วิธีง่ายๆในการพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมนี้สิ้นสุดลงในที่สุด

บทนำและสัญลักษณ์:

นี่คืออัลกอริทึมใหม่และเรียบง่ายของฉันซึ่งดูเหมือนว่าจะยุติ (ตามการทดลองของฉัน) และตอนนี้ฉันอยากจะพิสูจน์มัน

ปล่อยสัญกรณ์อ้างถึงจุดข้อมูลมิติ (เวกเตอร์) ฉันมีสามชุด A, B และ C เช่นนั้น , , : $x_i \in \mathbb{R}^p$ $p$ $|A| = n$ $|B| = m$ $|C| = l$

A = {x ผม | ฉัน = 1, ., n}

$A = \{x_i | i = 1, .., n\}$

B = {x J | J = n + 1, ., n + m}

$B = \{x_j | j = n+1, .., n+m\}$

ค = {x ยู | U = n + M + 1, ., n + m + l}

$C = \{x_u | u = n+m+1, .., n+m+l\}$

ให้ , ให้แสดงถึงระยะทางแบบยุคลิดเฉลี่ยจากถึงอยู่ใกล้ที่สุดในจุด ; และหมายถึงระยะทางยุคลิดเฉลี่ยจากไปของที่ใกล้ที่สุดจุดC $k \in \mathbb{N^*}$ $d_{x_i}^A$ $x_i$ $k$ $A$ $d_{x_i}^C$ $x_i$ $k$ $C$

ขั้นตอนวิธีการ:

ฉันมีอัลกอริทึมต่อไปนี้ซึ่งแก้ไขชุด A และ B ซ้ำ ๆ โดยการย้ายองค์ประกอบบางอย่างที่เลือกจาก A ไป B และในทางกลับกันและ C ยังคงเหมือนเดิมเสมอ (ไม่เปลี่ยนแปลง) ที่จะทำให้มันง่าย: วัตถุประสงค์ของขั้นตอนวิธีคือการที่ดีกว่าแยกชุดและดังกล่าวว่า "จุดของมีความคล้ายคลึงกับที่รู้จักกันคงชุด " และ "จุดของเป็นที่สุดด้วยตนเองที่คล้ายกันและ ยิ่งห่างจากตัวและเซตสุดท้าย ": $A$ $B$ $B$ $C$ $A$ $C$ $B$

$A' = \{ x_i \in A \mid d_{x_i}^A > d_{x_i}^C \}$ ... (1)
$A = A \setminus A'$ ; ... (2) $B = B \cup A'$
$B' = \{ x_i \in B \mid d_{x_i}^A < d_{x_i}^C$ } ... (3)
$B = B \setminus B'$ ; ... (4) $A = A \cup B'$
ทำซ้ำ (1), (2), (3) และ (4) จนกระทั่ง: (ไม่มีอิลิเมนต์ย้ายจากไปหรือจากถึงนั่นคือ A 'และ B' ว่างเปล่า) หรือ (หรือ ) $A$ $B$ $B$ $A$ $|A| \leq k$ $|B| \leq k$

อัลกอริทึมสิ้นสุดลงในสองกรณี:

เมื่อหรือกลายเป็นน้อยกว่าหรือเท่ากับ $|A|$ $|B|$ $k$
หรือกรณีมาตรฐานมากที่สุดเมื่อซึ่งหมายความว่าไม่มีการย้ายองค์ประกอบระหว่าง A และ B อีกต่อไป $A' = B' = \emptyset$

คำถาม:

จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าในที่สุดอัลกอริทึมนี้จึงถูกยกเลิก ฉันไม่พบฟังก์ชันที่มีศักยภาพที่สะดวกซึ่งสามารถลดหรือขยายให้ใหญ่สุดโดยอัลกอริทึม ฉันได้ลองใช้งานฟังก์ชั่นบางอย่างไม่สำเร็จ: ฟังก์ชันแต่มันไม่เพิ่มขึ้นในการทำซ้ำแต่ละครั้ง ฟังก์ชันแต่จะไม่ลดลงในการทำซ้ำแต่ละครั้ง ฟังก์ชันดูเหมือนจะไม่ลดลงในการทำซ้ำแต่ละครั้ง ฟังก์ชัน $\sum_{x \in A} d_x^C + \sum_{x \in B} d_x^A$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^C$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^B$ $\sum_{x \in A} d_x^B + \sum_{x \in B} d_x^A$ ดูเหมือนจะไม่เพิ่มขึ้นในแต่ละรอบซ้ำ ดังนั้นฟังก์ชั่นศักยภาพที่สะดวกสบายซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงในแต่ละรอบซ้ำคืออะไร? หรือเราควรจะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นลดลง แต่ไม่ได้ที่การทำซ้ำแต่ละครั้ง (หลังจากทำซ้ำบางอย่างค่อนข้าง)? ได้อย่างไร

หมายเหตุ:

ที่ใกล้ที่สุดที่จะจุดในชุดหมายถึงการที่:คะแนน (คนอื่น ๆ กว่า ) ในมีระยะทางแบบยุคลิดเล็กที่สุดไป xคุณสามารถใช้เพื่อทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้น $k$ $x$ $S$ $k$ $x$ $S$ $x$ $k = 1$
ฉันไม่รู้ว่าสิ่งนี้จะช่วยได้หรือไม่ แต่ฉันมีคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับชุดเริ่มต้นของฉัน : เริ่มแรก , ถ้าเป็นจุดที่ใกล้ที่สุด เพื่อและเป็นจุดที่ใกล้ที่สุดเพื่อแล้วเสมอx_a) สังหรณ์ใจนี้หมายความว่าจุดมีความใกล้ชิดกับกว่าคะแนนใน $A, B, C$ $\forall x_i \in B, x_j \in A$ $x_b \in C$ $x_i$ $x_a \in C$ $x_j$ $distance(x_i, x_b) < distance(x_j, x_a)$ $B$ $C$ $A$
หากการวิเคราะห์นั้นง่ายขึ้น: เป็นไปได้โดยสิ้นเชิงที่จะพิจารณาอัลกอริธึมรุ่นที่แตกต่างกันเล็กน้อยโดยทันทีที่จุดจากควรย้ายไปยังจะถูกย้ายจากไป (โดยไม่ผ่าน ) และ พิพาทในทางกลับกันสำหรับB $A$ $B$ $A$ $B$ $A'$ $B$

— shn
แหล่งที่มา

ทำไมคุณถึงสนใจอัลกอริทึมนี้โดยเฉพาะ?

shna: คุณต้องการทำอะไรกับการรวบรวมคะแนนโดยพลการแบ่งออกเป็นสามชุด?

@shna การรู้วัตถุประสงค์และเป้าหมายของอัลกอริทึมอาจนำไปสู่สัญชาตญาณที่ดีขึ้นและช่วยแก้ไขปัญหา

@RichardRast เพื่อให้คำอธิบายง่ายๆ: จุดประสงค์คือการที่ดีกว่าแยกชุดและดังกล่าวว่า "จุดของมีความคล้ายคลึงกับที่รู้จักกันคงชุด " และ "จุดของเป็นที่สุดด้วยตนเองที่คล้ายกันและ ห่างจากตัวและเซตสุดท้าย"

A $A$

B $B$

ค $C$

A $A$

ค $C$

B $B$

— shn

การย้ายถิ่นไปยังร้านค้าถูกปฏิเสธ

นี่คือวิธีแก้ปัญหาสำหรับกรณี : $k = 1$

สมมติว่าอัลกอริทึมไม่ยุติ เนื่องจากมีจำนวนสถานะของอัลกอริธึม จำกัด (การกำหนดจุดให้และ ) สถานะอัลกอริทึมจะต้องทำซ้ำในรอบ เนื่องจากวัฏจักรผ่านสภาวะที่แตกต่างกันจึงต้องมีจุดที่สลับระหว่างและบ่อยครั้งไม่สิ้นสุด $A$ $B$ $A$ $B$

ให้เป็นจุดที่สลับบ่อย ๆ ในรอบนี้ เลือกซ้ำแรกของอัลกอริทึมที่อยู่ในวงจรระหว่างที่สวิทช์จากไป สำหรับเพื่อสลับไปยัง, ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจุดในกับx') เลือกจุดดังกล่าวที่เล็กที่สุดโดยพลการ; กำหนดฟังก์ชั่นเพื่อให้x' โปรดทราบว่าต้องสลับระหว่างและบ่อยครั้งไม่สิ้นสุด (เพราะถ้าอยู่ใน $x$ $x$ $B$ $A$ $x$ $A$ $x'$ $A$ $d_x^C > dist(x, x')$ $f$ $f(x) = x'$ $x'$ $A$ $B$ $x'$ $A$ อย่างถาวรดังนั้นจะ ) ดังนั้นเราจึงสามารถใช้ฯลฯ $x$ $f(f(x)), f(f(f(x))),$

เนื่องจากเรามีจำนวน จำกัด ของจุด iterates ของ f ในที่สุดก็ต้องทำซ้ำ: สำหรับบางn ตอนนี้ดูลำดับของระยะทางจาก C: . เนื่องจากมันทำซ้ำลำดับนี้จึงไม่สามารถลดลงอย่างสม่ำเสมอ ต้องมีการวนซ้ำเช่นนั้น $f^n(x) = f^m(x)$ $m > n$ $d_{f(x)}^C, d_{f^2(x)}^C, ... d_{f^n(x)}^C, ...$ $o$ $d_{f^{o-1}(x)}^C \leq d_{f^o(x)}^C$

ตอนนี้และอยู่ใกล้กันพอที่จะทำให้กันและกันอยู่ในถ้าหนึ่งในนั้นคือ นั่นคือพวกเขาอยู่ใกล้กันมากกว่าหนึ่งในนั้นคือ : (จากคำจำกัดความของ ) $f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $C$ $d_{f^o(x)}^C \geq d_{f^{o-1}(x)}^C > dist(f^{o-1}(x), f^o(x))$ $f$

ดังนั้นทันทีที่และทั้งคู่อยู่ในพวกเขาจะเก็บกันและกันในตลอดกาล (ดูบรรทัด 1-2 ของอัลกอริทึม) สิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่าค่าซ้ำทั้งหมดของต้องสลับตั้งบ่อยครั้งอย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้นสำหรับกรณีที่อัลกอริทึมจะสิ้นสุดลง $f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $A$ $f$ $k = 1$

— เป็นเหตุแห่ง
แหล่งที่มา

นี้มีความซับซ้อนอย่างใดและอาจจะแสดงเฉพาะสำหรับ1 แต่จะดีกว่ามากถ้าเราสามารถหาฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่ามีการเพิ่มขึ้นหรือลดลงในการทำซ้ำแต่ละครั้ง หรือ a ที่สามารถแสดงให้เห็นว่ากำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลงหลังจากการทำซ้ำ "บางอย่าง" มากกว่า 1

$k = 1$

— shn

@shn ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมคุณถึงวิจารณ์การเลือกใช้เทคนิคการพิสูจน์ของคนที่ประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาของคุณมากกว่าที่คุณมี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคำถามของคุณแสดงความพยายามที่ล้มเหลวสี่ครั้งโดยใช้เทคนิคที่คุณต้องการ

— David Richerby

@DavidRicherby ฉันไม่ได้วิจารณ์;) ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับการแก้ปัญหาด้วย "causative" (ผู้ที่ให้คำตอบนี้) กับ IRC และเราพบว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ด้วยวิธีนี้สำหรับ ; ดังนั้นเราจึงอนุมานได้ว่ามันจะดีกว่ามากถ้าเราสามารถหาฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพซึ่งสามารถแสดงให้ลดลงในการทำซ้ำแต่ละครั้ง ความคิดเห็นของฉันเป็นเพียงข้อมูล

$k > 1$

— shn