regex golf NP-Complete หรือไม่

เท่าที่เห็นในแถบ XKCD ที่ผ่านมานี้และโพสต์บล็อกล่าสุดนี้จาก Peter Norvig (และ Slashdot เนื้อเรื่องหลัง), "regex golf" (ซึ่งอาจเรียกได้ว่าเป็นปัญหาการแยกนิพจน์ทั่วไป) เป็นปริศนาของการกำหนดนิพจน์ปกติที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้ที่ยอมรับทุกคำในเซต A และไม่มีคำใน โพสต์ของ set B. Norvig มีอัลกอริธึมสำหรับการสร้างผู้สมัครที่มีเหตุผลสั้น ๆ และเขาสังเกตว่าวิธีการของเขาเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาชุด NP-complete แต่เขาก็ระมัดระวังที่จะชี้ให้เห็นว่าวิธีการของเขานั้น และแน่นอนว่าเขาไม่จำเป็นต้องเป็นอัลกอริธึมเท่านั้นดังนั้นวิธีแก้ปัญหาของเขาจึงไม่รับประกันว่าจะดีที่สุดและเป็นไปได้ว่าอัลกอริธึมแบบพหุนามเวลาอื่น ๆ สามารถหาวิธีแก้ปัญหาที่เทียบเท่าหรือดีกว่าได้

เพื่อประโยชน์ของ concreteness และเพื่อหลีกเลี่ยงการแก้ไขคำถามการปรับให้เหมาะสมฉันคิดว่าสูตรที่เป็นธรรมชาติที่สุดของการแยกนิพจน์ปกติคือ:

ให้สอง (จำกัด ) ชุดและBของสายอักขระบางตัวΣ , มีการแสดงออกปกติของความยาว≤ kที่ยอมรับทุกสายในAและปฏิเสธทุกสายในB ?$A$$B$$\Sigma$$\leq k$$A$$B$

มีความรู้เกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาการแยกนี้หรือไม่? (โปรดทราบว่าเนื่องจากฉันได้ระบุและBเป็นชุด จำกัด ของสตริงความคิดตามธรรมชาติของขนาดสำหรับปัญหาคือความยาวทั้งหมดของสตริงทั้งหมดในAและBซึ่งจะเพิ่มการสนับสนุนจากk ) ดูเหมือนว่าเป็นไปได้สูงที่ฉันจะใช้ NP-Complete (และในความเป็นจริงฉันคาดว่าการลดลงของปัญหาการปกปิดบางส่วน) แต่การค้นหาบางอย่างไม่ได้เปิดใช้งานอะไรที่มีประโยชน์เป็นพิเศษ$A$$B$$A$$B$$k$

สมมติว่าตัวแปร TCS ของ regex ปัญหานั้นคือปัญหา NP-complete

เราคิดว่า regexes ของเรามี

• ตัวอักษรจากจับคู่ตัวเอง$\Sigma$
• , แสดงถึงการรวมกัน$+$
• , denoting concatenation$\cdot$
• , แสดงถึง Kleene-Star,$*$
• จับคู่สตริงว่าง$\lambda$

และไม่มีอะไรอื่น ความยาวของ regex ถูกกำหนดให้เป็นหมายเลขของตัวละครจากΣในการ์ตูนสตริปเราพิจารณา regex เพื่อจับคู่คำหากตรงกับสตริงย่อยของคำ (การเปลี่ยนแปลงข้อสมมติฐานเหล่านี้ควรมีผลเฉพาะความซับซ้อนของการก่อสร้างด้านล่าง แต่ไม่ใช่ผลทั่วไป)$\Sigma$

ว่ามันอยู่ใน NP ตรงไปตรงมาตามที่อธิบายไว้ในความคิดเห็น (ตรวจสอบผู้สมัคร - RE โดยการแปลมันเป็น NFA และใช้มันในทุกคำจากและB )$A$$B$

ในการแสดงความแข็งของเอ็นพีเราลดการตั้งค่าฝาครอบ:

กำหนดจักรวาลและชุดCของส่วนย่อยของUจะมีชุดC ' ⊆ Cขนาด≤ kเพื่อให้⋃ S ∈ C ' S = U ?$U$$C$$U$$C' \subseteq C$$\leq k$$\bigcup_{S \in C'} S = U$

เราแปลอินพุตสำหรับ Set cover เป็นหนึ่งสำหรับ regex golf ดังนี้:

• มีอักขระหนึ่งตัวสำหรับแต่ละชุดย่อยใน Cและอีกหนึ่งอักขระ (แทนด้วย xในรายการต่อไปนี้)$\Sigma$$C$$x$
• มีคำหนึ่งสำหรับแต่ละองค์ประกอบอีเมลของU คำนี้ประกอบด้วยอักขระที่แสดงถึงชุดย่อยใน Cที่มี e (ตามลำดับโดยพลการ)$A$$e$$U$$C$$e$
• มีคำเดียวx$B$$x$
• จะถูกยกไป$k$

การลดลงนี้เห็นได้ชัดใน P และความเท่าเทียมกันก็ค่อนข้างง่ายที่จะเห็น:

• ถ้าเป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับอินสแตนซ์ของ set set, regex c 1 + ⋯ + c kเป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับ regex golf$c_1, \ldots, c_k$$c_1 + \cdots + c_k$
• regex จับคู่ subword ว่างจะตรงกับxดังนั้น regex ใด ๆ การแก้ปัญหากอล์ฟที่มีการมีอย่างน้อยหนึ่งตัวอักษรจากแต่ละคำใน ดังนั้นหากอินสแตนซ์กอล์ฟสามารถแก้ไขได้มีชุดของตัวอักษรkมากที่สุดจากΣเพื่อให้แต่ละคำในAถูกปกคลุมด้วยตัวอักษรชุดนี้ โดยการก่อสร้างชุดย่อยที่สอดคล้องกันจากCเป็นวิธีการแก้ปัญหาไปยังอินสแตนซ์ครอบคลุมชุด$x$$A$$k$$\Sigma$$A$$C$