ความซับซ้อนของปัญหาการยอมรับลูกแมว

14

นี้ขึ้นมาในขณะที่ผมพยายามที่จะตอบคำถามนี้ได้ที่ สายไฟความยาวลด ฉันจะเรียกสิ่งนี้ว่า "ปัญหาการแต่งงานหลายคน" แต่อินเทอร์เน็ตดังนั้นลูกแมว เย้!

สมมติว่าเรามี $M$ ลูกแมวที่จะต้องนำไปใช้โดย $N$ คน $M > N$ Nสำหรับแต่ละลูกแมว $i$ และแต่ละคน $j$ มีค่าใช้จ่าย $c_{ij}$ เจเราต้องการลดค่าใช้จ่ายโดยรวมในการรับลูกแมวทั้งหมดที่นำมาใช้ นอกจากนี้ยังมีชุดของข้อ จำกัด : แต่ละคน $j$ สามารถที่จะนำมาใช้ไม่เกิน $u_j$ ลูกแมว

ปัญหาจะง่ายมากหากไม่มีข้อ จำกัด ลูกแมวแต่ละตัว $i$ ไปกับบุคคล $j$ ซึ่ง $c_{ij}$ นั้นน้อยที่สุด ด้วยข้อ จำกัด มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหานี้หรือว่าเป็นปัญหา NP-hard

algorithms complexity-theory

— หลงทางลอจิก
แหล่งที่มา

5

นี่เป็นปัญหาการไหลของค่าใช้จ่ายสูงสุดขั้นต่ำ

พิจารณากราฟ $G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$ โดยที่คือเซตของลูกแมวคือกลุ่มคน $A$ $B$

ให้เป็นความจุของขอบและ $C:E\to \mathbb{R}^+$ เป็นค่าของขอบ เรามั่นใจว่า $c:E\to \mathbb{R^+}$

มีขอบระหว่างเป็นที่และและ , $a_i,b_j$ $a_i\in A$ $b_j\in B$ $C(a_i,b_j)=1$ J $c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
มีขอบระหว่างเป็นและและ , $s$ $a_i\in A$ $C(s,a_i)=1$ 0 $c(s,a_i)=0$
มีขอบระหว่างเป็นและและ , 0 $b_j\in B$ $t$ $C(b_j,t)=u_j$ $c(b_j,t)=0$

หากการไหลสูงสุดเป็นแล้วเรารู้ว่ามีทางออก คุณสามารถสร้างโซลูชัน min-cost จาก min-cost max-flow $M$

— เจ้า Xu
แหล่งที่มา

4

นี่คือปัญหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบน้ำหนักขั้นต่ำซึ่งเป็นพหุนาม พิจารณากราฟสองส่วนบริบูรณ์ซึ่งในมีโหนดสำหรับแต่ละลูกแมว , ประกอบด้วยสำเนาของโหนดสำหรับคนแต่ละและขอบระหว่างและสำเนาแต่ละ , มีน้ำหนักเจ $(L , R , E)$ $L$ $l_i$ $i$ $R$ $u_j$ $r_{j}$ $j$ $e_{ij} \in E$ $l_i$ $r_{j}$ $c_{ij}$

เรารู้ว่ามิฉะนั้นลูกแมวทุกคนอาจไม่สามารถกำหนดให้กับบุคคลได้ $|L| \leq |R|$

เนื่องจากการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบจะต้องตรงกับโหนดทั้งหมดเราจึงต้องเพิ่มโหนดดัมมี่ให้กับ (เพื่อรับ ) และเชื่อมต่อกับขอบน้ำหนักศูนย์ให้กับโหนดทั้งหมดใน $L$ $|L| = |R|$ $R$ R

— พารัม
แหล่งที่มา

2

อาจเป็นไปได้ที่น่าสนใจคือการสังเกตว่าหนึ่งสามารถลดพาร์ทิชันให้เป็นตัวแปรของปัญหานี้ รับเป็นตัวอย่างของพาร์ทิชันที่มีองค์ประกอบกับแม้จากที่เราต้องเลือกชุดย่อยกับเช่นนั้น $\{x_1,\dots,x_q\}$ $q$ $S \subseteq \{1,\dots,q\}$ $|S|=q/2$ $\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$ . (โปรดทราบว่าข้อกำหนดในการเลือกองค์ประกอบครึ่งหนึ่งนั้นไม่ใช่แบบฟอร์มปกติ แต่แบบนี้ยังคงเป็นปัญหาแบบยาก) ให้ลูกแมวแต่ละตัวเป็นองค์ประกอบของชุด ให้มีสองคน ให้น้ำหนักเป็นและ ; ปล่อยให้ 2แล้วตัวอย่างของลูกแมวยอมรับนี้มีสูงสุดของ $c_{i1} = x_i$ $c_{i2} = -x_i$ $u_1 = u_2 = q/2$ $0$ IFF อินสแตนซ์ของพาร์ทิชันมีทางออก

$C$ $Cq$

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาดั้งเดิม แต่เนื่องจาก "หนึ่งในการย่อ / ขยายเป็น NP-hard ที่เห็นบ่อยครั้งส่วนอีกอันอยู่ใน P" การตั้งค่าสำหรับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial ฉันจะเริ่มมองหา อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ

— András Salamon
แหล่งที่มา