อัลกอริทึม

ปัญหา Clique เป็นปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของรู้จักกันดีซึ่งขนาดของ clique ที่ต้องการนั้นเป็นส่วนหนึ่งของอินพุต อย่างไรก็ตามปัญหา k-clique มีอัลกอริทึมเวลาพหุนามเล็กน้อย ( O ( n k )เมื่อkคงที่) ฉันสนใจในขอบเขตบนที่รู้จักกันดีที่สุดเมื่อ k คงที่$NP$$O(n^k)$$k$

มีอัลกอริทึมพร้อมรันไทม์หรือไม่ o ( n k )เรียลไทม์อัลกอริทึมยังเป็นที่ยอมรับ นอกจากนี้มีความซับซ้อนทางทฤษฎีใด ๆ ที่มีผลต่อการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมดังกล่าวหรือไม่?$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

3 ก๊กสามารถพบได้ใน -vertex กราฟGในเวลาO ( n ω )ที่ω < 2.376เป็นตัวแทนคูณเมทริกซ์และในO ( n 2 )พื้นที่โดยเป็นผลมาจาก Itai และ Rodeh [1] . โดยทั่วไปแล้วพวกเขาแสดงให้เห็นว่าGมีรูปสามเหลี่ยมถ้าและถ้า( A ( G ) ) 3มีรายการที่ไม่เป็นศูนย์ในแนวทแยงมุมหลัก เพราะรูปสามเหลี่ยมเป็นวัฏจักรC $n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$เราสามารถใช้วิธีการค้นหาวงรอบทั่วไปเพื่อตรวจจับสามเหลี่ยม Alon, Yuster และ Zwick แสดงให้เห็นว่ารูปสามเหลี่ยมสามารถตรวจจับได้ในกราฟ -edge ในO ( m 2 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( m 1.41 )เวลา [6]$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

เป็นเวลานานผลของ Nesetril และ Poljak [2] เป็นที่รู้จักกันเป็นอย่างดี พวกเขาแสดงให้เห็นว่าจำนวนผู้คนขนาดสามารถพบได้ในเวลาO ( n ω k )และO ( n 2 k )พื้นที่ สุดท้าย Eisenbrand และ Grandoni [3] การปรับปรุงผลการ Nesetril และ Poljak สำหรับที่( 3 k + 1 ) -clique และ( 3 k + 2 ) -clique ค่าเล็ก ๆ ของk พวกเขาให้อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาของเก่าขนาด 4, 5 และ 7 ในเวลา$3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$ , O ( n 4.220 )และ O ( n 5.714 )ตามลำดับ$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

เท่าที่ฉันรู้สำหรับทั่วไปปัญหาของการออกแบบอัลกอริทึมที่ดีกว่าเปิดอยู่ สำหรับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หรือการพิจารณาทางทฤษฎีความซับซ้อน Downey and Fellows (ดูตัวอย่าง [4]) แสดงk -clique ด้วยพารามิเตอร์kคือW [ 1 ] -ยาก คลาสW [ 1 ]หมายถึงคลาสของปัญหาการตัดสินใจแบบมีพารามิเตอร์ที่สามารถลดลงถึง CLIQUE ด้วยการลดพารามิเตอร์ เป็นที่เชื่อกันว่า CLIQUE ไม่สามารถแก้ไขพารามิเตอร์ได้ง่าย มีปัญหาอื่น ๆ อีกหลายร้อยที่ทราบว่าเทียบเท่ากับ CLIQUE ภายใต้การลดค่าพารามิเตอร์ นอกจากนี้ Feige และ Kilian [5, ตอนที่ 2] มีผลบอกว่าเมื่อ$k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$เป็นส่วนหนึ่งของอินพุตและจากนั้นอัลกอริทึม polytime ไม่น่าจะมีอยู่$k \approx \log n$

หากคุณพิจารณาคลาสกราฟที่ถูก จำกัด คุณสามารถแก้ปัญหาในเวลาเชิงเส้นบนกราฟคอร์ด เพียงแค่คำนวณต้นไม้ก๊กของคอร์ดักราฟในO ( n + ม. )เวลาและจากนั้นตรวจสอบว่าก๊กใด ๆ ที่มีขนาดตรงk บนกราฟระนาบเราสามารถหาสามเหลี่ยมในเวลาO ( n )โดยใช้วิธีการ [6]$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Itai, Alon และ Michael Rodeh "การหาวงจรขั้นต่ำในกราฟ" วารสารคอมพิวเตอร์สยาม 7.4 (1978): 413-423

[2] Nešetřil, Jaroslav และ Svatopluk Poljak "ความซับซ้อนของปัญหากราฟย่อย" ความคิดเห็น Mathematicae Universitatis Carolinae 26.2 (1985): 415-419

[3] Eisenbrand, Friedrich และ Fabrizio Grandoni "ความซับซ้อนของกลุ่มพารามิเตอร์คงที่และชุดควบคุม" วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 326.1 (2004): 57-67

[4] ดาวนีย์, RG, และ Michael R. Fellows "ความซับซ้อนขั้นพื้นฐานของพารามิเตอร์" ตำราที่ไม่ได้เปิดเผยในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, Springer-Verlag (2012)

[5] Feige, Uriel และ Kilian โจ "ในจำนวนที่ จำกัด เมื่อเทียบกับพหุนาม Nondeterminism" วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์แห่งชิคาโก (1997)

[6] Alon, Noga, Raphael Yuster และ Uri Zwick "ค้นหาและนับวงจรความยาวที่กำหนด" อัลกอริทึม 17.3 (1997): 209-223