จำเป็นต้องมีการโอนถ่ายสำหรับอัลกอริทึมการเรียงลำดับหรือไม่

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้อัลกอริธึมการจัดเรียงที่มีการเปรียบเทียบแบบไม่ใช้สกรรมกริยาและถ้าใช่ทำไมความไวแสงมีการระบุไว้เป็นข้อกำหนดสำหรับการเรียงลำดับการเปรียบเทียบ?

พื้นหลัง:

• อัลกอริทึมการเรียงลำดับโดยทั่วไปเรียงลำดับองค์ประกอบของรายการตามฟังก์ชันตัวเปรียบเทียบ C (x, y) ด้วย

  $$\begin{array}{ll} C(x,y) = \begin{cases} -1 & {\text{if}}\ x\prec y \\ 0 & {\text{if}}\ x\sim y \\ +1 & {\text{if}}\ x\succ y \\ \end{cases} \end{array}$$

  ข้อกำหนดสำหรับเครื่องมือเปรียบเทียบนี้เท่าที่ฉันเข้าใจ:

  • สะท้อนกลับ: $\forall x: C(x,x)=0$
  • antisymmetric: $\forall x,y: C(x,y) = - C(y,x)$
  • สกรรมกริยา: $\forall x,y,z, a: C(x,y)=a \land C(y,z)=a \Rightarrow C(x,z)=a$
  • C (x, y) ถูกกำหนดสำหรับ x และ y ทั้งหมดและผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับ x และ y เท่านั้น

  (ข้อกำหนดเหล่านี้มีการระบุไว้ในการใช้งานที่แตกต่างกันอยู่เสมอดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าฉันได้รับสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด)

ตอนนี้ฉันสงสัยเกี่ยวกับฟังก์ชั่นตัวเปรียบเทียบที่ "ยอมรับ" ซึ่งยอมรับตัวเลข x, y เหมือนกันถ้า : $|x - y| \le 1$

ตัวอย่าง: ทั้งคู่[ 1, 2, 3, 4, 5]และ[1, 4, 3, 2, 5]เรียงลำดับอย่างถูกต้องตามลำดับตัวเปรียบเทียบที่ยอมรับได้ (ถ้า x มาก่อน y ในรายการ) แต่ไม่ใช่เนื่องจาก C (4,2) = 1$C(x,y) \le 0$
[1, 4, 2, 3, 5]

ตัวเปรียบเทียบความทนทานนี้เป็นแบบสะท้อนกลับและ antisymmetric แต่ไม่ผ่านการถ่ายทอด

เช่น C (1,2) = 0, c (2,3) = 0, แต่ C (1,3) = -1, ละเมิดความไว

แต่ฉันไม่สามารถนึกถึงอัลกอริทึมการเรียงลำดับใด ๆ ที่จะล้มเหลวในการสร้างเอาต์พุต "เรียงลำดับอย่างถูกต้อง" เมื่อกำหนดตัวเปรียบเทียบนี้และรายการแบบสุ่ม

ในกรณีนี้จึงไม่จำเป็นต้องมีความไวต่อแสง และจะมีรุ่นที่เข้มงวดน้อยกว่าของกริยาที่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเรียงลำดับการทำงานหรือไม่

คำถามที่เกี่ยวข้อง:

• เหตุใด antisymmetry จึงจำเป็นสำหรับการเรียงลำดับการเปรียบเทียบ? (เกี่ยวกับ antisymmetry)
• การเรียงลำดับอัลกอริธึมที่ยอมรับตัวเปรียบเทียบแบบสุ่ม (ประมาณ C แบบสุ่ม (x, y))
• Order โดยใช้ IComparer ที่ไม่ใช่สกรรมกริยา (เกี่ยวกับอัลกอริทึมการเรียงลำดับ c # โดยฉัน)

คุณถาม: เราสามารถเรียกใช้อัลกอริทึมการเรียงลำดับโดยป้อนเป็นตัวเปรียบเทียบแบบไม่ถ่ายทอดได้หรือไม่?

คำตอบ: แน่นอน คุณสามารถเรียกใช้อัลกอริทึมกับอินพุตใด ๆ

อย่างไรก็ตามคุณรู้กฎ: Garbage In, Garbage Out หากคุณใช้อัลกอริทึมการเรียงลำดับด้วยตัวเปรียบเทียบแบบไม่ใช้สกรรมกริยาคุณอาจได้ผลลัพธ์ที่ไร้สาระ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีการรับประกันว่าผลลัพธ์จะเป็น "เรียงลำดับ" ตามตัวเปรียบเทียบของคุณ ดังนั้นการใช้อัลกอริทึมการเรียงลำดับด้วยตัวเปรียบเทียบแบบไม่ใช้สกรรมกริยาจึงไม่น่าจะมีประโยชน์ในแบบที่คุณคาดหวัง

ตัวอย่างการเรียกใช้การเรียงลำดับการแทรกในรายการอินพุตโดยใช้เครื่องมือเปรียบเทียบของคุณจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงรายการ แต่รายการผลลัพธ์ที่ได้จะไม่เรียงตามลำดับ$[3, 2, 1]$

เมื่อพิจารณาจากชุดขององค์ประกอบและความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อแบบไบนารีจะต้องมีการส่งผ่านแบบย่อเพื่อจัดเรียงองค์ประกอบทั้งหมด ในความเป็นจริงแล้วการถ่ายโอนจำเป็นต้องมีเพื่อกำหนดลำดับบางส่วนในองค์ประกอบ http://en.m.wikipedia.org/wiki/Total_order

คุณจะต้องมีคำจำกัดความที่กว้างขึ้นของคำว่า "เรียงลำดับ" หมายถึงเพื่อเรียงลำดับองค์ประกอบโดยไม่มีความสลับซับซ้อน มันยากที่จะสอดคล้องตนเอง คำตอบอื่นบอกว่า "โดยเฉพาะไม่มีการรับประกันว่าผลลัพธ์จะถูก 'เรียง' ตามตัวเปรียบเทียบของคุณ" แต่จริงๆแล้วเราสามารถพูดอะไรที่แข็งแกร่งกว่านี้ได้มาก คุณรับประกันได้ว่าผลลัพธ์ไม่ได้เรียงตามตัวเปรียบเทียบของคุณ

$a<b$$b<c$$c<a$

ดูเหมือนว่าสิ่งที่คุณต้องการคือการจัดเรียงรายการที่การจัดอันดับที่มองเห็นได้ทั้งหมดนั้นถูกต้อง แต่รายการที่ใกล้เคียงอาจถูกพิจารณาว่าเป็น "ที่แยกไม่ออก" มีความเป็นไปได้ที่จะออกแบบอัลกอริธึมเรียงลำดับซึ่งจะทำงานกับการเปรียบเทียบดังกล่าว แต่ถ้ามีข้อ จำกัด ว่าจำนวนการเปรียบเทียบอาจรายงานว่าสิ่งต่าง ๆ แยกไม่ออกไม่มีวิธีใดที่จะหลีกเลี่ยงได้ เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดให้เลือกตัวเลข N และอัลกอริทึมการเรียงลำดับที่เปรียบเทียบน้อยกว่า N (N-1) / 2 จากนั้นเติมรายการ L [0..N-1] ตั้งค่าแต่ละองค์ประกอบ L [I] เป็น I / N และ "เรียงลำดับ" โดยใช้เครื่องมือเปรียบเทียบของคุณ (ค่าต่ำสุดจะเป็น 0 และสูงสุด (N-1) / N ดังนั้นความแตกต่างจะเป็น (N-1) / N ซึ่งน้อยกว่า 1)

เนื่องจากมีไอเท็ม N (N-1) / 2 คู่ที่สามารถเปรียบเทียบได้และการเรียงลำดับไม่ได้ทำการเปรียบเทียบจำนวนมากจึงต้องมีบางรายการที่ไม่ได้ทำการเปรียบเทียบโดยตรง แทนที่อันใดอันหนึ่งที่สิ้นสุดลงเหล่านี้จะถูกจัดเรียงเป็นอันดับแรกโดย 1 และอันอื่นที่มี -1 / N เปลี่ยนรายการทั้งหมดกลับสู่ตำแหน่งเริ่มต้นและดำเนินการเรียงลำดับซ้ำ การเปรียบเทียบแต่ละครั้งจะให้ผลเป็นศูนย์เช่นเดียวกับที่ทำในครั้งแรกดังนั้นการเปรียบเทียบเดียวกันจะดำเนินการและรายการจะสิ้นสุดในลำดับเดียวกัน สำหรับรายการที่จะจัดเรียงอย่างถูกต้อง "1" จะต้องเรียงลำดับหลัง "-1 / N" (เนื่องจากแตกต่างกันมากกว่าหนึ่ง) แต่เนื่องจากอัลกอริทึมการเรียงลำดับจะไม่เปรียบเทียบทั้งสองรายการโดยตรงกับมัน คงไม่มีทางรู้ว่า

เติมอาร์เรย์ขององค์ประกอบ n ด้วยค่า n, n-1, n-2, ... , 2, 1 จากนั้นลองเรียงลำดับโดยใช้อัลกอริทึม "การแทรกแบบตรง" คุณจะพบว่าแต่ละองค์ประกอบนั้นมีค่าเท่ากับองค์ประกอบก่อนหน้าดังนั้นจึงไม่ถูกย้าย ผลลัพธ์ของการเรียงลำดับเป็นอาร์เรย์เดียวกัน