นี่คือ NP-hard หรือไม่ ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้

ฉันมีปัญหาและฉันเดาว่า NP-hard แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้

นี่คือกราฟเลเยอร์โดยที่เลเยอร์ 0 คือเลเยอร์ hignest และเลเยอร์ L ต่ำที่สุด

มีขอบชี้นำระหว่างเลเยอร์โดยที่ขอบ (A, B) บ่งชี้ว่าโหนด A สามารถ [ครอบคลุม] โหนด B และเมื่อ A สามารถครอบคลุม B ทุกโหนดบนเส้นทางใด ๆ จาก A ถึง B สามารถครอบคลุม B, B สามารถครอบคลุม ตัวเอง

ในที่สุดก็มาถึงชุดของโหนด S ฉันต้องเลือกอีกชุดของโหนด ANS และให้แน่ใจว่าสำหรับแต่ละโหนด q ใน S มีโหนด p ใน ANS และ p ครอบคลุม q

สำหรับทุกโหนดมีค่าใช้จ่ายและฉันต้องทำให้ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของการตั้งค่า ANS น้อยที่สุด

นี่เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นยากไหม ฉันคิดอย่างนั้น แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้

คุณช่วยฉันได้ไหม

ขอบคุณมาก.

graphs np

— qin.sun
แหล่งที่มา

ค่าใช้จ่ายของโหนดจากชั้นบนมีราคาแพงกว่าในเส้นทางใด ๆ ในกราฟ

ใช่มันดูเหมือนว่ายาก NP ดูที่ปัญหาการปิดชุดขั้นต่ำที่คล้ายกันเลิก en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem

มีข้อ จำกัด ใด ๆ ในขอบกำกับเช่นขอบเท่านั้นเชื่อมต่อโหนดในชั้นที่สูงขึ้นไปยังโหนดในชั้นล่าง? ฉันสามารถอธิบายได้หรือไม่ว่าไม่มีขอบระหว่างโหนดในเลเยอร์เดียวกัน

— justhalf

@justhalf ไม่ไม่มีขอบระหว่างโหนดในเลเยอร์เดียวกัน ขอบคุณ :)

— qin.sun

ใช่ปัญหานี้เป็นปัญหาที่ยากมาก ฉันโพสต์คำตอบนี้เนื่องจากคุณต้องการหลักฐาน

หากคุณไปที่ลิงก์นี้http://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem แสดงว่ารุ่นการปรับปรุงประสิทธิภาพของปัญหาการตั้งค่าขั้นต่ำคือ NP-Hard

ปัญหาในลิงค์:

เมื่อพิจารณาชุดขององค์ประกอบ {1,2, ... , m} (เรียกว่าจักรวาล) และเซต S ของ n เซตซึ่งสหภาพมีค่าเท่ากับจักรวาลชุดครอบคลุมปัญหาคือการระบุเซตย่อยที่เล็กที่สุดของ S ซึ่งสหภาพมีค่าเท่ากับ จักรวาล. ตัวอย่างเช่นลองพิจารณาจักรวาล U = {1, 2, 3, 4, 5} และชุดเซต S = {{1, 2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {4, 5}} เห็นได้ชัดว่าการรวมกันของ S คือ U อย่างไรก็ตามเราสามารถครอบคลุมองค์ประกอบทั้งหมดด้วยชุดจำนวนที่น้อยกว่านี้: {{1, 2, 3}, {4, 5}}

คุณสามารถเกี่ยวข้องกับปัญหาของคุณดังนี้:

S คือชุดของโหนดที่ครอบคลุมอย่างน้อยหนึ่งโหนดในชุดอินพุตของคุณ สามารถพบได้โดยการดำเนินการ DFS บนโหนดของชุดอินพุตที่มีทิศทางของขอบที่ตรงกันข้าม

ตอนนี้ปัญหาที่อธิบายในลิงก์เป็นกรณีพิเศษของปัญหาของคุณซึ่งค่าใช้จ่ายของแต่ละโหนดเท่ากันและคุณเพียงต้องการลดจำนวนโหนด (ชุด)

ดังนั้นปัญหาของคุณยิ่งยากที่จะแก้ไขในกรณีทั่วไปและด้วยเหตุนี้จึงเป็น NP Hard

— Abhishek Bansal
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่านี่เป็นความจริงกับคำจำกัดความของ OP แต่เขาก็ไม่เคยระบุว่าคุณสามารถ "ปกปิด" โหนดที่มีขอบในเลเยอร์เดียวกันกับโหนดนั้นได้หรือไม่ หากเป็นเช่นนั้นปัญหาอาจดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย มิฉะนั้นถ้าคุณสามารถครอบคลุมโหนดผ่านขอบจากเลเยอร์ที่สูงกว่ามันก็น่าจะเทียบเท่ากับการตั้งค่าการเพิ่มประสิทธิภาพการครอบคลุม

— roliu

@roliu มันจะสำคัญอย่างไรว่าโหนดเลเยอร์เดียวกันสามารถครอบคลุมได้หรือไม่ ปัญหาที่ฉันเข้าใจคือว่าเรามีกราฟกำกับที่มีเส้นทางระหว่างโหนด A ถึง B หมายความว่า A ครอบคลุม B

หืมฉันไม่แน่ใจ มันแปลกเพราะฉันไม่คิดว่าข้อมูลใด ๆ ใน OP มีประโยชน์จริงๆ เลเยอร์ดูไม่เกี่ยวข้องเลย ฉันส่วนใหญ่แค่รอ OP เพื่อชี้แจงว่าเขาหมายถึงสิ่งที่แตกต่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าไม่เพียง แต่ยากอย่างน้อยตามที่กำหนดไว้เท่านั้น เพราะครอบคลุมใด ๆ ที่น้อยที่สุดในปัญหาของ OP Sเท่านั้นที่จะมีโหนดใกล้เคียงของการตั้งค่าการป้อนข้อมูลของเขา อาจจะมีค่าใช้จ่ายติดลบหรืออะไรแบบนั้น ...

— roliu