วงจร Depth-2 ที่มีหรือหรือและประตู MOD ไม่เป็นสากล?

เป็นที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชันบูลีนทุกฟังก์ชันสามารถรับรู้ได้โดยใช้วงจรบูลีนที่มีความลึก 2 (เหนือตัวแปร, การปฏิเสธและค่าคงที่) มีและประตูในระดับแรกและหนึ่งหรือประตูเดียวในระดับบน; นี้เป็นเพียงตัวแทน DNFของฉ $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

เกทชนิดอื่นที่เป็นที่สนใจอย่างมากในความซับซ้อนของวงจรคือเกตคำจำกัดความปกติมีดังต่อไปนี้: $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

บางครั้งประตูเหล่านี้มีพลังที่น่าประหลาดใจ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันบูลีนใด ๆ ที่สามารถแสดงโดยวงจรความลึก -2 ที่มีเพียง $\mathrm{MOD}_6$ ประตู (นี่คือคติชนวิทยา

แต่ชาวบ้านก็คือว่าวงจรมีเพียงหนึ่งเดียวหรือประตูที่ด้านบนและ $\mathrm{MOD}_m$ ประตูในชั้นล่าง (กับ $m$ ถูกกำหนดและทุกครั้งและโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเหมือนกันสำหรับประตูทั้งหมด) ไม่ได้ universal เช่นค่าใด ๆ ของ $m$ มีฟังก์ชันบูลีนที่ไม่สามารถคำนวณได้โดย $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ วงจร

ฉันกำลังหาหลักฐานสำหรับการอ้างสิทธิ์นี้หรืออย่างน้อยก็ในบางทิศทาง

complexity-theory logic circuits

— กาดิ
แหล่งที่มา

ในย่อหน้าแรกคุณไม่จำเป็นต้องมีประตูหรือคุณต้องพูดว่า " ฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียว "

— Tsuyoshi Ito

คุณถูก; ข้อสันนิษฐานตามปกติคือคุณมีอินพุตตัวแปรการปฏิเสธและค่าที่กำหนดเอง (สำคัญสำหรับ modgates) ฉันจะเขียนสิ่งนี้อย่างชัดเจน

— Gadi

ฉันเดาว่า , จำนวนตัวแปรอินพุตแตกต่างจาก , โมดูลัสหรือไม่

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

ใช่ขอโทษด้วย

— Gadi

ฉันสนใจสิ่งนี้ คุณรู้หรือไม่ว่ามีการอ้างอิงสำหรับข้อเท็จจริงโฟล์กชันแรก ฉันสงสัยว่าถ้าในชั้นหลังของวงจรคุณอนุญาตเพียงหนึ่งหรือเท่าไหร่คุณอนุญาตในอดีตหรือไม่

— Juan Bermejo Vega

ไม่สามารถคำนวณฟังก์ชัน Boolean AND ได้ สมมติว่าจริงนั้นและฟังก์ชั่นคำนวณโดยวงจร จากนั้นจึงติดตามว่าหนึ่งในวงจรย่อย MOD ต้องคำนวณแล้วใช้ฟังก์ชัน AND แล้วซึ่งเป็นไปไม่ได้ $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
แหล่งที่มา

ไม่เขาถูกต้อง ข้อสันนิษฐานที่ชัดเจนที่นี่คือ n คงที่และเราควรจะสามารถจัดการกับอินพุตจำนวนมากที่มีประตู mod_n โดยพลการ

— Gadi

@GadiA Ah โอเค คำถามของคุณยังไม่ชัดเจนอย่างน้อยสำหรับคนที่ไม่คุ้นเคยกับสนาม ฉันได้ทำการแก้ไขเล็กน้อยซึ่งควรชี้แจงสิ่งนี้

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'

ใช่คำถามของฉันเป็นประโยคที่แย่มากขอโทษ

— Gadi

@Gilles คุณช่วยอธิบายฉันได้ไหมว่าแฟน ๆ -in ที่นี่เราจะพิจารณา? ปัญหาสำหรับฉันคือฉันไม่สามารถดูว่าทำไม subcircuit ของ MOD ไม่สามารถคำนวณและ? อินพุทนี้มี MOD กี่อันและอันนี้และ?