วิธีการพิสูจน์ว่า 3SAT รุ่นที่มีข้อ จำกัด ซึ่งไม่มีตัวอักษรเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

ฉันกำลังพยายามทำงานที่ได้รับมอบหมาย (นำมาจากหนังสืออัลกอริทึม - โดย S. Dasgupta, CH Papadimitriou และ UV Vazirani , Chap 8, ปัญหา 8.6a) และฉันถอดความสิ่งที่ระบุ:

เนื่องจาก 3SAT ยังคงเป็นปัญหา NP-complete แม้ว่าจะถูก จำกัด เฉพาะสูตรที่แต่ละตัวอักษรปรากฏสูงสุดสองครั้งแสดงว่าถ้าแต่ละตัวอักษรปรากฏมากที่สุดครั้งเดียวปัญหาจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหานี้โดยการแบ่งคำสั่งเป็นหลายกลุ่ม:

1. ส่วนคำสั่งที่ไม่มีตัวแปรเหมือนกับส่วนที่เหลือของข้อ
2. ส่วนคำสั่งที่มีเพียง 1 ตัวแปรเท่านั้น
3. ส่วนคำสั่งที่มี 2 ตัวแปรเหมือนกัน
4. ส่วนคำสั่งที่มีตัวแปร 3 ตัวที่เหมือนกัน

เหตุผลของฉันได้พยายามตามบรรทัดที่ # ของกลุ่มดังกล่าวมี จำกัด (เนื่องจากมีข้อ จำกัด ที่กำหนดว่าไม่มีตัวอักษรอยู่มากกว่าหนึ่งครั้ง) และเราสามารถพยายามสนองกลุ่มที่ถูก จำกัด มากที่สุดก่อน (กลุ่ม 4) จากนั้นแทนที่ ส่งผลให้กลุ่มที่ถูก จำกัด น้อยลง (3, 2 และ 1 แล้ว) แต่ฉันรู้ว่านี่ไม่ได้รับฉันมากเลยเพราะสิ่งนี้ไม่แตกต่างจากกรณีของรุ่น 3SAT ที่มีข้อ จำกัด ซึ่งแต่ละตัวอักษรสามารถปรากฏได้ มากที่สุดสองครั้งซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสมบูรณ์แบบ

ฉันพยายามค้นหาคำแนะนำ / การแก้ปัญหาออนไลน์ แต่ทั้งหมดที่ฉันจะได้รับคือลิงค์นี้ซึ่งคำใบ้ดังกล่าวไม่สมเหตุสมผลพอสำหรับฉันซึ่งฉันทำซ้ำคำต่อคำที่นี่:

คำแนะนำ: เนื่องจากแต่ละปรากฏตัวอักษรที่มากที่สุดครั้งเดียวแปลงปัญหานี้จะแก้ไขปัญหา 2SAT - เวลาพหุนามด้วยเหตุนี้ถ้าตัวอักษรปรากฏในข้อC เจและเสริมของx ฉัน (เช่น¯ x ฉัน ) ในข้อC k , สร้าง ประโยคประโยคใหม่C เจ ∨ ¯ C k$x_i$$C_j$$x_i$$\overline{x_i}$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$

ทั้งและC kมีสามตัวอักษรแต่ละ - ฉันไม่ได้ว่าฉันควรไปเกี่ยวกับการแปลงมันเป็น 2SAT โดยการทำซีเจ ∨ ¯ C k (หรือ¯ C เจ ∨ C kถ้าฉันอ่านมันไม่ถูกต้อง)$C_j$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$$\overline{C_j \lor C_k}$

ความช่วยเหลือใด ๆ ในการถอดรหัสคำใบ้หรือให้เส้นทางที่ฉันสามารถสำรวจได้นั้นจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

โดยไม่สูญเสียความสามารถเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าตัวแปรแต่ละตัวจะปรากฏขึ้นครั้งเดียวในเชิงบวกและในทางลบเพียงครั้งเดียว (หากตัวแปรปรากฏขึ้นเพียงครั้งเดียวให้ตั้งค่าของมันเพื่อให้เป็นไปตามข้อและลบประโยค) เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าตัวแปรไม่ปรากฏในประโยคมากกว่าหนึ่งครั้ง (หากตัวแปรปรากฏทั้งในแง่บวกและลบในประโยคดังนั้นประโยคนั้นจะพึงพอใจและสามารถลบออกได้) สิ่งเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนแปลงความพึงพอใจ

ตอนนี้ใช้กฎการแก้ปัญหาเพื่อกำจัดตัวแปรทีละตัว (เนื่องจากตัวแปรแต่ละตัวปรากฏขึ้นครั้งเดียวในเชิงบวกและในทางลบนี่เป็นกระบวนการที่กำหนดไว้แล้ว) หาก ณ จุดใดก็ตามเราได้รับอนุประโยคว่างเปล่าชุดของอนุประโยคจะไม่น่าพอใจมิฉะนั้นจะเป็นที่น่าพอใจ นี้เป็นเพราะ:

• การแก้ปัญหาเป็นระบบพิสูจน์หลักฐานเชิงประพจน์ที่สมบูรณ์ (เช่นถ้าข้อใดมีความหมายเชิงตรรกะโดยชุดคำสั่งจะมีผลมาจากชุดคำสั่งโดยใช้กฎการแก้ปัญหาเท่านั้น)

• ชุดของคำสั่งจะไม่น่าพอใจถ้ามันมีเหตุผลหมายถึงประโยคว่าง

$(x \lor B) \land (\overline{x} \lor C) \land \dots)$$(B \lor C) \land \dots$ซึ่งมีอนุประโยคน้อยกว่าหนึ่งการแก้ไข ในทางตรงกันข้ามหากคุณใช้สิ่งนี้กับสูตร 3SAT โดยไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนการปรากฏตัวของแต่ละตัวอักษรการใช้ความละเอียดอาจทำให้จำนวนส่วนคำสั่งเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ