กฎของหัวแม่มือที่จะรู้ว่าปัญหาอาจจะเป็นปัญหาที่สมบูรณ์

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากความคิดเห็นใน StackOverflow

นอกเหนือจากการรู้ปัญหาที่สมบูรณ์แบบของหนังสือ Garey Johnson และอื่น ๆ อีกมากมาย; มีกฎของหัวแม่มือที่จะรู้ว่าปัญหาดูเหมือนว่าสมบูรณ์ NP ปัญหาหรือไม่

ฉันไม่ได้มองหาบางสิ่งที่เข้มงวด แต่เป็นสิ่งที่ใช้ได้ผลในกรณีส่วนใหญ่

แน่นอนทุกครั้งที่เราต้องพิสูจน์ว่าปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-complete หรือตัวแปรหนึ่งของปัญหา NP-complete แต่ก่อนที่จะรีบไปพิสูจน์มันจะเป็นการดีถ้ามีความมั่นใจในผลบวกของการพิสูจน์

นี่เป็นวิธีการส่วนตัวของฉันในการพิจารณาว่าปัญหา (เช่นภาษา ) นั้นเป็นปัญหาที่สมบูรณ์หรือไม่ หากเงื่อนไขทั้งสองนี้ได้รับการยืนยันแล้ว:$L$

• ฉันรู้สึกว่าการทดสอบถ้าอินสแตนซ์ที่อยู่ในLหมายความว่าฉันต้องตรวจสอบชุดค่าผสมทั้งหมดของการเรียงลำดับบางอย่าง$I$$L$
• และไม่มีทางที่จะแยกชุดค่าผสมดังกล่าวออกเป็นสองชุดย่อย

จากนั้นอาจเป็น NP-hard ได้เป็นอย่างดี$L$

ตัวอย่างเช่นปัญหาผลรวมย่อยฉันต้องแสดงรายการชุดย่อยทั้งหมดของและตรวจสอบว่ามีผลรวมที่เป็นศูนย์หรือไม่ ฉันสามารถแยกSออกเป็นชุดย่อยขนาดเล็กสองชุดS 1และS 2ที่ฉันจะตรวจสอบคุณสมบัติที่คล้ายกันได้หรือไม่ หืมม ... ไม่จริงๆ บางทีถ้าฉันตรวจสอบการรวมกันของS 1และS 2 ทั้งหมดแต่จะนานมาก ...$S$$S$$S_1$$S_2$$S_1$$S_2$

โดยปกติแล้วความสามารถในการทำลายเป็นชิ้นเล็กเป็นตัวบ่งชี้ที่ดีสำหรับปัญหาที่จะอยู่ในพีนี้เป็นแบ่งและพิชิตวิธี ยกตัวอย่างเช่นการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดที่คุณสามารถใช้คุณสมบัติที่ว่าถ้าเส้นทางที่สั้นที่สุดจากเพื่อCผ่านไปBแล้วมันไม่ได้นานกว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดจากเพื่อBบวกที่สั้นที่สุดจากBไปC$A$$C$$B$$A$$B$$B$$C$

ค่อนข้างตรงไปตรงมาวิธีนี้เป็นพื้นฐานมาก: ฉันพยายามค้นหาอัลกอริทึม (พหุนาม) สำหรับปัญหาที่กำหนด หากฉันหาไม่พบปัญหาก็จะกลายเป็น "ยาก" ในมุมมองของฉัน จากนั้นเหตุผลการทำให้สมบูรณ์แบบของ NP ทั้งหมด: ฉันจะสามารถเข้ารหัสปัญหา NP-complete ที่มีอยู่ในนี้ได้หรือไม่ (และเนื่องจากสิ่งนี้มักจะยากกว่านี้มากฉันจึงพยายามหาอัลกอริทึมแบบพหุนามอีกครั้ง .. )

ฉันสงสัยว่านี่เป็นวิธีคิดตามปกติ อย่างไรก็ตามมันยังค่อนข้างยากที่จะใช้กับปัญหาที่ไม่รู้จัก ผมเองจำได้ว่าถูกประหลาดใจโดยหนึ่งในตัวอย่างแรกของเอ็นพีบริบูรณ์ผมได้บอกคือปัญหากลุ่มพรรคพวก ดูเหมือนง่ายมากที่จะตรวจสอบ! ดังนั้นฉันคิดว่าประสบการณ์นั้นเกี่ยวข้องกับมันมาก สัญชาตญาณก็ไร้ประโยชน์บางครั้ง ฉันจำได้ว่าได้รับการบอกถึงปัญหาที่เหมือนกันเกือบสองครั้งหลายครั้ง แต่ปัญหาหนึ่งอยู่ใน P และอีกปัญหาหนึ่งที่มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยคือปัญหาสมบูรณ์

ฉันยังไม่พบตัวอย่างที่ดี (ฉันต้องการความช่วยเหลือที่นี่) แต่นี่เป็นปัญหาของการติดต่อทางไปรษณีย์ : นี่เป็นปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่ตัวแปรบางอย่างสามารถตัดสินใจได้

อีกมุมมองหนึ่งเกี่ยวกับปัญหาความแข็งมาจากชุมชนเกมและปริศนาซึ่งกฎของหัวแม่มือก็คือ 'ปัญหายากเท่าที่จะเป็นได้' (และข้อยกเว้นมาจากโครงสร้างที่ซ่อนอยู่ในปัญหา - ตัวอย่างของปัจจัยในมัสซิโม ความคิดเห็นเป็นตัวอย่างที่ดีของสิ่งนี้); เคล็ดลับนั้นมาในการทำความเข้าใจว่าปัญหานั้นยากเพียงใด:

• $n$
• ปริศนาที่เกี่ยวข้องกับลำดับของการเคลื่อนไหวภายในพื้นที่รัฐล้อมรอบอยู่ใน PSPACE (ตั้งแต่ 'ต้นไม้ย้าย' โดยทั่วไปสามารถสำรวจได้ในลักษณะความลึกมาตรฐานแรกต้องการเพียงการจัดเก็บสำหรับจำนวนพหุนามของการกำหนดค่า) และมีแนวโน้มที่จะสมบูรณ์ PSPACE; ตัวอย่างคลาสสิกของเรื่องนี้คือ Rush Hour
• เกมที่มีความลึกที่ จำกัด ขอบเขตแบบพหุนามก็อยู่ใน PSPACE เช่นกัน สิ่งนี้ใช้การจำแนกลักษณะของ PSPACE เป็น APTIME เนื่องจากการกำหนดลักษณะขั้นต่ำของกลยุทธ์เลียนแบบเครื่องจักรทัวริงสลับกับลักษณะของมันอย่างสมบูรณ์แบบเนื่องจาก 'มีการเคลื่อนไหวสำหรับผู้เล่น A เช่นว่าสำหรับการตอบแต่ละครั้งย้ายจากผู้เล่น B จึงมีคำตอบ ย้ายไปหาผู้เล่น A เช่นนั้น ... 'ฯลฯ พวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็น PSPACE สมบูรณ์ เกม Tic-Tac-Toe ทั้ง Hex และ generalized เป็นตัวอย่างของสิ่งนี้
• เกมที่ไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับความลึกของต้นไม้ แต่เล่นในพื้นที่ จำกัด (พหุนาม) อยู่ใน EXPTIME เนื่องจากมีตำแหน่งรวมทั้งหมดจำนวนมากและกราฟทั้งหมดสามารถสร้างและสำรวจในเวลาพหุนามในจำนวนตำแหน่ง (และรวมทั้งเลขชี้กำลัง) ; เกมเหล่านี้โดยทั่วไปจะสมบูรณ์แบบยกเว้น หมากรุกหมากฮอสและไปทั้งหมดตกอยู่ในประเภทนี้