ปัญหาการคำนวณอย่างหนักในชั้นพิเศษของกราฟสองฝ่าย

ฉันสนใจคุณสมบัติของคลาส bipartite graphsที่ทุกโหนดในเป็น 3-regular, โหนดทั้งหมดในเป็น 2-regular และ. อันดับแรกนี่เป็นกราฟที่รู้จักกันดีในระดับหรือไม่ ประการที่สอง$G(X \cup Y, E)$$X$$Y$$|X|=|2Y/3|$

มีตัวอย่างของปัญหาการคำนวณที่ดื้อดึง จำกัด เฉพาะกราฟสองฝ่ายนี้หรือไม่?

รับกราฟ 3 ปกติคุณสามารถสร้างกราฟสองฝ่ายด้วยคุณสมบัติที่จำเป็นในการเลือกและและสำหรับทุกขอบเพิ่ม ขอบu_j) ดังนั้นฉันคิดว่าคุณสามารถพบปัญหายาก ๆ เริ่มต้นจากปัญหาหนักในกราฟ 3 ตัวG ' X = V Y = E E k = ( U ฉัน , ยูเจ ) ∈ E ( U ฉัน , อีk ) , ( อีk , ยูเจ$G = \{V,E\}$$G'$$X = V$$Y = E$$e_k = (u_i,u_j) \in E$$(u_i, e_k), (e_k, u_j)$

ตัวอย่างเช่น SUBGRAPH ISOMORPHISM นั้น NP-hard สำหรับคลาสของกราฟ

การลดลงนี้มาจากวงจร Hamiltonian ในกราฟ 3 ตัว: ให้กราฟ 3 ตัวปกติสร้างสอดคล้องกันและตรวจสอบกราฟย่อยซึ่งเป็นวัฏจักรปิดง่าย ความยาว. มีกราฟย่อย isomorphic ถึงถ้าหากมีวัฏจักร HamiltonianG ′ = { X ∪ Y , E ′ } H ′ 2 | V | G ′ H ′$G$$G' = \{X \cup Y, E'\}$$H'$$2|V|$$G'$$H'$$G$

กราฟเหล่านี้เป็นกราฟการเกิดของลูกบาศก์กราฟหรือที่เรียกอีกอย่างว่า 2-stretches ของกราฟปกติ 3 เส้น ฉันจะเขียนสำหรับกราฟอุบัติการณ์ของ  G$I(G)$$G$

ได้รับกราฟ และจำนวนเต็ม ก็ NP-สมบูรณ์เพื่อตรวจสอบว่า 's จำนวนข้ามที่มากที่สุด  (คือไม่ว่าจะเป็นสามารถวาดในเครื่องบินที่มีมากที่สุด ขอบข้ามแต่ละอื่น ๆ ) แม้ว่า  คือ ถูก จำกัด ให้เป็นลูกบาศก์ เห็นได้ชัดว่าหมายเลขข้ามจะไม่ได้รับผลกระทบจากการเพิ่มจุดสุดยอดพิเศษที่อยู่ตรงกลางของแต่ละขอบ (ที่มา: Hlineny "การข้ามตัวเลขยากสำหรับลูกบาศก์กราฟ", J. Combin Theor. B 96 (4): 455–471; DOI .)k G k G k $G$$k$$G$$k$$G$$k$$G$

อาจเป็นไปได้ว่าปัญหาแบนด์วิดท์สำหรับกราฟเหล่านี้คือ NP-complete เนื่องจากเป็น NP-complete สำหรับต้นไม้ที่จุดสุดยอดทุกอันมีระดับสูงสุดสามระดับ (ที่มา: ปัญหา GT40 ใน Garey และจอห์นสันสำหรับกราฟทั่วไปสำหรับต้นไม้ต่ำองศา Garey เกรแฮม, จอห์นสันและนู "ผลซับซ้อนสำหรับการลดแบนด์วิดธ์" สยามเจ Appl คณิตศาสตร์.. 34: 477-495; Citeseer )

ปัญหากราฟ NP-complete ที่หลากหลายยังคงอยู่ในกราฟลูกบาศก์และปัญหาเหล่านี้นำไปสู่ปัญหา NP-complete ในกราฟอุบัติการณ์ที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นเรื่องธรรมดา ยกตัวอย่างเช่นถามว่าลูกบาศก์กราฟ มีชุดที่มีอำนาจเหนือของขนาดที่มากที่สุด เทียบเท่ากับถามว่าเป็นสหภาพของที่มากที่สุด สำเนาของ{1,3}) ในทำนองเดียวกันชุดอิสระในสอดคล้องกราฟลูกบาศก์ชุดสำเนาเคลื่อนของใน(G)k I ( G ) k I ( K 1 , 3 ) I ( K 1 , 3 ) I ( G $G$$k$$I(G)$$k$$I(K_{1,3})$$I(K_{1,3})$$I(G)$