มีปัญหา NP ไม่ใช่ใน P และไม่ใช่ NP Complete หรือไม่

34

มีปัญหาใด ๆ ที่ทราบใน (และไม่ใช่ใน ) ที่ยังไม่เสร็จความเข้าใจของฉันคือว่าไม่มีปัญหาที่เป็นที่รู้จักในขณะนี้ในกรณีนี้ แต่ก็ไม่ได้ถูกตัดออกเป็นความเป็นไปได้ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

หากมีปัญหานั่นคือ (ไม่ใช่ ) แต่ไม่ใช่นี่จะเป็นผลของการไม่มีมอร์ฟิซึ่มที่มีอยู่ระหว่างอินสแตนซ์ของปัญหานั้นและชุด? หากเป็นเช่นนี้เราจะรู้ได้อย่างไรว่าปัญหาไม่ 'ยากกว่า' ที่เราระบุในขณะนี้เป็นชุด ? $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP\text{-}complete}$

complexity-theory np-complete p-vs-np

— vpiTriumph
แหล่งที่มา

1

ดูคำถามที่เกี่ยวข้องนี้ด้วย

— ราฟาเอล

25

มีปัญหาใด ๆ ที่ทราบใน NP (และไม่ใช่ใน P) ที่ยังไม่เสร็จสมบูรณ์หรือไม่ ความเข้าใจของฉันคือว่าไม่มีปัญหาที่เป็นที่รู้จักในขณะนี้ในกรณีนี้ แต่ก็ไม่ได้ถูกตัดออกเป็นความเป็นไปได้

ไม่ไม่เป็นที่รู้จัก (ยกเว้นภาษาที่น่าสนใจและทั้งสองนี้ไม่สมบูรณ์เนื่องจากคำจำกัดความของการลดลงหลายครั้งโดยทั่วไปทั้งสองนี้จะถูกเพิกเฉยเมื่อพิจารณาถึงการลดลงหลายครั้ง) การดำรงอยู่ของปัญหาที่ไม่สมบูรณ์สำหรับ wrt หลายคน - เวลาลดพหุนามจะหมายความว่าซึ่งยังไม่เป็นที่รู้จัก . หากทั้งสองเรียนที่แตกต่างกันแล้วเรารู้ว่ามีปัญหาในการที่ไม่สมบูรณ์สำหรับมันจะมีปัญหาใด ๆ ใน{P} $\emptyset$ $\Sigma^*$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

หากมีปัญหาที่เป็น NP (ไม่ใช่ P) แต่ไม่ใช่ NP Complete นี่จะเป็นผลมาจากไม่มีมอร์ฟิซึ่มส์ที่มีอยู่ระหว่างอินสแตนซ์ของปัญหานั้นและชุด NP Complete หรือไม่

หากทั้งสองเรียนความซับซ้อนที่แตกต่างกันแล้วโดยทฤษฎีบทของ Ladnerมีปัญหาซึ่งเป็น -intermediate คือพวกเขาอยู่ระหว่างและ{-}} $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP\text{-}complete}$

หากกรณีนี้เราจะรู้ได้อย่างไรว่าปัญหา NP ไม่ได้ 'ยาก' กว่าสิ่งที่เราระบุว่าเป็นชุด NP Complete ในขณะนี้

พวกเขายังคงลดเวลาแบบพหุนามถึงปัญหาดังนั้นพวกเขาจึงไม่สามารถยากกว่าปัญหา $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP\text{-}complete}$

— Kaveh
แหล่งที่มา

ไม่กี่ปีที่ผ่านมา แต่ฉันรู้สึกว่าปัญหา NP-Hard เหมาะสมกับคำอธิบายของ OP พวกเขาเข้ากันได้ที่ไหน

— เควิน

2

@ เควิน: ไม่ปัญหา NP-hard หมายความว่าปัญหานั้นยากอย่างน้อยที่สุดเท่าปัญหาที่ยากที่สุดใน NP

— Huck Bennett

สิ่งที่เกี่ยวกับปัญหากับ psuedo-polynomial เวลาทำงาน?

— Joe

@ โจฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไรถ้าคุณมีคำถามโพสต์เป็นคำถามใหม่

— Kaveh

1

แน่นอนว่าสมมติว่า P! = NP ปัญหาดังกล่าวน่าจะเป็นกราฟ Isomorphism ใช่ไหม?

— levi

11

ตามที่ @Kaveh ตอบคำถามนี้น่าสนใจก็ต่อเมื่อเราถือว่า ; ส่วนที่เหลือของคำตอบของฉันใช้เป็นข้อสันนิษฐานและส่วนใหญ่จะให้ลิงก์เพื่อทำให้ความอยากอาหารของคุณเปียก ภายใต้สมมติฐานนั้นโดยทฤษฎีบทของ Ladner เรารู้ว่ามีปัญหาที่ไม่ได้อยู่ในหรือ ; ปัญหาเหล่านี้จะเรียกว่า -intermediate หรือNPIที่น่าสนใจก็คือทฤษฎีบทของ Ladner สามารถนำไปใช้กับคลาสความซับซ้อนอื่น ๆเพื่อสร้างปัญหาระหว่างกลางที่คล้ายกัน นอกจากทฤษฎีบทนี้ยังหมายถึงว่ามีลำดับชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดของปัญหาที่เกิดขึ้นกลางที่ไม่ได้โพลีเวลาออกซิเจนแต่ละอื่น ๆ ในNPI $P \neq NP$ $P$ $NPC$ $NP$ $NPI$ $NPI$

น่าเสียดายที่แม้จะมีสมมติฐานมันก็ยากที่จะหาปัญหาธรรมชาติที่จะพิสูจน์ได้ว่า (แน่นอนว่าคุณมีปัญหาเทียมที่มาจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ladner) ดังนั้นแม้สมมติว่าในเวลานี้เราสามารถเชื่อได้ว่าปัญหาบางอย่างเป็นเท่านั้น แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ เรามาถึงความเชื่อดังกล่าวเมื่อเรามีหลักฐานที่สมเหตุสมผลที่จะเชื่อว่าปัญหาไม่ได้อยู่ในและ / หรือไม่อยู่ใน ; หรือเพียงแค่เมื่อมีการศึกษามาเป็นเวลานานและหลีกเลี่ยงการปรับให้เข้ากับชั้นเรียนทั้งสอง มีรายการปัญหาที่ครอบคลุมในคำตอบนี้ $P \neq NP$ $NPI$ $P \neq NP$ $NPI$ $NP$ $NPC$ $P$ . มันมีรายการโปรดตลอดเวลาเช่นแฟ, บันทึกไม่ต่อเนื่องและกราฟมอร์ฟ

ที่น่าสนใจปัญหาเหล่านี้ (ที่โดดเด่น: แฟและการแยกกัน) มีการแก้ปัญหาเวลาพหุนามในคอมพิวเตอร์ควอนตัม (เช่นพวกเขาอยู่ใน ) ปัญหาอื่น ๆ (เช่นกราฟ - มอร์ฟิซึ่มส์) ไม่เป็นที่ทราบกันว่าอยู่ในและมีการวิจัยอย่างต่อเนื่องเพื่อแก้ไขคำถาม ในทางกลับกันก็สงสัยว่าดังนั้นคนไม่เชื่อว่าเราจะมีอัลกอริทึมควอนตัมที่มีประสิทธิภาพสำหรับ SAT (แม้ว่าเราจะได้ความเร็วเป็นกำลังสอง) มันเป็นคำถามที่น่าสนใจที่จะต้องกังวลเกี่ยวกับสิ่งที่จัดเรียงของโครงสร้าง ปัญหาต้องเพื่อที่จะอยู่ใน BQP $BQP$ $BQP$ $NPC \not\subseteq BQP$ $NPI$ $BQP$

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

ผลลัพธ์ล่าสุดโดย Babai (ดูjeremykun.com/2015/11/12/… ) ให้อัลกอริทึม quasipolynomial สำหรับกราฟมอร์ฟมอร์ฟิสซึ่มโดยทั่วไปจะลบออกจาก NPI หากผลลัพธ์นั้นถือ ที่น่าสนใจมันเป็นปัญหาที่ไม่รู้ว่าอยู่ใน BQP

— Frédéric Grosshans

1

@ FrédéricGrosshansที่มีอัลกอริธึมเวลา quasipolynomial ไม่ได้ลบคุณออกจาก NPI (อันที่จริงแล้วมันจะไม่ลบคุณออกจาก NPC ด้วยซ้ำเว้นแต่ว่าคุณจะมีสมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่า P! = NP) ผลลัพธ์ของ Babai (ถ้าถูกต้องซึ่งน่าจะเป็น) มีเพียงหลักฐานที่แสดงว่า GraphIso อาจเป็น P เนื่องจากในอดีตเมื่ออัลกอริทึม quasipolynomial สำหรับปัญหาที่ยากลำบากพวกเขาก็นำไปสู่อัลกอริธึมแบบพหุนาม

— Artem Kaznatcheev

1

@ FrédéricGrosshans Babai ถอนข้อเรียกร้องของรันไทม์ เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดในการวิเคราะห์

— กราฟิลส์

@ ราฟาเอลต่อความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันฉันไม่คิดว่า Babai ผ่อนคลาย quasipolynomial ไปยัง subexponential ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการอภิปรายโดยเฉพาะ

— Artem Kaznatcheev

เนื่องจากความคิดเห็นนั้นยังอยู่ที่นี่ฉันไม่ต้องการให้มันไม่ถูกแก้ไข (โดยทั่วไปฉันติดตามทุกเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น "Babai" บนเว็บไซต์และโพสต์ความคิดเห็นเดียวกัน.) คุณสามารถตั้งค่าสถานะความคิดเห็นทั้งหมดที่รู้สึกล้าสมัยเช่นนี้

— กราฟิลส์

7

ไม่มีNPปัญหาที่สมบูรณ์เป็นที่รู้จักกันที่จะอยู่ในP หากมีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP- ที่เสร็จสมบูรณ์แล้วP = NPเพราะปัญหาใด ๆ ในNPมีการลดเวลาแบบพหุนามในแต่ละปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของNP (ที่จริงวิธีการ " NPสมบูรณ์" หมาย.) และเห็นได้ชัดว่าถ้าทุกNPปัญหาที่สมบูรณ์อยู่นอกของP , ที่นี้หมายถึงว่าP ≠ NP เราไม่แน่ใจจริงๆว่าทำไมมันยากที่จะแสดงทางเดียวหรืออื่น ๆ ; ถ้าเรารู้คำตอบของคำถามนั้นเราอาจจะรู้มากขึ้นเกี่ยวกับPและNP เรามีเทคนิคการพิสูจน์บางอย่างที่เรารู้ว่าไม่ได้ผล (ยกตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์และการพิสูจน์ตามธรรมชาติ) แต่ไม่มีคำอธิบายที่ชัดเจนว่าทำไมปัญหานี้ถึงยาก

หากมีปัญหาในการNPซึ่งไม่ได้อยู่ในPนั้นมีจริงลำดับชั้นไม่มีที่สิ้นสุดของปัญหาในการNPระหว่างผู้ที่อยู่ในPและผู้ที่มีNPสมบูรณ์: นี่คือผลที่เรียกว่าทฤษฎีบท Ladner ของ

หวังว่านี่จะช่วยได้!

— templatetypedef
แหล่งที่มา

โปรดอธิบาย: ไม่มีปัญหาใน NP ทราบว่าไม่อยู่ใน P หรือไม่? ไม่ใช่ P ทั้งหมดใน NP แล้วใช่ไหม

1

@ Shimano- เหล่านี้เป็นแนวคิดที่แตกต่างกันสอง: ปัญหาทั้งหมดใน P เป็นที่รู้จักกันใน NP อย่างไรก็ตามเราไม่ทราบว่าปัญหาใด ๆ ใน NP ไม่ได้อยู่ใน P. นั่นคือเรารู้ว่า P เป็นเซตย่อยของ NP แต่เราไม่รู้ว่า NP เป็นเซตย่อยของ P. หรือไม่

— templatetypedef

ตอนนี้สิ่งต่าง ๆ เริ่มชัดเจนขึ้น ขอบคุณมากสำหรับการตอบกลับอย่างรวดเร็วของคุณ ต้องการคำชี้แจงเพิ่มเติมอีกหนึ่งข้อ คุณพูดว่า: "เหตุผลนี้คือปัญหาใด ๆ ใน NP มีการลดเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP-complete แต่ละรายการ" สิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นว่าปัญหาทั้งหมดใน NP นั้นจะทำให้ NP สมบูรณ์โดยอัตโนมัติหรือไม่ ฉันสับสนเล็กน้อยอีกครั้ง

@ Shimano- ไม่ค่อยมาก ทิศทางของการลดความสำคัญ ปัญหาคือปัญหาที่ทำให้เสร็จสมบูรณ์ถ้าปัญหาทั้งหมดใน NP ลดลงถึงปัญหานั้น คุณยังสามารถแสดงปัญหาว่า NP-hard ได้ด้วยการลดปัญหา NP-complete ที่ทราบให้กับปัญหานั้น อย่างไรก็ตามการแสดงให้เห็นว่าปัญหาใน NP ลดลงเป็นปัญหา NP-complete ที่รู้จักกันไม่ได้แสดงอะไรใหม่เนื่องจากการนิยามปัญหา NP ทั้งหมดลดลงเป็นปัญหา NP-complete ทั้งหมด

— templatetypedef

1

@ Shimano - ทฤษฎีบทของ Ladner กล่าวว่าถ้า P! = NP ดังนั้นจะต้องมีปัญหาระดับกลาง - กลางดังนั้นหากไม่มีปัญหาระดับกลาง - ระดับดังนั้น P = NP และใช่ - ถ้าเราพบปัญหาใน NP ที่ไม่ได้อยู่ใน P ไม่ว่าจะอยู่ใน BQP หรือไม่ก็ตาม P! = NP

— templatetypedef

5

มีปัญหาบางอย่างที่มีปัญหามี แต่ไม่มีใครรู้ว่าพวกเขามีความ NP-สมบูรณ์หรือเช่นกราฟมอร์ฟ 1แต่อย่างที่ฉันรู้ว่าไม่มีความซับซ้อนพิเศษสำหรับปัญหาเช่นนั้นฉันอาจผิด $P$

อาจเป็นเช่นก่อนอัลกอริทึมAKSไม่มีใครรู้ว่าการทดสอบแบบดั้งเดิมคือหรือ NPC $P$ $P$

นอกจากนี้ยังมีปัญหาบางอย่างที่เป็น NPC แต่ไม่ได้อยู่ในความหมายที่แข็งแกร่งหรือNP-Complete แบบอ่อนเช่นปัญหา2- พาร์ติชันหมายถึงถ้าจำนวนอินพุตอยู่ในลำดับพหุนามของขนาดอินพุตปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ใน (หรือมี อัลกอริทึมเวลาพหุนามหลอกสำหรับพวกเขา) $P$

¹ปัญหาที่คล้ายกัน: กราฟย่อยมอร์ฟเป็น NP สมบูรณ์ในความหมายที่แข็งแกร่ง

3 ปีต่อมากราฟมอร์ฟ - มอร์ฟิซึมดูเหมือนจะอยู่ใกล้กับ P (อัลกอริทึมเวลา quasipolynial ได้รับการเสนอโดย Babai) jeremykun.com/2015/11/12/20

— Frédéric Grosshans

Babai ถอนข้อเรียกร้องของรันไทม์ เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดในการวิเคราะห์

— กราฟิลส์

ข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ของ Babai ได้รับการแก้ไขในไม่กี่วันต่อมา

— David Bevan