DFA ที่เล็กที่สุดที่ยอมรับสตริงที่กำหนดและปฏิเสธสตริงที่กำหนดอื่น ๆ

ป.ร. ให้ไว้สองชุด, Bของสตริงมากกว่าตัวอักษรΣเราสามารถคำนวณที่เล็กที่สุดที่กำหนดขอบเขตของรัฐหุ่นยนต์ (DFA) Mเช่นว่า⊆ L ( M )และL ( M ) ⊆ Σ * ∖ B ?$A,B$$\Sigma$$M$$A \subseteq L(M)$$L(M) \subseteq \Sigma^*\setminus B$

กล่าวอีกนัยหมายถึงชุดตัวอย่างเชิงบวก สตริงทั้งหมดในAต้องได้รับการยอมรับจาก DFA Bหมายถึงชุดตัวอย่างเชิงลบ DFA ไม่ควรยอมรับสตริงใน$A$$A$$B$$B$

มีวิธีแก้ปัญหานี้หรือไม่อาจใช้เทคนิคการย่อขนาด DFAหรือไม่ ฉันนึกภาพได้ว่าการสร้างหุ่นยนต์คล้าย DFA ที่มีสถานะอยู่สามแบบ: ยอมรับสถานะปฏิเสธสถานะและ "ไม่สนใจ" (ข้อมูลใด ๆ ที่ลงท้ายด้วยสถานะ "ไม่สนใจ" สามารถยอมรับได้ หรือถูกปฏิเสธ) แต่เราสามารถหาวิธีที่จะลดสิ่งนี้ให้เป็น DFA สามัญได้หรือไม่?

คุณอาจคิดว่านี่เป็นปัญหาของการเรียนรู้ DFA โดยให้ตัวอย่างที่เป็นบวกและลบ

นี่คือแรงบันดาลใจจาก สนามกอล์ฟ regex คือ NP-Complete หรือไม่? ซึ่งถามคำถามที่คล้ายกันสำหรับ regexps แทน DFAs

$A$$B$

โปรดทราบว่า @reinierpost ระบุว่าไม่มีข้อ จำกัด ใด ๆ ใน A และ B ปัญหาอาจไม่สามารถตัดสินใจได้

$A$$B$$A \cap B = \emptyset$$A$$A \cap B \neq \emptyset$

การค้นหา DFA ขั้นต่ำที่สอดคล้องกับชุดสตริงที่กำหนดคือ NP-complete ผลที่ได้นี้จะปรากฏเป็นทฤษฎีบท 1 ในกระดาษ Angluin ของความซับซ้อนของการอนุมานต่ำสุดของชุดปกติ เห็นได้ชัดว่าปัญหาของคุณยังเป็นปัญหาที่สมบูรณ์

สำหรับจำนวนของการเชื่อมโยงที่ดีและการอภิปรายเกี่ยวกับการเรียนรู้ภาษาปกติตรวจสอบ blogpost CSTheory ในการเรียนรู้ภาษาปกติ