ปัญหาความครอบคลุม (ตัวส่งและตัวรับ)

ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาความคุ้มครองต่อไปนี้

มีตัวส่งสัญญาณพร้อมพื้นที่ครอบคลุม 1 กม. และตัวรับสัญญาณตัดสินใจในที่ตัวรับสัญญาณทั้งหมดได้รับการคุ้มครองโดยตัวส่งสัญญาณใด ๆ ผู้เปิดเผยและเครื่องส่งสัญญาณทั้งหมดจะถูกแทนด้วยพิกัดและของพวกเขา$n$$n$$O(n\log n)$$x$$y$

วิธีการแก้ปัญหาที่ทันสมัยที่สุดที่ฉันจะมาพร้อมกับใช้เวลาlog) สำหรับตัวรับสัญญาณทุกตัวเรียงลำดับตัวส่งทั้งหมดตามระยะทางถึงตัวรับสัญญาณปัจจุบันจากนั้นนำตัวส่งสัญญาณด้วยระยะทางที่สั้นที่สุดและระยะทางที่สั้นที่สุดนี้ควรอยู่ภายใน 0.5 กม.$O(n^2\log n)$

แต่วิธีการที่มีลักษณะไร้เดียงสาชอบมากดีขึ้นในเวลาซับซ้อน2) เพียงคำนวณระยะทางทั้งหมดระหว่างเครื่องส่งสัญญาณและตัวรับสัญญาณทุกคู่$O(n^2)$

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันสามารถใช้อัลกอริธึมการค้นหาระยะในปัญหานี้ได้ไหม ตัวอย่างเช่น kd-trees ทำให้เราสามารถค้นหาช่วงดังกล่าวได้ แต่ฉันไม่เคยเห็นตัวอย่างและฉันไม่แน่ใจว่ามีการค้นหาแบบวงกลมสำหรับแวดวงหรือไม่

ความซับซ้อนที่ได้รับถือว่าวิธีการแก้ปัญหาควรคล้ายกับการเรียงลำดับ$O(n\log n)$

คุณสามารถใช้แผนภาพ Voronoi ร่วมกับโครงสร้างข้อมูลของ Kirkpatrickเพื่อแก้ปัญหานี้

$\mathcal{O}(n \log n)$

$1\ \text{km}$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(n\log n)$$\mathcal{O}(n\log n)$

แต่ละเซลล์ในไดอะแกรม Voronoi เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ไม่มีขอบเขต

...

จำนวนจุดยอด [ของแผนภาพ Voronoi ของ n sites] V ≤ 2n-5

- www.cs.arizona.edu

$\Theta(v)$$v$$n$$n$$\mathcal{O}(n)$$\mathcal{O}(n)$$\mathcal{O}(n)$$\mathcal{O}(n)$$\mathcal{O}(n)$

• คำอธิบายที่ดี / การใช้งานอัลกอริทึมของฟอร์จูน
• ภาพประกอบของโครงสร้างข้อมูลของ Kirkpatrick
• Psuedocode สำหรับอัลกอริทึมของ Kirkpatrick