่สั้นที่สุดของ Dijkstra รับเส้นทางที่สั้นที่สุดเก็บไว้ใน (โดยย้อนกลับจากtไปยังs )$\mathbf p$$t$$s$
5. ตอนนี้เริ่มวนซ้ำต่อไปนี้ เปิดเผยในความคิดเห็นและด้านล่าง:
   • $q_0=\{t\}$
   • ในขณะที่$q_0 \ne \emptyset$
     • $q_1= \emptyset$
     • สำหรับ$u \in q_0$
       • ดังนั้นเราต้องการค้นหาโหนดถัดไปที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับพา ธ ย่อยสั้นที่สุดนี้จาก$t-u$
       • สำหรับเช่นนั้นd ( s , v ) < d ( s , u $\text{edge}(u,v) \in G$$d(s,v) < d(s,u)$
         • คือโหนดที่อยู่ใกล้เคียงโดยมีค่าน้อยลง d ( s , ⋅ ) (มันจะน้อยกว่า 1 )$v$$d(s,\cdot)$$1$
         • ดังนั้นเป็น subpath ที่เป็นไปได้ในเส้นทางที่สั้นที่สุด$t-u-v$
         • ใส่$v \rightarrow H, \text{di-edge}(u,v)\rightarrow H$
         • ตอนนี้เราต้องตรวจสอบเพื่อนบ้านที่น้อยกว่าของในรอบถัดไป$v$
         • ใส่$v \rightarrow q_1$
     • ตั้งค่าเป็นq 1 : $q_0$$q_1$
       • $q_0 \leftarrow q_1$

โดยพื้นฐานแล้วฉันกำลังเก็บรวบรวมโหนดเป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถใช้ในที่สั้นเส้นทางและวางไว้ในH$H$

เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการทำงาน:

ของ Dijkstra สั้นที่สุดเส้นทางขั้นตอนวิธีการทำงานโดยครั้งแรกที่ทำงาน BFS และทำเครื่องหมายทุกโหนดมีเส้นทางที่สั้นที่สุดของพวกเขาจากs -วี ขั้นตอนต่อไปคือการย้อนกลับจากt - sและติดตามโหนดที่อยู่ติดกันน้อยที่สุด$v\in G$$s-v$$t-s$

สิ่งที่เป็นที่นี่คุณสามารถเลือกใด ๆของโหนดข้างเคียงน้อย สิ่งที่ผมทำนี่คือการเก็บรวบรวมทั้งหมดโหนดน้อยเพื่อนบ้านแต่ละขั้นตอนซึ่งหมายความว่าฉันบัญชีสำหรับทุกที่สั้นที่สุดเส้นทาง

ตอนนี้คุณคิดอย่างรวดเร็ว แต่เดี๋ยวก่อนทำไมถึงแจกแจงเลขชี้กำลัง แต่วิธีของฉันไม่ได้

คำตอบคือเนื่องจากฉันใช้ชุดเพื่อหลีกเลี่ยงการเพิ่มโหนดเดียวกันสองครั้งฉันหลีกเลี่ยงการคำนวณใหม่สำหรับแต่ละเส้นทางที่เป็นไปได้

ตอนนี้เรามี DAG ที่เราสามารถสำรวจในทางใด ๆ จาก , และได้รับที่สั้นที่สุดย้อนกลับเส้นทางจากs -เสื้อ กราฟควรมีtเป็นแหล่งข้อมูลเท่านั้นและsเป็นอ่างล้างจานเท่านั้น$t-s$$s-t$$t$$s$

หากข้างต้นถูกต้องฉันคิดว่าเราสามารถทำขั้นตอนต่อไปและแก้ไขปัญหาได้ดังนี้

ให้แต่ละโหนดใน DAG เป็น node-weight โหนดน้ำหนักจะมีจำนวนของเส้นทางจากจากโหนดที่sขอให้เราเรียกสิ่งนี้ว่าW ( วี )$s$$w(v)$

คุณสามารถคำนวณเหล่านี้อย่างรวดเร็วดูขั้นตอนวิธีการที่พบจำนวนเส้นทางที่เรียบง่ายจาก s ไปทีจี

เมื่อเรามีน้ำหนักโหนดเราสามารถเลือกเส้นทางโดย:

• จัดวาง DAG เป็นโครงสร้างระดับ (สำหรับการสร้างภาพข้อมูล)
• ในแต่ละระดับเลือกลำดับโดยพลการระหว่างโหนดเช่น แนวคิดของ "จากซ้ายไปขวา"
• การข้าม DAG: ในแต่ละขั้นตอน , i ∈ [ 1 , | p | ] (โดยที่| ⋅ |หมายถึงขนาดของในกรณีนี้ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุด): $i$$i \in \left[1,\left|\mathbf p\right|\right]$$|\cdot|$
  • Let เป็นโหนดปัจจุบัน (เริ่มต้นที่T )$u_i$$t$
  • เพิ่มน้ำหนักทั้งหมดของลูกของและใช้ RNG เลือกโหนดย่อยหนึ่งโหนด, v i , ระหว่างเด็กที่ถ่วงน้ำหนักอย่างสม่ำเสมอ$u_i$$v_i$
  • ตั้งและไปที่ขั้นตอนถัดไป$u_{i+1} = v_i$

นี่คือวิธีการแก้ปัญหาตามความคิดในคำตอบของ Realz Slaw โดยพื้นฐานแล้วเป็นการแสดงออกถึงความคิดของเขาอีกครั้งซึ่งอาจชัดเจนหรือง่ายต่อการติดตาม แผนคือเราจะดำเนินการในสองขั้นตอน:

1. อันดับแรกเราจะสร้างกราฟมีคุณสมบัติต่อไปนี้: เส้นทางใด ๆ จากsถึงtในSคือเส้นทางที่สั้นที่สุดจากsถึงtในGและเส้นทางที่สั้นที่สุดจากsถึงtในGก็มีอยู่ในSด้วย ดังนั้นSประกอบด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุดในG : เส้นทางที่สั้นที่สุดทั้งหมดและไม่มีอะไรเพิ่มเติม เมื่อมันเกิดขึ้นSจะเป็น DAG$S$$s$$t$$S$$s$$t$$G$$s$$t$$G$$S$$S$$G$$S$

2. ต่อไปเราจะได้ลิ้มลองอย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่มจากทุกเส้นทางจากไปทีในS$s$$t$$S$

วิธีนี้ generalizes ไปโดยพลการกำกับกราฟตราบเท่าที่ขอบทั้งหมดมีน้ำหนักในเชิงบวกดังนั้นฉันจะอธิบายขั้นตอนวิธีของฉันในคำเหล่านั้น Let W ( U , V )หมายถึงน้ำหนักในขอบยู→วี (generalizes คำสั่งนี้ปัญหาที่คุณให้. ถ้าคุณมีกราฟไม่ได้ชั่งเพียงสมมติขอบทุกคนมีน้ำหนัก 1. ถ้าคุณมี undirected กราฟ, การรักษาขอบแต่ละไม่มีทิศทาง( U , V )ขณะที่ทั้งสองขอบกำกับยู→ V และV → คุณ )$G$$w(u,v)$$u \to v$$(u,v)$$u\to v$$v\to u$

ขั้นตอนที่ 1: สารสกัดจากS$S$ เรียกใช้แหล่งเดียวอัลกอริทึมที่สั้นที่สุดเส้นทาง (เช่นอัลกอริทึมของ Dijkstra) บนเริ่มต้นจากแหล่งที่มาของ สำหรับแต่ละจุดสุดยอดวีในGให้d ( s , V )หมายถึงระยะทางจากsไปวี$G$$s$$v$$G$$d(s,v)$$s$$v$

ตอนนี้กำหนดกราฟดังนี้ มันประกอบด้วยขอบทุกU → วีดังกล่าวว่า (1) U → วีเป็นขอบในG , และ (2) d ( s , V ) = d ( s , U ) + W ( U , V )$S$$u \to v$$u \to v$$G$$d(s,v) = d(s,u) + w(u,v)$

กราฟมีคุณสมบัติที่สะดวก:$S$

• เส้นทางที่สั้นที่สุดจากถึงtในGมีอยู่เป็นเส้นทางในS : เส้นทางที่สั้นที่สุดs = v 0 , v 1 , v 2 , … , v k = tในGมีคุณสมบัติที่d ( s , v i + 1 ) = d ( s , v i ) + w ( v i , v $s$$t$$G$$S$$s=v_0,v_1,v_2,\dots,v_k=t$$G$เพื่อให้ขอบวีฉัน →วีฉัน+ 1อยู่ในS$d(s,v_{i+1})=d(s,v_i)+w(v_i,v_{i+1})$$v_i \to v_{i+1}$$S$

• ทุกเส้นทางในจากsไปทีเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดในG โดยเฉพาะอย่างยิ่งพิจารณาเส้นทางใด ๆ ในSจากsไปทีพูดs = v 0 , V 1 , V 2 , ... , วีk = T ความยาวของมันถูกกำหนดโดยผลรวมของน้ำหนักของขอบคือ∑ k i = 1 w ( v i - 1 , v i$S$$s$$t$$G$$S$$s$$t$$s=v_0,v_1,v_2,\dots,v_k=t$$\sum_{i=1}^k w(v_{i-1},v_i)$แต่ตามนิยามของผลรวมนี้คือ∑ k i = 1 ( d ( s , v i ) - d ( s , v i - 1 ) , ซึ่งกล้องโทรทรรศน์ไปยังd ( s , t ) - d ( s , s ) = d ( s , t )ดังนั้นเส้นทางนี้เป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดจากs ถึงtใน$S$$\sum_{i=1}^k (d(s,v_i)-d(s,v_{i-1})$$d(s,t)-d(s,s)=d(s,t)$$s$$t$$G$.

• ในที่สุดการไม่มีขอบน้ำหนักศูนย์ในบอกเป็นนัยว่าSคือเดก$G$$S$

ขั้นตอนที่ 2: ตัวอย่างเส้นทางสุ่ม ตอนนี้เราสามารถทิ้งน้ำหนักบนขอบในที่และตัวอย่างเส้นทางสุ่มจากsไปทีในS$S$$s$$t$$S$

หากต้องการความช่วยเหลือเกี่ยวกับเรื่องนี้เราจะทำ precomputation การคำนวณสำหรับแต่ละจุดสุดยอดวีในSที่n ( วี)นับจำนวนของเส้นทางที่แตกต่างจากวีไปที การคำนวณล่วงหน้าสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้นโดยการสแกนจุดยอดของSในลำดับการเรียงทอพอโลยีโดยใช้ความสัมพันธ์การเกิดซ้ำดังต่อไปนี้:$n(v)$$v$$S$$n(v)$$v$$t$$S$

ที่หมายถึงผู้สืบทอดของโวลต์คือSucc ( V ) = { W : วี→ W  เป็นขอบใน  S }และที่เรามีกรณีฐานn ( T ) = 1$\text{succ}(v)$$v$$\text{succ}(v) = \{w : v \to w \text{ is an edge in $S$}\}$$n(t)=1$

ต่อไปเราจะใช้คำอธิบายประกอบเพื่อสุ่มเส้นทางแบบสุ่ม เราเข้ามาครั้งแรกโหนดs จากนั้นเราจะสุ่มเลือกหนึ่งในผู้สืบทอดของsกับทายาทWถ่วงน้ำหนักด้วยn ( W ) ในคำอื่น ๆ :$n(\cdot)$$s$$s$$w$$n(w)$

choosesuccessor(v):
    n = 0
    for each w in succ(w):
        n = n + n(w)
    r = a random integer between 0 and n-1
    n = 0
    for each w in succ(w):
        n = n + n(w)
        if r < n:
            return w

ในการเลือกเส้นทางที่สุ่มเราซ้ำ ๆ ย้ำกระบวนการนี้คือและวีฉัน+ 1 = ( V ฉัน ) ส่งผลให้เส้นทางคือเส้นทางที่ต้องการและมันจะถูกเก็บตัวอย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่มจากเส้นทางที่สั้นที่สุดจากทั้งหมดsไปที$v_0=s$$v_{i+1} =$ choosesuccessor$(v_i)$$s$$t$

หวังว่านี่จะช่วยให้คุณเข้าใจโซลูชันของ Realz Slaw ได้ง่ายขึ้น เครดิตทั้งหมดให้กับ Realz Slaw สำหรับวิธีการแก้ปัญหาที่สวยงามและสะอาดสำหรับปัญหานี้!

กรณีหนึ่งนี้ไม่ได้จัดการเป็นกรณีที่ขอบบางมีน้ำหนัก 0 หรือน้ำหนักลบ อย่างไรก็ตามปัญหาอาจไม่ได้รับการกำหนดอย่างชัดเจนในกรณีดังกล่าวเนื่องจากคุณสามารถมีเส้นทางที่สั้นที่สุดได้หลายเส้นทาง